新高考数学一轮复习考点精讲精练 第03讲 导数与函数的极值、最值（2份，原卷版+解析版）

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1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)0)，
所以f′(x)＝2x－eq \f(2a,x)＝eq \f(2x2－a,x).
①当a0，且x2－a>0，所以f′(x)>0对x>0恒成立．所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x1＝eq \r(a)，x2＝－eq \r(a)(舍去)．
所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以当x＝eq \r(a)时，f(x)取得极小值，且f(eq \r(a))＝(eq \r(a))2－1－2aln eq \r(a)＝a－1－aln a．无极大值．
综上，当a0时，函数f(x)在x＝eq \r(a)处取得极小值a－1－aln a，无极大值．
【复习指导】：函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
命题点3 已知极值(点)求参数
例3．（1）已知函数在处取得极大值，则的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】B
【分析】对进行求导，利用是方程的解，求出的值，并代入进行检验，要满足的左侧导数值要大于0，右侧导数值要小于0，从而求出结果.
【详解】，又函数在处取得极大值，
，得到：或，
当时，
此时，函数在处取极小值，不合题意，舍去.
∴
故选：B
（2）已知函数有极大值和极小值，则a的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】B
【分析】根据函数有极大值和极小值，可以判断导数有两个零点，然后求a的取值范围即可.
【详解】函数，
，
函数有极大值和极小值，
所以其导函数有两个不同的解，
所以或.
故选：B
（3）当时，函数取得极小值4，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【分析】求导得到，计算，且，解得答案.
【详解】，，
根据题意有，且，解得，，.
此时，，
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.
函数在处取极小值，满足.
故选：A
（4）若在上存在极值，则数m的取值范围为_____．
【答案】
【分析】先求导，再转化为在上有解求解．
【详解】解：由题得，
要使在上存在极值，则在上有解．
因为当时，，
令，则，
设，则，在上单调递增，
，
又恒成立，故m的取值范围为．
故答案为：
（5）若函数在处取得极大值10，则的值为___________.
【答案】
【分析】计算，解方程组，求得的值并检验是否在处取得极大值即可确定的结果，求出答案.
【详解】由题意可知：,则有,解得或．
检验：当时，，时，，时，或，则为极小值点，不符合题意；
当时，在处取得极大值10，所以.
故答案为：
（6）设，若函数，有大于零的极值点，则a的取值范围是_____．
【答案】
【分析】先对函数进行求导，令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数有大于零的根．
【详解】∵，∴．
由题意知有大于0的实根，由，得，
∵，∴，∴．
故答案为︰．
（7）函数在上有唯一的极大值，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】由题知函数在上有唯一极大值，进而得，再解不等式即可得答案.
【详解】解：当时，，
因为函数在上有唯一的极大值，
所以函数在上有唯一极大值，
所以，，解得.
故答案为：.
【复习指导】：已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
二．利用导数求函数的最值
例4．（1）函数的最小值是（ ）
A．B．4C．D．3
【答案】C
【分析】利用导数讨论单调性并求最值.
【详解】由题意可得，
令，得，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值是．
故选:C.
【复习指导】：求函数最值的步骤
(1)求函数的定义域．
(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表．
(4)求极值、端点处的函数值，确定最值．
注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较．
（2）已知函数在区间上存在最小值，则实数_________．
【答案】
【分析】求出导函数，在上确定函数的单调性与最小值，由此确定，利用单调性得最小值，从而求得．
【详解】函数定义域是，因此，
，时，，递减，时，，递增，，
所以，此时在上递增，，解得或（舍去），
故答案为：2．
（3）已知函数在x=2处取得极小值，则在上的最大值为______．
【答案】
【分析】根据函数在x=2处取得极小值可得，求得a的值，继而判断函数在上的极值情况，计算端点处函数值并进行比较，可得答案.
【详解】因为，所以，
由题意可得，解得，
则，，
令，可得x=1或x=2，当x在上变化时，与的变化情况如下表：
所以函数的极大值为，极小值为，
又因为，
且，所以，
所以，
故答案为：
（4）已知函数，对一切，恒成立，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】根据题意，通过分离参数法得出在上恒成立，再构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，求出，进而求得的取值范围.
【详解】解：由题可知，，即，
得在上恒成立，
设，
则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
∴，
∴，
即的取值范围是.
故答案为：.
（5）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】先求出两函数在上的值域，再由已知条件可得，且，列不等式组可求得结果
【详解】由，得，
当时，，
所以在上单调递减，
所以，即，
由，得，
当时，，
所以在上单调递增，
所以，即，
因为，，使得，
所以，解得，
故答案为：
（6）已知函数．
( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)讨论的单调性；
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)当时，求在区间上的最小值．
【答案】( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)当时，在R上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减．
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)①当时，在上的最小值为；当时，在上的最小值为．
【分析】( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)求导可得，讨论两根两者的大小关系，判断的单调性；( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)结合（1）中的单调性，讨论在上的单调性，进而确定最小值．
【详解】( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)因为，所以．
①当时，，则在R上单调递增；
②当时，令，解得或，
则在，上单调递增，在上单调递减；
③当时，令，解得或，
则在，上单调递增，在上单调递减．
( = 2 \* rman \* MERGEFORMAT ii)由( = 1 \* rman \* MERGEFORMAT i)知，当时，或．
①当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
此时在上的最小值为；
②当，即时，在上单调递减，
此时在上的最小值为．
【复习指导】：含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
1．如图，可导函数y＝f(x)在点处的切线为l：y=g(x)，设，则下列说法正确的是（ ）
A．，是h(x)的极大值点
B．，是h(x)的极小值点
C．，不是h(x)的极值点
D．
【答案】B
【分析】由导数的几何意义写出函数，并对函数求导，再结合函数的图象判断作答.
【详解】依题意，切线，即，
则，求导得：，
显然，观察图象知，函数的导函数单调递增，即函数单调递增，
则当时，有，当时，有，
所以是的极小值点，选项ACD错误，B正确.
故选：B
2．已知函数的导函数的图像如图所示，那么函数（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在处取得最大值D．在处取得极大值
【答案】D
【分析】根据给定的函数图象，判断为正或负的x取值区间，再逐项判断作答.
【详解】由函数的导函数的图像知，当或时，，
当时，，当且仅当时取等号，
因此函数在，上单调递减，在上单调递增，选项A，B不正确；
在处取得极小值，在处取得极大值，有，C不正确，D正确.
故选：D
3．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数有极大值和极小值
B．函数有极大值和极小值
C．函数有极大值和极小值
D．函数有极大值和极小值
【答案】B
【分析】由函数图象，确定的零点并判断的区间符号，进而可得的单调性，即可知极值情况.
【详解】由图知：当时，有、，
∴，，
又时，而则，即递增；
时，而则，即递减；
时，而则，即递增；
时，而则，即递增；
综上，、上递增；上递减.
∴函数有极大值和极小值.
故选：B
4．若函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．是函数的极小值点B．是函数的极小值点
C．是函数的极大值点D．1是函数的极大值点
【答案】A
【分析】根据给定的函数图象，确定导数为正或负的x取值区间，再逐项判断作答.
【详解】观察导函数的图象知，当时，，当时，，当且仅当时取等号，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
于是得是函数的唯一极值点，且是极小值点，A正确，B，C，D都不正确.
故选：A
5．已知函数的导函数的图象如图所示，则的极值点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】含导函数图象确定的极值点个数，要保证导函数的零点左右两边导函数函数值一正一负.
【详解】因为在左、右两边的导数值均为负数，所以0不是极值点，故由图可知只有2个极值点.
故选：C
6．已知函数，则（ ）
A．的极大值为0B．曲线在处的切线为轴
C．的最小值为0D．在定义域内单调
【答案】C
【分析】直接对，求出导函数，利用列表法可以验证A、C、D;对于B:直接求出切线方程进行验证即可.
【详解】的定义域为，
令，得，
列表得：
所以的极小值，也是最小值为，无极大值，在定义域内不单调；故C正确，A、D错误；
对于B:由及，所以在处的切线方程，即.故B错误.
故选：C
【点睛】导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
7．若是函数的极值点．则的极小值为（ ）
A．-3B．C．D．0
【答案】A
【分析】根据给定的极值点求出参数a的值，再求出函数极小值作答.
【详解】函数，求导得：，
因是函数的极值点，即，解得，
，当或时，，当时，，
即是函数的极值点，函数在处取得极小值.
故选：A
8．已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】对求导，分a＝0和a≠0讨论的单调性，即可求出a≠0时，在x＝－1处取得极小值，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】.
①当a＝0时，，故在R上单调递增，无最小值.
②当a≠0时，令，得x＝－1或.又，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故在x＝－1处取得极小值.
综上，函数在x＝－1处取得极小值.
所以“”是“函数在x＝－1处取得极小值”的充分不必要条件.
故选：A.
9．等比数列中的项，是函数的极值点，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据题意确定函数的极值点，进而得到，然后根据等比中项求得答案.
【详解】由题意，，则时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，于是x=1和x=3是函数的两个极值点，故，是的两个根，所以，所以，又，所以，，设公比为，，所以.
故选：D.
10．已知函数，的导函数，的图象如图所示，则的极值情况为（ ）
A．2个极大值，1个极小值B．1个极大值，1个极小值
C．1个极大值，2个极小值D．1个极大值，无极小值
【答案】B
【分析】根据图象判断的正负，再根据极值的定义分析判断即可
【详解】由，得，令，
由图可知的三个根即为与的交点的横坐标，
当时，，
当时，，即，
所以为的极大值点，为的极大值，
当时，，即，
所以为的极小值点，为的极小值，
故选：B
11．函数的极小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用导数分析函数的单调性，可求得该函数的极小值.
【详解】对函数求导得，令，可得或，
列表如下：
所以，函数的极小值为.
故选：A.
12．函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】应用导数研究的单调性、极值，再结合零点存在性定理判断区间零点个数，即可确定答案.
【详解】由题设，且定义域为，
所以在上，在上，即在上递减，在上递增，
所以的极小值为，又，，
则在、上各有一个零点，共有2个零点.
故选：B
13．设函数，，b均为正整数，若的极小值点为2，则的极大值点为（ ）
A．1B．3C．1或3D．不确定
【答案】B
【分析】求导函数，令，由极值点的定义得，方程必有一根为2，且2是的极小值点， 由二次函数的性质建立不等式可得答案.
【详解】解：求导得，令，得，则方程必有一根为2．
代入，有，解得，则．
因为2是的极小值点，又，所以为方程的较小根，从而，故．
又a为正整数，故a＝1．所以的极大值点为，
故选：B．
14．关于函数，给出下列四个判断：
①的解集是；
②有极小值也有极大值；
③无最大值，也无最小值；
④有最大值，无最小值.
其中判断正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③D．①④
【答案】A
【分析】对①，将不等式转化为，解一元二次不等式；对②，对函数求导后，再解导数不等式；对③④利用导数求出函数的单调区间，结合时，函数值的取值情况，即可得到答案；
【详解】①因为，所以由得，即，解得，即的解集是，所以①正确．
②函数的导数为，由，得或．由得，
所以当时函数取得极小值．当时函数取得极大值．所以②正确．
③由②知，当或时，函数单调递增，且时，；当时，，所以无最大值，也无最小值．所以③正确．
④由③知无最大值，也无最小值，所以④错误．
所以判断正确的是①②③．
故选：A．
15．函数的极大值为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】B
【分析】根据函数的导数，分析函数单调性区间即可求出函数极大值.
【详解】函数的定义域为R，
则，
令，解得，，
当或时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得极大值．
故选：B
16．已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出函数的导函数，结合已知条件和导函数的零点即可判断.
【详解】因为函数，
则，
要使函数在处取得极小值，则，
故选：B.
17．若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出函数的定义域，则有，对函数求导后，令求出极值点，使极值点在内，从而可求出实数的取值范围.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，即，
，
令，得或（舍去），
因为在定义域的一个子区间内不是单调函数，
所以，得，
综上，，
故选：A
18．函数在区间上存在极值，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】利用导数讨论函数的单调性和极值即可求解.
【详解】函数的定义域为，
，
令，，
所以当时，，当时，，
所以在单调递增，单调递减，
所以，
又因为当时，则，
，
所以存在唯一，使得，
所以函数在时，时，
所以函数在单调递增，单调递减，
所以要使函数在区间上存在极值，
所以的最大值为3，
故选:B.
19．若函数的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求导，分，与三种情况，结合函数极值及函数图象的走势，得到不等式，求出实数a的取值范围.
【详解】当时，不经过三四象限，不合题意，舍去，
当时，由得，
若，则当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在处取得极大值，且极大值为，故经过第二象限，
在处取得极小值，且极小值为，
函数一定过第三和第一象限，
要想经过第四象限，只需，解得，
若，则当或时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故在处取得极小值，且极小值为，
在处取得极大值，且极大值为，故经过第一象限，
函数一定过第二和第四象限，
要想经过第三象限，只需，解得，
综上，实数a的取值范围是.
故选：C
20．已知函数的两个极值点分别为和2，若的极大值为1，则的值为（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】B
【分析】对函数进行求导，通过两个极值点可得到，然后分和两种情况进行讨论即可
【详解】由可知，
因为函数的两个极值点分别为和2，所以和2是的零点，
故和2是的实数根，，，．
当，即时，
当，当，
函数在上单调递减，在上单调递增，
此时极大值为，，；
当，即时，
当，当，
函数在上单调递增，在上单调递减，
此时极大值为，，，
只要，无论a取何值，始终成立，
故选：B．
21．设函数在区间恰有5个极值点，4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用整体思想，结合余弦函数得图像与性质及极值的定义列出不等式组，解之即可.
【详解】解：令，得，
因为，所以，
因为函数在区间恰有5个极值点，4个零点，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：D.
22．函数y＝的最大值为（ ）
A．e－1B．eC．e2D．10
【答案】A
【分析】先求导找极大值，再得最大值.
【详解】令 当时， ；当 时 ，
所以函数得极大值为 ，因为在定义域内只有一个极值，所以
故选：A.
23．若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知条件推导出，，令，利用导数求出函数的最小值，由此能求出实数的取值范围．
【详解】解：对恒成立，
，，
令，
则，
当时，，当时，，
∴函数在上递减，在上递增，
所以
．
实数的取值范围是，．
故选：C．
24．（多选）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递减B．函数在区间上单调递减
C．函数在处取得极大值D．函数在处取得极小值
【答案】ACD
【分析】根据导函数图象，结合函数的单调性与极值与导数的关系逐项判断即可.
【详解】对于A．因为在区间上成立，所以区间是的单调递减区间，故A正确；
对于B．因为当时，，当时，，所以在上不单调，故B错误；
对于C．因为当时，，当时，，函数在处取得极大值，故C正确；
对于D．因为当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，故D正确.
故选：ACD．
25．（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．有且仅有两个极值点
B．在区间上单调递增
C．可能有四个零点
D．若在区间上单调递减，则的最大值为6
【答案】AD
【分析】根据的图象，得出函数的单调性，结合极值点的概念和单调区间，逐项判定，即可求解.
【详解】由的图象知，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
即函数的在上单调递增，在上单调递减，在单调递增；
对于A中，根据极值点的概念，可得：
当时，取得极大值，当时，取得极小值，所以A正确；
对于B中，当，，单调递减；
当时，，单调递增，所以B不正确；
对于C中，根据函数的单调性，可得函数的图象最多与轴有三个交点，
所以函数最多有三个零点，所以C不正确；
对于D中，因为函数在区间上单调递减，
要使得在区间上单调递减，可得的最大值为，所以D正确.
故选：AD.
26．函数的极小值为______.
【答案】
【分析】求导得到单调区间，再计算极值得到答案.
【详解】，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
故当时，函数有极小值为.
故答案为：
27．若是函数的一个极值点，则实数___________.
【答案】
【分析】求出函数的导函数，依题意可得，代入求出参数的值，再检验即可.
【详解】因为，所以，
依题意可得，即，解得，经检验符合题意.
故答案为：
28．在等比数列中，是函数的极值点，则＝__________．
【答案】
【分析】由题，利用导数及韦达定理可得，后利用等比中项性质可得答案.
【详解】，
由题是方程的两个不等实根，
则由韦达定理，所以
又是的等比中项且与同号，则.
故答案为：.
29．已知函数在区间上有两个极值，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】求得，根据题意转化为在上有两个不等的实数根，转化为和的图象有两个交点，求得，求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】，
由题意知在上有两个不相等的实根，
将其变形为，设，则.
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
的极大值为.
画出函数的大致图象如图，
易知当时，；当时，，
，即.
故答案为：.
30．已知函数在处有极小值，且极小值为6，则______.
【答案】5
【分析】求导得到导函数，根据，解得或，再验证得到答案.
【详解】，则，
根据题意，，
解得或，
当时，，
当和时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
故是极小值点，正确；
当时，恒成立，函数无极小值点，排除.
综上所述：.
故答案为：
31．已知函数的极小值为2，则______
【答案】
【分析】求函数的极小值的表达式，列方程求.
【详解】函数的定义域为，
求导得，令可得，
当时，，函数在单调递减；
当时，，函数在单调递增，
故的极小值为，
由已知可得，
所以．
故答案为：.
32．函数有两个零点，且极大值小于，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】求导后，分别在和的情况下讨论的单调性，从而确定极大值为，根据函数有两个零点和已知可确定，由此可得的范围，结合零点存在定理可说明此时有两个零点，由此可得结论.
【详解】由题意知：定义域为，；
当时，恒成立，即在上单调递增，则至多有一个零点，不合题意；
当时，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，解得：；
若有两个零点，则需，解得：，；
此时，，
又，，
在和存在两个零点，满足题意；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
33．已知函数的定义域为R，的导函数，若函数无极值，则a=_________.
【答案】
【分析】根据二次函数的性质，分类讨论，导数大于零的区间，可得函数的单调性，根据极值的定义，可得答案.
【详解】当时，在区间上递增，
在区间上递减.的极大值点为，极小值点为.
当时，，在上递增，无极值.
当时，在区间上递增，
在区间上递减.的极大值点为，极小值点为.
故答案为：.
34．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】设由题可知，当时，可得适合题意，当时，可求函数的最小值即得，当时不合题意，即得.
【详解】设，由题可知，
∴，
当时，，适合题意，所以，
当时，令，则，
此时时，，单调递减，，，单调递增，
∴，又，
∴，
∴，即，
解得，
当时，时，，，故的值有正有负，不合题意；
综上，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，设由题可知，当时，利用导数可求函数的最小值，结合，可得，进而通过解，即得.
35．已知函数，若恒成立，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】恒成立，只需即可，求出，得出单调区间，进而求出，求解即可得出结论.
【详解】由，得，
又函数的定义域为，令，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
故是函数的极小值点，也是最小值点，且，
要使恒成立，需，则.
故答案为：．
36．已知，函数在上的最小值为2，则实数__________.
【答案】1
【分析】利用导数分类为与讨论，得出在上的最小值，由最小值为2求解a的值即可得出答案.
【详解】，
，
当时，即时，
则在上恒成立，则在上单调递增，
在上的最小值为，解得，
当时，即时，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
在上的最小值为，舍去，
综上所述：，
故答案为：1.
37．已知函数，，若当时，存在，，使得成立，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【分析】本题将恒成立问题转化为最值，不等式问题，再解不等式即可.
【详解】由题意：存在，，使得成立，等价于.
因为，，所以当时，.
因为，，所以.
所以在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以.又，所以或.
故实数a的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，函数的最值问题，是中档题.
38．已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】“若，使得”转换为集合交集非空，分别根据导数求，的值域，进一步求出答案.
【详解】因为
所以
当，，所以单调递减，
因为，所以，
当，，所以单调递增，
因为，使得，
所以
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查的是导数综合的问题，涉及到函数单调性以及恒成立的问题，属中档题.
本题主要是转换的思想，“若，使得”可以转换为集合交集非空.
39．已知是函数的极值点，则该函数在上的最大值是______.
【答案】
【分析】根据在极值点处导数为0求得a，利用导数讨论单调性，然后可求最值.
【详解】记
，
因为是函数的极值点，
所以，解得
令，解得或
当时，，递减；当时，，递增
又，
所以，该函数在上的最大值是
故答案为：
40．已知函数在处取得极值.
(1)求实数的值；
(2)若关于的方程在区间只有两解，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）对函数求导并，由此解得
（2）研究函数在区间单调性，结合端点值，确定实数的取值范围即可.
【详解】（1）由题意知：，
解得：
（2）由（1）知，，，
当函数单调递增；
当函数单调递减；
所以当时，在区间只有两解，
故实数的取值范围为.
41．已知函数是的一个极值点．
(1)求b的值；
(2)当时，求函数的最大值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）对求导，是的一个极值点，所以 ，解方程即可
（2）先利用导数求出的单调区间，再根据函数的单调性求的最大值
【详解】（1），
∵是的一个极值点，∴
解得．经检验，满足题意．
（2）由（1）知：，则．
令，解得或
∵，
∴函数的最大值为。
42．设函数，其中.
(1)讨论的单调性；
(2)若的图象与轴没有公共点，求的取值范围.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；(2)
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）根据（1）的单调性性可得，从而可求a的取值范围.
【详解】（1）
，
在上，单调递减；在上，单调递增.
综上所述，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）可知，
的图像与轴没有公共点，，.
的取值范围为.
43．已知函数
(1)讨论的单调区间；
(2)求在上的最大值.
【答案】(1)①，在上单减；②，在上单增，单减；
(2).
【分析】（1），根据函数定义域，分， ，讨论求解；
（2）根据（1）知：分，，，讨论求解.
【详解】(1)解：(1)定义域，
①时，成立，所以在上递减；
②时，当时，，当时，，
所以在上单增，单减；
(2)由（1）知：时，在单减，
所以；
时，在单减，
所以；
时，在上单增，上递减，
所以；
时，在单增，
所以；
综上：.
44．已知函数．
(1)若，求函数的单调递减区间；
(2)若，求函数在区间上的最大值；
(3)若在区间上恒成立，求的最大值.
【答案】(1)；(2)答案见详解；(3)1
【分析】（1）求导，利用导数求原函数单调递减区间；（2）分类讨论判断导函数符号，进而确定原函数的单调性及最大值；（3）根据恒成立理解可得，分类讨论，结合（2）运算求解.
【详解】（1）当时，，则，
令．因为 ，则
所以函数的单调递减区间是
（2）．
令，由，解得，（舍去）．
当，即时，在区间上，函数在上是减函数．
所以函数在区间上的最大值为；
当，即时，在上变化时，的变化情况如下表
所以函数在区间上的最大值为．
综上所述：
当时，函数在区间上的最大值为；
当时，函数在区间上的最大值为．
（3）当时，则在上恒成立
∴函数在上是减函数，则
∴成立
当时，由（2）可知：
①当时，在区间上恒成立，则成立；
②当时，由于在区间上是增函数，
所以 ，即在区间上存在使得，不成立
综上所述：的取值范围为，即的最大值为．
45．已知函数.
(1)若曲线在x＝1处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，求a的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若存在，使得，求a的取值范围．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)
【分析】（1）由导数的几何意义结合题意知，，解方程即可得出答案；
（2）对求导，讨论和时，即可得出函数的单调区间；
（3）由（2）知，当时，，则存在，使得，当时，，解不等式即可求出a的取值范围．
【详解】（1）直线2x－y＋3＝0的斜率为，
因为，所以由导数的几何意义知，，
所以，解得：.
（2）的定义域为，
，
当时，，则在上单调递增，
当时，令，解得：，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，则单调递增区间为；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）若存在，使得，转化为证明，
由（2）知，当时，则在上单调递增，而，
则存在，使得，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
所以，
解得：，因为，所以.
a的取值范围为.
46．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数在上的最小值.
【答案】(1)；(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程；
（2）首先求函数的导数，化简为，再讨论和两种情况讨论函数的单调性，再求函数的最值.
【详解】（1）当时，
所以.
所以曲线在处的切线方程为：.
（2）.
①当时，.
所以时，.
所以在上是增函数.所以.
②当时，令，解得（舍）
1°当，即时，时，.
所以在上是增函数.所以.
2°当，即时，
所以.
3°当，即时，时，.
所以在上是减函数.所以.
综上，当时，；
当时，.
当时，.
47．已知函数.
(1)若，求证：.
(2)讨论函数的极值；
【答案】(1)证明见解析；
(2)极小值，无极大值.
【分析】（1）代入，求出，得出单调区间，求出函数的最小值，即可证明；
（2）求出，然后分以及两种情况，根据导函数即可得出函数的极值.
【详解】（1）当时，，则.
则当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
则在处取得极小值，也是最小值，
所以.
（2）根据题意得：，.
当时，，则在上单调递减，没有极值；
当时，当时，；当时，.
则在上单调递减，在上单调递增.
则在处取得极小值，无极大值.
综上所述，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值.
48．已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值.
【答案】(1)
(2)极小值为，无极大值；
【分析】（1）求出切点坐标，利用导数求切线斜率，可求出切线方程.
（2）利用导数研究函数单调性，可求得极值.
【详解】（1），∴切点为，
又，切线斜率，
∴切线方程为：，即
（2）函数定义域为，
，
令，解得，令，解得，
即在单调递减，在单调递增；
∴极小值为，无极大值；
49．已知函数，其中，且曲线在点处的切线斜率为
(1)求的值.
(2)求函数的单调区间与极值；
【答案】(1)
(2)的单调递减区间为，单调递增区间，极小值为，无极大值
【分析】（1）根据导数的几何意义运算求解；
（2）求导，利用导数判断原函数的单调区间和极值.
【详解】（1）∵，则，
由题意可得，
故的值为.
（2）由（1）可得：，
∵的定义域为，则，
令，解得；令，解得；
则的单调递减区间为，单调递增区间，
可得的极小值为，无极大值，
故的单调递减区间为，单调递增区间，极小值为，无极大值.
50．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)函数在区间上的最小值小于零，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2).
【分析】（1）对求导并求定义域，讨论、分别判断的符号，进而确定单调区间.
（2）由题设，结合（1）所得的单调性，讨论、、分别确定在给定区间上的最小值，根据最小值小于零求参数a的范围.
【详解】（1）
由题设，且定义域为，
当，即时，在上，即在上递增；
当，即时，在上，在上，所以在上递减，在上递增；
（2）由（1）知：
若，即时，则在上递增，故，可得；
若，即时，则在上递减，在上递增，故，不合题设；
若，即时，则在上递减，故，得；
综上，a的取值范围.
增
极大值
减
极小值
增
x
(0，eq \r(a))
eq \r(a)
(eq \r(a)，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)

极小值

x
1
2
0
0
递增
极大值
递减
极小值
递增
x
(0,1)
1
(1,+∞)
-
0
+
f(x)
单减
单增
减
极小值
增
极大值
减
x
1
2
+
0
-
0
+
递增
递减
递增
x
+
+
-
↗
↘
x
-
0
+
减函数
极小值
增函数