初中数学湘教版（2024）八年级下册2.7 正方形获奖课件ppt

这是一份初中数学湘教版（2024）八年级下册2.7 正方形获奖课件ppt，共25页。PPT课件主要包含了学习目标，邻边相等，正方形，新课导入，一个角是直角，正方形的性质，知识讲解，平行四边形，想一想，菱形的判定方法等内容，欢迎下载使用。
1.掌握正方形的概念、性质和判定；（重点）2.经历正方形性质和判定的探究过程；（重点）3.能利用正方形的性质和判定解决问题．（难点）
1.矩形经过怎样的变化就成为了正方形呢？
2.菱形经过怎样的变化就成为了正方形呢？
定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分
正方形既能由矩形变换得到，又能由菱形变换得 到，那么正方形具有哪些性质？
正方形的四条边都相等，四个角都是直角
如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
证明：∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=90°，AB=AD（正方形的定义）. 又∵正方形ABCD是平行四边形,∴正方形ABCD是矩形（矩形的定义）， 正方形ABCD是菱形(菱形的定义),∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°，AB= BC=CD=AD.
正方形的对角线相等且互相垂直平分
如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC，BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
证明：∵正方形ABCD是矩形， ∴AO=BO=CO=DO.∵正方形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD.
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质正方形都有.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
归纳：正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分数学表达式：在正方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D =90°，AB= BC=CD=AD,AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.
由于正方形既是菱形，又是矩形，因此： 正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.
例1 如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积．
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得∴正方形的周长为4AD＝ ， 面积为AD2＝8.
①有一个角是直角的平行四边形;②有三个角是直角的四边形;③对角线相等的平行四边形. ①有一组邻边相等的平行四边形;②四条边都相等的四边形;③对角线互相垂直的平行四边形.
从对角线角度如何判定一个四边形是正方形呢？
对角线互相垂直的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形.
如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,AC⊥DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB，∴ AD=AB=BC=CD， ∴四边形ABCD是正方形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.∵AC=DB，∴ AO=BO=CO=DO，∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得出四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中， AE=BF=CM=DN, ∠A=∠B=∠C=∠D, AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四边形EFMN是菱形， ∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF） =180°－（∠AEN+∠ANE） =180°－90°=90°.∴四边形EFMN是正方形 .
如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．（1）求证：BF=DE；（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)， 问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
（1）证明：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=90°.∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，∴∠BAF=∠EAD.在△ADE和△ABF中，AD＝AB ，∠DAE＝∠BAF ，AE＝AF ,∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE.
（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形.理由如下：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，∴BE⊥AC，BE=AE= AC.∵AF=AE，∴BE=AF=AE.又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，∴BE∥AF.∵BE=AF，∴四边形AFBE是平行四边形AFBE.∵∠FAE=90°，AF=AE，∴四边形AFBE是正方形．
1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是 ( )A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等
4.如图，在四边形ABCD中, AB=BC , 对角线BD平分 ABC , P是BD上一点,过点P作PMAD , PNCD , 垂足分别为M、N. (1) 求证：ADB=CDB; (2) 若ADC=90,求证：四边形MPND是正方形.
证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2. 又∵AB = BC,BD=BD，∴△ABD≌△CBD (SAS). ∴∠ADB=∠CDB.
（2）∵PM⊥AD,PN⊥CD， ∴∠PMD=∠PND=90°. 又∵∠ADC=90°， ∴四边形NPMD是矩形. ∵∠ADB=∠CDB， ∴∠ADB=∠CDB=45°. ∴∠MPD=∠NPD=45°. ∴DM=PM,DN=PN. ∴四边形NPMD是正方形.
一个角是直角且一组邻边相等