新高考数学一轮复习专题突破卷09 奇偶性、对称性与周期性（解析版）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习专题突破卷09 奇偶性、对称性与周期性（解析版）（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习专题突破卷09奇偶性对称性与周期性原卷版doc、新高考数学一轮复习专题突破卷09奇偶性对称性与周期性解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。

1.对称轴
1．定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数，给出下列三个命题：
①的图象关于点对称；
②在区间上是减函数；
③
其中所有真命题的序号是 ．
【答案】①②
【分析】根据给定条件，结合赋值法推理判断①；利用奇函数性质、函数对称性推理判断②；导出函数的周期，计算判断③作答.
【详解】因为是R上的奇函数，则，即，
从而，即有，因此的图象关于点对称，①是真命题；
因为是R上的奇函数，且在区间上是增函数，则在区间上是增函数，
由知，函数的图象关于直线对称，因此在区间上是减函数，②是真命题；
由知，，则，即是周期为4的函数，
因此，③是假命题，
所以所有真命题的序号是①②
故答案为：①②
2．已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】分析可知函数的图象关于直线对称，且该函数上单调递增，由可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为函数的定义域为，是偶函数，
则，即，
所以，函数的图象关于直线对称，
当时，，则函数在上单调递减，
故函数在上单调递增，
因为，则，即，
即，即，解得或，
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
3．设函数的定义域为R，，，当时，，则函数在区间上零点的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】分析函数的性质，结合幂函数的图象，作出在上的图象，再作出在上的图象，求出两图象的交点个数作答.
【详解】由，得的图象关于y轴对称，由，得的图象关于直线对称，
令，得，函数是周期为1的偶函数，当时，，
在同一坐标系内作出函数在上的图象，函数在上的图象，如图，

观察图象知，函数与的图象在上的交点有7个，
所以函数在区间上零点的个数为7.
故选：D
4．（多选）若函数满足，，且，，，则（ ）
A．为偶函数B．
C．D．若，则
【答案】AC
【分析】先由函数的对称性可找到对称轴，即可判断A选项；再由题找到函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，可判定BCD选项.
【详解】由题意可得的图象关于直线对称，且在上单调递增，
则在上单调递减，且的图象关于直线对称，
由偶函数图象的特征得A正确．
结合函数的单调性和图象的对称性得，距离越近，函数值越小，，所以B不正确．
对C，，所以C正确．
对D，若，则直线距离直线更远，即，解得或，所以D不正确．
故选：AC．
5．函数满足，且在区间上的值域是，则坐标所表示的点在图中的（ ）.

A．线段AD和线段BC上B．线段AD和线段DC上
C．线段AB和线段DC上D．线段AC和线段BD上
【答案】B
【分析】根据函数的对称性，可得函数的对称轴，结合二次函数的性质，可得函数解析式并画出图象，根据值域，可得的取值范围，可得答案.
【详解】函数满足，
故函数的图象关于直线对称，且开口向上下，
所以，，.
再根据，，画出函数的图象，
如图所示：

故有，.
且当时，；时，，
故坐标所表示的点在图中的线段AD和线段DC上，
故选：B.
2.对称中心
6．（多选）已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，，．下列说法正确的是（ ）
A．3是函数的一个周期
B．函数的图象关于直线对称
C．函数是偶函数
D．
【答案】ACD
【分析】根据可得即可确定周期求解选项A；根据为奇函数，可得即可求解选项B；根据题设条件可得即可求解选项C；利用函数的周期性和函数值可求解选项D.
【详解】对A，因为，
所以，即，
所以3是函数的一个周期，A正确；
对B，因为为奇函数，所以，
所以函数的图象关于点中心对称，B错误；
对C，因为，
所以，
即，即，
所以函数是偶函数，C正确；
对D，，
所以，
所以，D正确；
故选:ACD.
7．（多选）函数是定义在R上的奇函数，且在上单调递增，也是奇函数，则（ ）
A．函数是周期为4的周期函数
B．函数是周期为2的周期函数
C．函数的图像关于点对称
D．大小关系为
【答案】ACD
【分析】A选项，根据与均是定义在R上的奇函数，得到，得到是周期为4的周期函数；C选项，根据的周期及对称性得到C正确；B选项，由及的周期得到的周期；D选项，根据对称性及周期得到，结合在上单调递增，比较出大小关系，D正确.
【详解】A选项，由题意得，
又，所以，
又是定义在R上的奇函数，所以，
即，
所以函数周期为4，故A正确，B错误；
C选项，因为的图像关于点对称，周期为4，
所以函数的图像关于点对称，故C正确；
由，得，
即函数是周期为4的周期函数，故B错误.
D选项，因为是定义在R上的奇函数，所以，
由，
且在上单调递增，得，所以，故D正确.
故选：ACD.
8．（多选）已知定义在R上的函数满足条件，且函数为奇函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数是周期函数
B．函数为R上的偶函数
C．函数的图象关于点对称
D．函数为R上的单调函数
【答案】AC
【分析】由题可得即可判断A；由为奇函数可得，即可判断B；由、可得，即可判断C；根据为R上的奇函数，结合单调函数的定义即可判断D.
【详解】A选项，由，得，即，故A正确；
B选项，因为为奇函数，，
用换x，得，又，
所以，即函数为R上的奇函数，故B错误；
C选项，因为为奇函数，
所以，
则的图象关于点对称，故C正确；
D选项，因为函数为R上的奇函数，其图象关于原点对称，
函数在和的单调性相同，
但函数在R上不一定为单调函数，故D错误.
故选：AC.
9．设函数的定义域为R，且是奇函数，则图像（ ）
A．关于点中心对称B．关于点中心对称
C．关于直线对称D．关于直线对称
【答案】A
【分析】根据奇函数的性质，结合对称性，即可得出答案.
【详解】因为为奇函数，所以，
所以函数图象关于点中心对称.
故选：A.
10．已知函数为奇函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称B．关于点对称
C．关于点对称D．关于点对称
【答案】A
【分析】根据为奇函数，得到关于对称，进而得到答案.
【详解】函数为奇函数，图像关于对称，
则函数关于对称，
所以函数的图象关于对称．
故选：A.
11．已知函数对任意都有，且函数的图象关于对称，当时，.则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的最小正周期为2
D．当时，
【答案】C
【分析】根据题中条件可得的周期为4且关于对称，结合时，，即可画出函数的图象，由图象即可逐一判断.
【详解】因为函数对任意都有，即恒成立，所以的周期为4.
因为函数的图象关于对称，所以将的图象向右平移一个单位，得到的图象，所以的图象关于对称，
故，因此的图象关于对称，
设，则，
因为函数对任意都有
所以，
所以 所以选项D错误.
作出的图象如图所示：
由图象可知，函数的图象关于点中心对称，关于直线对称，故A，B错误；
对于C：函数的图象可以看成的图象轴上方的图象保留，把轴下方的图象翻折到轴上方，所以函数的最小正周期为2.故C正确.
故选：C
3.奇偶性，对称性与周期性的相互转化
12．（多选）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．在上为减函数
C．点是函数的一个对称中心D．方程仅有3个实数解
【答案】CD
【分析】利用奇偶函数的定义分析、探讨函数的性质，并判断选项ABC；作出函数的部分图象，数形结合判断D作答.
【详解】函数的定义域为，由为奇函数，得，即，
由为偶函数，得，即，则，
即，于是，函数是周期为的周期函数，
当时，，
对于A，，A错误；
对于B，函数在上单调递增，由，知函数图象关于点对称，
则函数在上单调递增，即有函数在上单调递增，因此在上单调递增，B错误；
对于C，由及，得，即，
因此函数图象关于点对称，C正确；
对于D，当时，，由函数图象关于点对称，
知当时，，则当时，，
由，知函数图象关于直线对称，则当时，，
于是当时，，而函数的周期是，因此函数在R上的值域为，
方程，即，因此的根即为函数与图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数与的部分图象，如图，
观察图象知，函数与图象在上有且只有3个公共点，
而当时，，即函数与图象在无公共点，
所以方程仅有3个实数解，D正确.
故选：CD
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
13．（多选）已知函数的定义域均为，且,，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（ ）
A．为奇函数B．
C．，D．若的值域为，则
【答案】BCD
【分析】由得，与联立得，再结合的图象关于直线对称，可得的周期、奇偶性、对称中心，可依次验证各选项正误.
【详解】，，
，，
关于对称，，
，，，
，故C正确；
关于对称，，，为偶函数，
，，，，，为偶函数，故A错误；
，图象关于点中心对称，
存在一对最小值点与最大值点也关于对称 ，
，故D正确；
由得，又，所以，
由得，所以，故B正确；
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：对含有混合关系的抽象函数，要探求性质首先要消去一个函数只剩下另一下函数，消去其中一个函数的方法就是对进行合理的赋值，组成方程组消去一个函数，再考查剩余函数的性质. 对抽象函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，解决该问题应该注意的事项：
（1）赋值法使用，注意和题目条件作联系；
（2）转化过程要以相关定义为目的，不断转变.
14．（多选）定义在上的函数满足，函数的图象关于对称，则（ ）
A．的图象关于对称B．是的一个周期
C．D．
【答案】ACD
【分析】由函数的图象关于对称，可得，即可判断A；先求出最小正周期为，再推出由可判断B；令，求出可判断C；求出，可判断D.
【详解】对于A，由函数的图象关于对称，可推得，
令等价于，则，的图象关于对称，所以A正确.
对于B，令由，，
所以，，所以关于对称.
由，所以，
所以，，所以，关于对称.
令等价于，则，
又因为，所以
令等价于，
所以，
所以可得出最小正周期为.
，，所以不是的周期，所以B错误.
对于C，令，则，所以，所以C正确.
对于D，因为图象关于对称，所以，
因为，，因为最小正周期为，
所以，所以，
，
有，选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：令是解题的关键，通过研究的对称性和周期性得到的性质，即可求解.
15．（多选）已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．函数的周期为2
B．函数的图象关于直线对称
C．函数为偶函数
D．函数的图象关于点对称
【答案】BCD
【分析】根据题意推理论证周期性、对称性判断A、B；借助变量替换的方法，结合偶函数的定义及对称性意义判断C、D.
【详解】对于选项A：因为，则，
可得，所以函数的周期为4，故A错误；
对于选项B： 因为为偶函数，则，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
对于选项C：因为函数的图象关于直线对称，则，
由函数的周期为4，可得，
所以函数为偶函数，故C正确；
对于选项D：因为，且，可得，
又因为函数的周期为4，则，
所以函数的图象关于点对称，D正确；
故选：BCD.
16．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．的图象关于对称
【答案】C
【分析】根据为奇函数，为偶函数，求出函数的周期，并结合求出a，b的值，即可判断A；由的周期可求出即可判断B；为偶函数得，结合的周期即可判断C；由即可判断D.
【详解】为奇函数，，
令，则；用替换，则，
又为偶函数，，
令，则；用替换，则，
，用替换，则，
，则的一个周期为4，
由，解得，故A错误；
，故B错误；
由，得，得为偶函数，故C正确；
时，，，不关于对称，故D错误，
故选：C.
17．已知是定义在上的函数，满足，且满足为奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．函数图象关于直线对称B．函数的周期为2
C．函数图象关于点中心对称D．
【答案】D
【分析】由易得图象关于直线对称，再由为奇函数，得到图象关于对称，进而结合得到，有函数的周期为4判断.
【详解】解：因为满足，所以，
所以函数图象关于直线对称，
因为为奇函数，
所以，即，
则函数图象关于对称，则，
令得，
由，得，
所以函数的周期为4，
所以，
故选：D
4.比大小
18．已知函数在上单调递增，且是偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意得到函数关于对称，所以，结合单调性，即可求解.
【详解】由函数是偶函数，可得函数关于对称，
所以函数关于对称，所以，
因为函数在上单调递增，且，所以.
故选：B.
19．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用函数的单调性及偶函数的性质,结合函数的对称性即可求解.
【详解】因为时，恒成立，
所以，
所以在上单调递增，
因为是偶函数，
所以的图象关于对称，
因为，，，
因为，
所以，即，
所以．
故选：A．
20．定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得函数的对称性以及单调性，结合对数函数以及指数函数的单调性，求得的大小关系，可得答案.
【详解】因为函数满足，所以函数的图象关于直线成轴对称，
因为当时，，由，则，即，
所以在上单调递增，则在上单调递减，
由，
由，根据函数在上单调递增，则；
由，根据函数在上单调递增，则.
由函数在上单调递减，则，即.
故选：B.
21．已知是定义在上的函数，且为奇函数，为偶函数，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用奇偶函数定义探求出函数的周期性，及在上的单调性即可判断作答.
【详解】由为奇函数，得，即，
又由为偶函数，得，即，
于是，即，因此的周期为8，
又当时，，则在上单调递增，
由，得的图象关于点成中心对称，则函数在上单调递增，
因此函数在上单调递增，由，得的图象关于直线对称，
，，，
，显然，即有，即，
所以a，b，c的大小关系为.
故选：D
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
22．定义在R上函数满足以下条件：①函数图像关于轴对称，②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件判断函数单调性，利用单调性比较函数值大小．
【详解】解：∵函数图像关于对称，且对任意，
当时都有，
∴在，上单调递减，在单调递增，
，
∴．
故选：B．
5.解不等式
23．（ 2023·江苏·统考二模）（多选）已知函数的图象是连续不间断的，函数的图象关于点对称，在区间上单调递增.若对任意恒成立，则下列选项中的可能取值有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据函数的对称性和单调性得到函数为上单调递增，进而得到，利用参变分离和的取值范围求出的取值范围，进而求解.
【详解】由函数的图象关于点对称且在区间上单调递增可得，函数的图象关于对称，函数为上单调递增，
由可得，
，
也即，
则有恒成立，即
因为，所以，
当时，得到恒成立；
当时，则有，
令，则，
因为函数在上单调递增，且，
所以，则，所以BC适合题意，AD不合题意.
故选：BC.
24．（ 2023·西藏林芝·统考二模）已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由为偶函数求得函数对称轴，再结合函数的单调性进行求解即可.
【详解】∵函数为偶函数，∴，即，
∴函数的图象关于直线对称，
又∵函数定义域为，在区间上单调递减，
∴函数在区间上单调递增，
∴由得，，解得.
故选：D.
25．已知函数的定义域为，的图象关于点对称，，且对任意的，，满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先根据的图象关于点对称，得出是定义在上的奇函数，由对任意的，，，满足，得出在上单调递减，然后根据奇函数的对称性和单调性的性质，求解即可．
【详解】的图象关于点对称，的图象关于点对称，是定义在上的奇函数，
对任意的，，，满足，在上单调递减，所以在上也单调递减，
又所以，且，
所以当时，；当时，，
所以由可得或或，
解得或，即不等式的解集为．
故选：C.
26．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】确定函数的图象关于中心对称，在上单调递减，且，不等式转化为或或，解得答案.
【详解】依题意，，，
故，
故函数的图象关于中心对称，
当时，，，单调递减，
故在上单调递减，且，
函数的图象关于中心对称，在上单调递减，，
而，故或或，
解得或，故所求不等式的解集为，
故选：B.
27．已知函数的定义域为，其导函数为，若为奇函数，为偶函数，记，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由为奇函数可得两边求导得到，即，同理可得，即可得到的对称性与周期，画出与的图象，数形结合即可得解.
【详解】因为为奇函数，所以，即，
两边同时求导得，即，
所以的图象关于直线对称，且①；
又为偶函数，所以，即，两边求导得，即，
所以的图象关于点中心对称，且②；
由①②得，即，
所以，所以的一个周期为，
因为当时，，
当时，则，所以，
当时，则，所以，
作出函数与的图象如图所示，

由，解得，由，解得，
结合图象可知不等式的解集为.
故选：C
【点睛】关键点睛：本题的关键是找到函数的对称性与周期性，再利用数形结合法.
28．定义在上函数满足，.当时，，则下列选项能使成立的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知可得出函数的对称性以及函数的周期为4.进而根据对称性可求出在以及上的解析式，作出函数图象，即可得出的解集.分别令取，即可得出答案.
【详解】因为，所以关于点对称，所以；
又，所以，所以有，故关于直线对称，所以.
所以，，所以有，所以，
所以的周期为4.
当时，，所以，
所以时，.
当时，，所以.
作出函数在上的图象如下图
当时，由可得，，解得，所以；
当时，由可得，，解得，所以.
根据图象可得时，的解集为.
又因为的周期为4，
所以在实数集上的解集为.
令，可得区间为；令，可得区间为，故A项错误；
令，可得区间为，故B项错误；
令，可得区间为；令，可得区间为，故C项错误；
令，可得区间为，故D项正确.
故选：D.
29．已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用函数的对称性，构造，原不等式可化为，利用其单调性去函数符号解不等式即可.
【详解】由题意可知，设，显然有，
又是定义在上的增函数，易知在上是增函数.
原不等式可化为，
即，解不等式组可得.
故选：C
6.结合导数
30．（多选）定义在R上的函数，的导函数为，，是偶函数.已知，，则（ ）
A．是奇函数B．图象的对称轴是直线
C．D．
【答案】ABC
【分析】对于A，利用题中条件解出，利用奇函数得定义即可；
对于B,对题中得两个条件进行变化，可得到，从而判定出的对称轴；
对于C,对题中得两个条件进行变化，对进行赋值，即可；
对于D,证明的性质，从而得到结论.
【详解】,，
，又
为奇函数，故A正确.
是偶函数，，
则
又，则，
所以，则
则，，
故的图象关于对称，故B正确.
因为，所以，
令得，，
又，令，
得=，故C正确.
，，
又，是奇函数，
，是奇函数，
则，，
则，，
故，D错误.
故选：ABC.
31．（多选）设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．B．为偶函数
C．的图象关于点对称D．的一个周期为
【答案】BCD
【分析】由，可设，（、为常数），再根据所给条件推出，即可得到，从而判断A，即可得到，在两边求导，即可判断C，根据为奇函数，得到求导，即可判断B，最后推出的周期性，即可判断D.
【详解】因为，所以，（、为常数），
又因为，所以，
即，令，则，所以，
所以，故A错误；
所以，所以，所以的图象关于点对称，故C正确；
因为为奇函数，所以，则，即，
所以，所以为偶函数，故B正确；
因为，且，所以，
即，所以，
所以的一个周期为，又，
所以，
所以的一个周期为，故D正确；
故选：BCD
32．已知函数，及其导函数，的定义域均为，为奇函数，关于直线对称，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由为奇函数得，由关于直线对称得 为偶函数，对于选项A，由为偶函数满足即可判断；对于选项B，由得即可判断；对于选项C，由偶函数的对称性得到切线的对称性，从而得到导数的关系即可判断；对于选项D，由得到的对称性，从而得到导数的关系即可判断.
【详解】解法一：由为奇函数得，
令，则，所以，
即，所以；
因为关于直线对称，所以关于轴对称，
即为偶函数，所以.
对于选项A，因为为偶函数，所以，
所以，故选项A错误.
对于选项B，由得，
所以，故选项B错误.
对于选项C，因为的图像关于轴对称，所以轴左右两边对称点的切线关于轴对称，所以切线的斜率互为相反数，
即，所以，
所以，故选项C错误.
对于选项D，因为，所以关于点中心对称，
因为，所以和关于点对称，
所以在和处切线的斜率相等，即，
所以，故选项D正确.
故选：D.
33．（ 2023·河北唐山·统考三模）（多选）函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，且，则（ ）
A．为偶函数
B．
C．的图象关于对称
D．若，则为奇函数
【答案】AC
【分析】根据简单复合函数的求导法则及奇偶性的定义判断A、D，利用特殊值判断B，根据周期性及奇偶性判断函数的对称性，即可判断C.
【详解】因为为奇函数且在定义域上可导，即，
所以两边对取导可得，即，
所以为偶函数，故A正确；
对于B：令，显然为奇函数，且最小正周期，
即满足，则，则，故B错误；
对于C：因为且为上的奇函数，所以，
即，所以，即，
所以的图象关于对称，故C正确；
对于D：因为，则，
即为奇函数，由A可知为偶函数，故D错误；
故选：AC
34．（多选）设定义在R上的函数与的导数分别为与，已知，，且的图象关于直线对称，则下列结论一定成立的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的一个周期为8
D．函数为奇函数
【答案】AC
【分析】由，可得，由的图象关于直线对称，则，据此可判断各选项正误.
【详解】因，两边求导可得.的图象关于直线对称，则.
A选项，由可得，
由可得，
则，
即函数的图象关于点对称，故A正确；
B选项，若函数的图象关于直线对称，则.
又，
，则.
即是常函数，但不一定是常函数，故B错误；
C选项，由可得.
由可得，又，
则，则函数的一个周期为8，故C正确；
D选项，若函数为奇函数，则.
由可得.又，
则，得的一个周期为4，但题目条件不足以说明的周期情况，故D错误.
故选：AC
35．（多选）已知函数，的定义域均为，导函数分别为，，若，，且，则（ ）
A．4为函数的一个周期B．函数的图象关于点对称
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据题中条件可得即可判断A,由的关系可判断B，由得进而可得 ，结合周期性即可判断CD.
【详解】由得，
由求导得，
又得，所以，
所以，所以，
所以，
所以4为函数的一个周期，A正确；
，故，
因此，
故函数的图象关于点对称，B正确，
在中，令
由得 为常数，故，
由函数的图象关于点对称，
，
因此，
所以由于的周期为4，所以的周期也为4，
由于，所以， ，
所以，故C正确，
由于
,故D错误，
故选:ABC
36．已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到函数的单调区间，利用单调性解函数不等式.
【详解】因为为偶函数，所以的图像关于y轴对称，则的图像关于直线对称．
因为在上单调递增，所以在上单调递减．
因为，所以，解得．
故选：A.
1．（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知定义在上的函数的图像关于直线对称，且关于点中心对称.设，若，则（ ）
A．2020B．2022C．2024D．2026
【答案】C
【分析】根据函数的对称性，可得函数的周期性，结合题意，求得函数的值，可得答案.
【详解】由题意可知，且，所以，
则，所以是以4为周期的周期函数.
由可知，，则，
所以，
由得，，
所以，则，所以，
，…，
，
所以.
故选：C.
2．（2023·四川遂宁·统考模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为偶函数，下列结论错误的是（ ）
A．函数的图像关于直线＝1对称
B．＝2
C．
D．若函数在[1，2]上单调递减，则在区间[0，2024]上有1012个零点
【答案】B
【分析】根据偶函数的性质，结合函数的对称性的性质、函数的单调性逐一判断即可.
【详解】因为是偶函数，
所以，所以函数函数的图像关于直线x＝1对称，因此选项A正确；
因为g(x＋2)为偶函数，所以有，
因此函数关于直线对称，
由，
因此函数关于点对称，由
，所以函数的周期为4，
在中，令，得，
在中，令，得，
所以，故选项B不正确；
由，令，得，因此选项C正确；
因为函数关于点对称，且在[1，2]上单调递减，
所以函数在也单调递减，而函数关于直线对称，
所以函数在上单调递增，且，
所以当时，函数有两个零点，
当时，由函数的周期为4，
可知函数的零点的个数为，所以选项D说法正确，
故选：B.
3．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知函数的定义域为R，且，，，则（ ）
A．B．0C．D．2023
【答案】D
【分析】由函数的对称中心和对称轴确定函数的周期为4，代入特殊值求得，，，，问题即可得到解决.
【详解】由可知函数的对称中心为，
由可知函数的对称轴为，
故函数的周期.
将代入得，
将代入得，
将代入得，
而，
将代入得，
将代入得，
所以.
故选：D
4．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知函数是奇函数，且，是的导函数，则（ ）
A．B．的一个周期是4
C．是奇函数D．
【答案】B
【分析】根据函数的周期性，对称性和奇偶性的公式推导即可求解.
【详解】因为是奇函数，
所以，
又，
所以，
所以，
所以函数是周期为4的周期函数，
所以，
故选项A错误；
，
所以，
所以的一个周期是4，
故选项B正确；
因为，
所以，
所以，
所以，
所以是偶函数，
故选项C错误；
例如，满足是奇函数且且，
所以，
可得，故选项D错误；
或根据得关于直线轴对称，
因而在处有极值，所以或不存在，故D选项错误.
故选：B.
5．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知函数与的定义域均为，为偶函数，且，，则下面判断错误的是( )
A．的图象关于点中心对称
B．与均为周期为4的周期函数
C．
D．
【答案】C
【分析】由为偶函数可得函数关于直线轴对称，结合和可得的周期为4，继而得到的周期也为4，接着利用对称和周期算出对应的值即可判断选项
【详解】因为为偶函数，所以①，所以的图象关于直线轴对称，
因为等价于②，
又③，②+③得④，即，即，
所以，故的周期为4，
又，所以的周期也为4，故选项B正确，
①代入④得，故的图象关于点中心对称，且，故选项正确，
由，可得，且，故，
故，
因为与值不确定，故选项错误，
因为，所以，
所以，故，
故，所以选项D正确，
故选:.
6．（2023春·广东珠海·高二统考期末）设函数，实数满足不等式，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据条件判断函数关于对称，求导，可得函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可.
【详解】∵，
∴，
∴函数关于对称，
又，
∵，
∴，
∴恒成立，则是增函数，
∵，
∴，
∴，得，
故选：A
7．（2023春·浙江丽水·高二统考期末）已知函数是奇函数，是偶函数，当时，，则下列选项不正确的是（ ）
A．在区间上单调递减
B．的图象关于直线对称
C．的最大值是1
D．当时恒有
【答案】B
【分析】根据已知结合函数图象平移伸缩变换可得，所以的图象关于点对称，的图象关于直线对称，进而得出周期为4.根据在上的解析式，结合函数的对称性可得出在上的解析式以及单调性，根据对称性即可得出A项；求出在上的值域，根据对称性即可得出C、D项.
【详解】因为函数是奇函数，
所以的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，所以，；
因为是偶函数，所以的图象关于直线对称，所以，.
所以，，所以周期为4.
对于A项，因为的图象关于点对称，的图象关于直线对称，所以也是的对称中心.
因为时，，
，则，所以.
根据函数的对称性可知，，所以.
所以当时，单调递减.
又的图象关于点对称，所以在区间上单调递减，故A项正确；
对于B项，因为的图象关于点对称，周期为4，所以的图象关于点对称，故B项错误；
对于C项，由A知，当时，，所以.
又的图象关于直线对称，所以当时，有.
综上所述，当时，有.
因为周期为4，所以的最大值是1，故C项正确；
对于D项，由已知当时，.
又的图象关于直线对称，所以当时，.
综上所述，当时，恒成立.
因为的图象关于点对称，所以，当时，恒有，故D项正确.
故选：B.
8．（2023春·浙江绍兴·高二统考期末）已知函数的定义域为R，且，为奇函数，，则（ ）
A．B．C．0D．
【答案】B
【分析】根据即可得出周期为4，赋值可求出.进而由为奇函数，可推得函数关于点对称，由已知可求出，，，然后即可求得，.进而即可根据周期性得出函数值，求出，即可得出，代入数值，即可得出答案.
【详解】由，则，
所以，，周期为4，所以.
由，令，则有，所以，.
因为为奇函数，所以，
所以，，所以函数关于点对称，
所以，.
令，则.
令可得，，所以，所以，
所以，有，即有.
令，则有；
令，则.
综上，，，，.
所以，，
所以，.
故选：B.
【点睛】方法点睛：抽象函数求解函数值，常用赋值法.根据已知关系，推得函数的周期以及对称性，根据已知函数值，赋值求出其他函数值.
9．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）（多选）已知函数的定义域为的导函数的图象关于中心对称，且函数在上单调递增，若且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，可得函数的图象对称轴，结合给定等式探求出正数a，b的关系，再逐项分析判断作答.
【详解】因为函数的图象关于中心对称，则有，，
而，即，，
，令，为常数，当时，，
因此，，即函数的图象关于直线对称，
又函数在上单调递增，则函数在上单调递减，
由，得，A正确；
而，即有，，
因此，B错误；
显然，即，则，因此，C正确；
，D正确.
故选：ACD
10．（2023春·湖南·高二统考期末）（多选）已知函数的定义域为，函数为偶函数，且是的导函数.则下列结论正确的是（ ）
A．是周期为2的周期函数
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于直线对称
D．
【答案】BCD
【分析】根据题意得到，结合，得到，可判定A错误；由，两边同时取导数可得，可判定B正确；由由，得到成立，可判定C正确；根据题意求得，进而判定D正确.
【详解】由函数为偶函数，可得函数的图象关于对称，
所以函数的图象关于对称，所以，
又由，可得，
所以函数是周期为的周期函数，所以A错误；
由，可得，
两边同时取导数，可得，
所以函数的图象关于直线对称，所以B正确；
由，可得成立，
所以函数的图象关于直线对称，所以C正确；
由且，
当时，可得，
当时，可得，所以，
当时，可得，
当时，可得，所以，
所以，
因为函数的周期为，
所以，
所以D正确.
故选：BCD.
【点睛】结论拓展：有关函数图象的对称性的有关结论：
（1）对于函数，若其图象关于直线对称（时，为偶函数），
则①；②；③.
（2）对于函数，若其图象关于点对称（时，为奇函数），
则①；②；③.
（3）对于函数，若其图象关于点对称，
则①；②；③.
11．（2023春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）（多选）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，，为奇函数，且当时，，则（ ）
A．的一个周期为3
B．当时，
C．
D．直线与曲线共有7个不同的交点
【答案】BCD
【分析】根据函数的对称性、奇偶性推出周期性，单调性，利用函数的周期性、单调性和函数图象逐项分析可得答案.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，
用替换，得 ①．
因为是奇函数，所以，即②．
结合①②，得，所以．
所以，所以的一个周期为4，故A错误；
由，令，得．所以，即③．
由，得，即④，
联立③④两式，得，所以当时，．
设，则，，故B正确；
因为在上单调递增，又的图象关于直线对称，
所以在上单调递减．所以当时，．
当时，，所以，
当时，，所以．
又函数的一个周期为4，所以作出的图象如图所示：
，，
结合图象可得，所以，故C正确；
作直线，由图可知，直线与曲线共有7个不同的交点，故正确．

故选：BCD
12．（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）（多选）已知函数，的定义域均为，且，．若的图象关于直线对称，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】由的图象关于直线对称，则，结合得，推出为偶函数，结合推出，采用赋值法即可求得的值，判断；继而对，赋值，求得，判断A；再推得函数的周期性，利用周期性求得的值，判断D.
【详解】由题意知函数，的定义域均为，
的图象关于直线对称，则，
，，，故为偶函数，
由，得，代入，得，
令，则，，则，故B正确，C错误；
，令，则，即，A正确；
由，故，故由得，
，故，是以4为周期的周期函数，
由，，令，则，得，
则，又，
令得，得，
又，
故
，D错误．
故选：AB．
【点睛】方法点睛：解答此类抽象函数的相关问题时，要根据题设条件推出函数具有的相关性质，这里主要用到整体代换的方法，从而推出抽象函数具有的相关等式，推出其具有的奇偶性以及对称性和周期性等，求函数值时，常常要采用赋值法，即令取特殊值代入求值.
13．（2023春·河南洛阳·高一统考期末）（多选）设函数的定义域为R，且满足，，当时，．则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为偶函数
C．当时，的取值范围为
D．函数与图象仅有个不同的交点
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，确定函数的对称性、周期性，判断A，B，C；作出函数、的部分图象判断D作答.
【详解】依题意，当时，，当时，，
函数的定义域为，由，可知的图象关于对称，
由，则，的图象关于对称，
又，因此有，即，
于是有，从而得函数的周期，
又，令可得，所以，
对于A，，故A不正确；
对于B，
，
所以函数为偶函数，B正确；
对于C，当时，，有，则，
当时，，，，所以，
所以当时，的取值范围为，C正确；
对于D，在同一坐标平面内作出函数、的部分图象，如图：

方程的实根，即是函数与的图象交点的横坐标，
观察图象知，函数与的图象有个交点，因此方程仅有个不同实数解，D正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数的图象，观察与轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
14．（2023春·浙江宁波·高二校联考期末）（多选）已知函数的定义域为，是偶函数，的图象关于点中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．，D．，
【答案】BCD
【分析】根据是偶函数可得函数关于直线对称，由的图象关于点中心对称可得关于点成中心对称，据此可推导出函数为周期函数，判断A，再由函数的周期求出判断B，由周期性及对称性可判断C，由以上分析利用求解可判断D.
【详解】因为是偶函数，所以，可得，
故关于直线对称，
因为的图象关于点中心对称，所以关于点成中心对称，
所以，
又由可得，
所以，即，所以，
两式相减可得，即，所以，故A错误；
由周期，，又，所以，即，故B正确；
由周期，，，由可得，，，故C正确；
由上述分析可知，又因为，
所以，所以，
故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：当函数满足时，函数关于直线对称，
当函数满足时，函数关于点成中心对称.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数，对任意实数有，若函数的图象关于直线对称，，则 ．
【答案】0
【分析】由函数的图象关于直线对称，可得为偶函数，再由可得函数的周期为8，然后利用周期结合已知可求得答案.
【详解】由函数的图象关于直线对称可知，
函数的图象关于轴对称，故为偶函数．
由，得，
所以是周期的偶函数，
所以，
故答案为：0
16．（2023春·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知函数及其导函数定义域均为R，记函数，若函数的图象关于点中心对称，为偶函数，且则 .
【答案】678
【分析】由的图象关于点中心对称结合导数可知，再结合为偶函数可知的一个周期为3，.又注意到即可得答案.
【详解】因的图象关于点中心对称，则
.
因为偶函数，根据函数的伸缩变化可知也是偶函数，
所以.
则，即的一个周期为3.令，由可得.
注意到，则.
故答案为：678
17．（2023春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为R，若，都为偶函数，则 ．
【答案】2525
【分析】利用函数的奇偶性，推出函数的图象关于点对称以及关于点对称，即可依次求得的值，根据等差数列的求和公式，即可求得答案.
【详解】因为为偶函数，则，即，
则，即，
故的图象关于点对称，且；
又为偶函数，则，
则，即，
故的图象关于点对称，且，
又将代入得，则；
令，由可得，则；
同理可得，则；，则，
由此可得组成了以0为首项，为公差的等差数列，
故，
故答案为：2525