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高考数学第一轮复习(新教材新高考)第03讲导数与函数的极值、最值（核心考点精讲精练）(学生版+解析)
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这是一份高考数学第一轮复习(新教材新高考)第03讲导数与函数的极值、最值（核心考点精讲精练）(学生版+解析)，共81页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略等内容，欢迎下载使用。
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
2能够利用导数求函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上的最大值、最小值
3体会导数与极大(小)值、最大(小)值的关系
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，会结合导数来判断或证明函数的单调性，从而求得函数的极值或给定区间上的最值，热点内容，需综合复习
知识讲解
函数的极值与导数
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，，而且在点x＝b 附近的左侧，右侧，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
（3）极值与导数的关系
是极值点
是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件
函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
考点一、求函数的极值或极值点
1．（天津·高考真题）已知函数在上满足，当时取得极值.
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明：对任意、，不等式恒成立.
2．（全国·高考真题）已知函数（为自然对数的底数）
（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
（2）求函数的极值；
（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.
3．（天津·高考真题）已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，
（Ⅲ）如果，且，证明
4．（山东·高考真题）设函数，其中.
（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若成立，求的取值范围.
1．（2023·湖北黄石·统考模拟预测）已知，函数，.
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)设较小的零点为，证明：.
2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数的极值点个数；
(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整数值.
3．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知函数，．
(1)求函数的极值点；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
4．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）设函数.
(1)求的极值；
(2)已知，有最小值，求的取值范围.
5．（2023·山东青岛·统考二模）已知函数，.
(1)讨论极值点的个数；
(2)若恰有三个零点和两个极值点.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）若，且，证明：.
6．（2023·浙江·校联考模拟预测）己知函数有三个极值点，其中.
(1)求的取值范围；
(2)求证：；
(3)求证：.
考点二、根据函数极值或极值点求参数值或范围
1．（2023·全国·统考高考真题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
1．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数，若函数在处取得极小值，则的取值范围为 .
2．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）已知函数有两个极值点，，且，则实数m的取值范围是 .
3．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 .
4．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知函数存在两个极值点，，则以下结论正确的为（ ）
A．B．
C．若，则D．
考点三、利用导数求函数最值
1．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数在区间上的最小值；
(2)判断函数的零点个数，并证明.
2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知函数，其中a为实数.
(1)若，求函数在区间上的最小值；
(2)若函数在上存在两个极值点，，且.求证：.
3．（2023·浙江·校联考二模）设，已知函数有个不同零点.
(1)当时，求函数的最小值：
(2)求实数的取值范围；
(3)设函数的三个零点分别为、、，且，证明：存在唯一的实数，使得、、成等差数列.
4．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数在上的最小值；
(2)证明：当时，.
5．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知函数，，.
(1)讨论函数在区间上的最大值；
(2)确定k的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有.
6．（2023·江苏·二模）已知函数 ．
(1)当时，求函数的单调递增区间
(2)若函数在的最小值为，求的最大值．
考点四、由函数最值求参数值或范围
1．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
1．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是 ．
2．（2023·广东广州·广州六中校考三模）已知与有相同的最小值.
(1)求实数的值；
(2)已知，函数有两个零点，求证：.
【基础过关】
一、多选题
1．（2023·河北石家庄·统考三模）设函数的定义域为是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．B．是的极大值点
C．是的极小值点D．是的极大值点
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）设函数，则（ ）
A．是奇函数
B．当时，有最小值2
C．在区间上单调递减
D．有两个极值点
二、填空题
3．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知实数成等比数列，且函数，当时取到极大值，则等于 .
三、解答题
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知函数在处取得极值-14.
(1)求a，b的值；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)求函数在上的最值.
5．（2023·浙江温州·统考二模）已知函数，.
（1）若在处的切线与也相切，求的值；
（2）若，求函数的最大值.
6．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）设函数．
（1）当时，求函数的最大值；
（2）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．
7．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知函数
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
8．（2023·辽宁丹东·统考二模）已知为函数的极值点．
(1)求；
(2)证明：当时，．
9．（2023·福建·统考模拟预测）已知函数．
(1)求的单调区间和极值；
(2)若有零点，求的最小值．
10．（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
(3)设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由.
【能力提升】
1．（2023·重庆万州·统考模拟预测）已知函数．
(1)讨论的极值；
(2)当时，关于x的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
2．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若在区间上有极小值，求实数的取值范围；
(2)求证：.
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)讨论函数的最值；
(2)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围．
4．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知函数，其中.
(1)若时，有极值，求的值；
(2)设，讨论的零点个数.
5．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知函数.
(1)若的极大值为3，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
6．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数，其中.
(1)讨论函数极值点的个数；
(2)对任意的，都有，求实数的取值范围.
7．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知函数，．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
8．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数，.
(1)若，证明：；
(2)若函数最大值为，求实数a的值.
9．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数．
(1)当时，求函数在上的极值；
(2)用表示中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．
10．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数和在同一处取得相同的最大值．
(1)求实数a；
(2)设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为（），证明：．
【真题感知】
一、单选题
1．（2021·全国·统考高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
三、填空题
3．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小值为 .
四、解答题
4．（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
6．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
第03讲 导数与函数的极值、最值
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
2能够利用导数求函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上的最大值、最小值
3体会导数与极大(小)值、最大(小)值的关系
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，会结合导数来判断或证明函数的单调性，从而求得函数的极值或给定区间上的最值，热点内容，需综合复习
知识讲解
函数的极值与导数
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，，而且在点x＝b 附近的左侧，右侧，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
（3）极值与导数的关系
是极值点
是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件
函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
考点一、求函数的极值或极值点
1．（天津·高考真题）已知函数在上满足，当时取得极值.
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明：对任意、，不等式恒成立.
【答案】（1）单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值为；（2）证明见解析.
【分析】（1）由可求得，由题意得出可解出、的值，可得出函数的解析式，然后利用导数可求得函数的单调区间和极大值；
（2）求得函数在区间上的最大值，最小值，由此可得出，进而可证得结论.
【详解】（1），由，得，可得.
，，
由于函数在处取得极值，则，解得，
，
，从而.
当时，，则函数在上是增函数；
在时，，则函数在上是减函数；
当时，，则函数在上是增函数.
所以，函数在处取得极大值，即；
（2）由（1）知，函数在上是减函数，
当时，，.
所以，对任意、，不等式.
【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间和极值，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
2．（全国·高考真题）已知函数（为自然对数的底数）
（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
（2）求函数的极值；
（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.
【答案】（1）（2）当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（3）的最大值为
【分析】（1）求出，由导数的几何意义，解方程即可；（2）解方程，注意分类讨论，以确定的符号，从而确定的单调性，得极大值或极小值（极值点多时，最好列表表示）；（3）题意就是方程无实数解，即关于的方程在上没有实数解．一般是分类讨论，时，无实数解，时，方程变为，因此可通过求函数的值域来求得的范围．
【详解】（1）由,得．
又曲线在点处的切线平行于轴,
得,即,解得．
（2）,
①当时,,为上的增函数,
所以函数无极值．
②当时,令,得,．
,;,．
所以在上单调递减,在上单调递增,
故在处取得极小值,且极小值为,无极大值．
综上,当时,函数无极小值
当,在处取得极小值,无极大值．
（3）当时,
令,
则直线:与曲线没有公共点,
等价于方程在上没有实数解．
假设,此时,,
又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故．
又时,,知方程在上没有实数解．
所以的最大值为．
解法二:
（1）（2）同解法一．
（3）当时,．
直线:与曲线没有公共点,
等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:
（*）
在上没有实数解．
①当时,方程（*）可化为,在上没有实数解．
②当时,方程（*）化为．
令,则有．
令,得,
当变化时,的变化情况如下表:
当时,,同时当趋于时,趋于,
从而的取值范围为．
所以当时,方程（*）无实数解, 解得的取值范围是．
综上,得的最大值为．
考点：导数的几何意义，极值，导数与单调性、值域，方程根的分布．
3．（天津·高考真题）已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，
（Ⅲ）如果，且，证明
【答案】（Ⅰ）f(x)在()内是增函数，在()内是减函数．函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= （Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析
【详解】（Ⅰ）解：f’
令f’(x)=0,解得x=1
当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表
所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数．
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数．
又F(1)=0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
（Ⅲ）证明：（1）
若
（2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2.
4．（山东·高考真题）设函数，其中.
（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若成立，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）的取值范围是.
【详解】试题分析：（Ⅰ）先求，令
通过对 的取值的讨论，结合二次函数的知识，由导数的符号得到函数 的单调区间；（Ⅱ）根据（1）的结果这一特殊性，通过对参数的讨论确定的取值范围.
试题解析：函数的定义域为
令，
（1）当 时， ， 在上恒成立
所以，函数在上单调递增无极值；
（2）当 时，
①当时， ，
所以，，函数在上单调递增无极值；
②当 时，
设方程的两根为
因为
所以，
由可得：
所以，当时， ，函数单调递增；
当时， ，函数单调递减；
当时， ，函数单调递增；
因此函数有两个极值点．
（3）当 时，
由可得：
当时， ，函数单调递增；
当时， ，函数单调递减；
因此函数有一个极值点．
综上：
当 时，函数在上有唯一极值点；
当时，函数在上无极值点；
当时，函数在上有两个极值点；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
（1）当时，函数在上单调递增，
因为
所以，时， ，符合题意；
（2）当 时，由 ，得
所以，函数在上单调递增，
又，所以，时， ，符合题意；
（3）当 时，由 ，可得
所以 时，函数 单调递减；
又
所以，当时， 不符合题意；
（4）当时，设
因为时，
所以 在 上单调递增，
因此当时，
即：
可得：
当 时，
此时， 不合题意.
综上所述，的取值范围是
考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.
1．（2023·湖北黄石·统考模拟预测）已知，函数，.
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)设较小的零点为，证明：.
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值，无极大值
(2)证明见解析
【分析】（1）由导数法求极值及单调区间即可；
（2）先由零点存在定理说明存在两个零点，
法一：由导数法证，，结合函数单调性即可证明；
法二：由导数法证明证明当时，，再令代入不等式化简得证.
【详解】（1）因为，，所以，
当时，；当时，，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
故有极小值，无极大值；
（2）因为当时，，所以，
所以，
又时，；时，，
所以有两个零点 ；
法1：下面证明，，
设，
则，所以在上递增，
又时，，所以对成立，
所以得证 ，
，
令，则，，，∴.
设，，
则，所以在上递减，
所以，所以，
所以得证 ，
因为函数区间单调递减，
又，，，、、，
所以 ；
法2：下面证明当时，，
设，，
，
所以在上递增，
所以，所以，
再设，，
，
所以在上递增，
所以，所以，
综上，当时， ，
现有，所以，
故得，
故得，
所以 .
【点睛】证明零点所在区间问题：
（1）可结合零点存在定理说明在区间端点处异号及函数单调性证明；
（2）通过将结论不等式变形，构造成题设函数的形式，从而将问题转化为证明不等式成立. 如本题变形成，变形成，则可转化为证；
（3）证明不等关系可通过构造函数，结合导数法证明.
2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数的极值点个数；
(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整数值.
【答案】(1)极值点个数为1
(2)4
【分析】（1）求出，然后证明只有一个变号零点即可；
（2）条件不等式可转化为，然后求出，分、两种情况得到的单调性，然后可得到成立，然后利用导数可分析出答案.
【详解】（1）已知，
可得
令，则，
函数单调递减，且当时，，故函数先增后减，
当时，，
其中，∴，∴
当时，，
∴函数只有一个零点，∴函数的极值点个数为1.
（2）变形，得，
整理得，
令，则，∵，∴，
若，则恒成立，即在区间上单调递增，
由，∴，∴，∴，此时可取的最大整数为2，
若，令，则，令，则，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在区间上有最小值，，
于是问题转化为成立，求的最大值，
令，则，∵当时，，单调递减，
当时，单调递增，∴在处取得最大值，
∵，∴，∵，，
，此时可取的最大整数为4.
综上，可取的最大整数为4.
3．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知函数，．
(1)求函数的极值点；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)是的极大值点，无极小值点
(2)
【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调区间，再确定函数的极值点；
（2）解法一，首先构造函数，，再根据函数的导数，判断函数的最大值，即可求解；解法二，首先证明，即可得，即，不等式恒成立，转化为，即可求解.
【详解】（1）由已知可得，函数的定义域为，且，
当时，；当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以是的极大值点，无极小值点．
（2）解法一：设，，
则，
令，，则对任意恒成立，
所以在上单调递减．
又，，
所以，使得，即，则，即．
因此，当时，，即，则单调递增；
当时，，即，则单调递减，
故，解得，
所以当时，恒成立．
解法二：令，，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即．
因为，所以，当时等号成立，
即，当时等号成立，
所以的最小值为1．
若恒成立，则，
所以当时，恒成立．
4．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）设函数.
(1)求的极值；
(2)已知，有最小值，求的取值范围.
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)
【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性，结合极值定义可求得结果；
（2）由可得，令，可将表示为；构造函数，求导后，分别在和的情况下，讨论得到单调性，进而确定符合题意的的取值范围.
【详解】（1）由题意知：定义域为，，
，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
的极大值为，无极小值.
（2）可化为，
为单调递增函数，
由可得：，即，
令，则，，，，
，
令，
，
令，
；
①当时，恒成立，在上单调递增，
，即，在上单调递增，
此时在上不存在最小值，即不存在最小值，不合题意；
②当时，若，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增，
又，，又，
存在，使得，且当时，，即；当时，，即；
在上单调递减，在上单调递增，
，即有最小值；
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数极值、多变量问题的求解；求解多变量问题的关键是能够通过引入第三变量，将利用来表示，从而减少变量个数，将问题转化为关于的函数的单调性的讨论问题.
5．（2023·山东青岛·统考二模）已知函数，.
(1)讨论极值点的个数；
(2)若恰有三个零点和两个极值点.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）若，且，证明：.
【答案】(1)当时, 无极值点;当时,所以有两个极值点；
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）先求导，对进行讨论，研究单调性可得函数的极值；
（2）(i)由(1)知: ,且,,又得出，即可得证；
(ii)易得，令,可得，要证明:，只需证:，只需证: (显然,易证)，即证明:，又因为,所以，令,,利用导数证明即可.
【详解】（1）由题知:，
设函数,
当时,开口向上,,
所以,在上单调递减,无极值点；
当时, 在上有两个解,
又因为,
所以在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.
所以有两个极值点.
综上:当时, 无极值点;当时,所以有两个极值点.
（2）(i)由(1)知: ,且,
又因为,
所以.
(ii)由(i)知:,,,
所以,所以.
令,,
所以在上单调递减,在上单调递增.
因为时,>0;时,<0.
所以.
所以,要证明:,
只需证:,
只需证: ,
只需证: ,
只需证:,
又因为在上单调递增,
所以只需证:.
令，所以，
所以函数在上单调递减；
所以，即.
所以，要证：，只需证：，即证明:.
因为,所以,所以.
又因为,
所以,所以.
令,,则,
所以在上单调递增,所以,
所以,所以成立.
【点睛】方法点睛：
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见结论放缩；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
6．（2023·浙江·校联考模拟预测）己知函数有三个极值点，其中.
(1)求的取值范围；
(2)求证：；
(3)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）对函数求导，将问题等价转化为有两个不等实根，令，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求解；
（2）根据题意，是的两个根，将问题等价转化为证明，令，利用函数的单调性进而求证；
（3）根据题意可得，将要问题等价转化为，令，利用导数与函数的单调性得到，令，，根据函数的单调性进而求证.
【详解】（1）
有两个不等根
令，则
在单调递增，上单调递减，且
.
（2）由（1）知，是的两个根
先证
令，
则
在上单调递增
又得证
（3）因为，所以，
，所以
要证，即证：，
又因为，即证：.
令，
所以单调递减，单调递增，
，即.令，
时，单调递减，
所以所以，即，
即成立.
【点睛】利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题.对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后再去证明.
考点二、根据函数极值或极值点求参数值或范围
1．（2023·全国·统考高考真题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，
因此方程有两个不等的正根，
于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.
故选：BCD
1．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数，若函数在处取得极小值，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】考查 的单调性，令，即 或，单调递增，设方程 的根为，通过对分类讨论，研究函数 的单调性即可得出．
【详解】，
考查 的单调性，令，即，
或，
即 或，
单调递增，设方程 的根为
①若，则不等式组 的解集为和，，
此时 在和，上单调递增，在 上单调递减，与在处取极小值矛盾；
②若，则不等式组 的解集为和，此时在上单调递增，与在处取极小值矛盾；
③若，则不等式组 的解集为 和，
此时在 和上单调递增，在，上单调递减，满足在处取极小值，
由单调性，．
综上所述：．
则的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，解题的关键是充利用分类讨论思想.
2．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）已知函数有两个极值点，，且，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据极值点的定义，结合函数零点的定义，通过构造函数，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】由有两个不同实根，
且，
设，
当时，，当时，，
在单调递减，在单调递增，所以，
显然当时，，当时，，
图象如下：
所以有，则有，
当时，即.，
时，，
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据函数极值的定义，结合构造函数法、数形结合法进行求解是解题的关键.
3．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】求函数导函数，由已知可得有两个不相等的正实数根，利用导数研究函数的性质，作出其图象，由此可求a的取值范围.
【详解】函数的定义域为，导函数，
由已知有两个不相等的正实数根，
所以有两个不相等正实数根，
令，则，
由，得.
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减.
又，，
当时，，当时，，
当时，，
由以上信息可得，函数的图象大致如下：
所以a的取值范围是.
故答案为：.
4．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知函数存在两个极值点，，则以下结论正确的为（ ）
A．B．
C．若，则D．
【答案】BD
【分析】由题可得方程有两个不相等的实数根，，构造函数，利用导数研究函数的性质画出函数的大致图象，然后结合条件逐项分析即得.
【详解】由题可得，则即，显然，
若方程有两个不相等的实数根，，即方程有两个不相等的实数根，，
即的图象与直线有两个交点，且横坐标分别为，，
又，所以由可得，由可得，
所以在，上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，
对A，要使函数存在两个极值点，，则，A错误；
对B，当时，的图象如图，易知，B正确；
对C，若，则，得，故，C错误；
对D，因为，所以，又，所以，，所以，故，所以，D正确．
故选：BD．
【点睛】函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
考点三、利用导数求函数最值
1．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.
【详解】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.
【详解】（1）当时，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
（2），则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
由（1）得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由（1）得当时，，，所以，
此时
存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.
1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数在区间上的最小值；
(2)判断函数的零点个数，并证明.
【答案】(1)
(2)有个零点，证明见解析
【分析】（1）对求导，令，，得出在的单调性，结合零点存在性定理可得在上单调递增，在上单调递减，再比较的大小，即可得出答案.
（2）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论，和时，的正负，即可得出证明.
【详解】（1）的定义域为，故，
令，，
当时，，
所以在上单调递减，且，
，
所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使
又当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，，
所以函数在区间上的最小值为.
（2）有个零点，证明如下：
因为，，
若，，
所以在区间上单调递增，又，，
结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点，
若，则，则，
若，因为，所以，
综上，函数在有且仅有一个零点.
2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知函数，其中a为实数.
(1)若，求函数在区间上的最小值；
(2)若函数在上存在两个极值点，，且.求证：.
【答案】(1)0
(2)证明见解析
【分析】利用导函数的判断函数的单调性即可求最小值.
先根据，为函数在上存在两个极值点，可得，为的两根，可得，带入后即证，再根据，和的关系，消元后只需要证明即，结合，即证.
【详解】（1）当时，，，，
令，，则，
所以在上单调递增，故，
所以，在上单调递增，
所以当时，的最小值为．
（2）依题意，在上存在两个极值点，，且．
所以在R上有两个不等的实根，，且．
令，，
所以当时，，所以在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故函数在处取得最小值，
要使得在R上有两个不同的零点，必须满足得，
此时，故．
因为，是的两个不等的实根，
所以，即
要证：，即证：，只要证：．
下面首先证明：．
要证：，即证：，
因，在上单调递增，
只要证：，即证：，
令，，
则，
所以在上单调递减，，即．
因为，所以．
所以，故．
要证：，只要证：，即证：，
只要证：，即证：，
事实上，，显然成立，得证．
【点睛】方法点睛：
双变量问题常用解题策略：
1.变更主元，对于题目涉及到的两个变元，已知中一个变元在题设给定的范围内任意变动，求另一外变元的取值范围问题，这类问题我们称之不“伪双变量”问题.这种“伪双变量”问题，往往会利用我们将字母x作为自变量的误区来进行设计.此时，我们变更一元思路，将另一个变量作为自变量，从而使问题得以解决，我们称这种方法为变更主元法.
2.指定主变量，有些问题虽然有两个变量，只要把其中一个当作常数，另一个看成自变量，便可使问题得以解决，我们称这种思想方法为指定主变量思想.
3.整体代换，变量归一，通过等价转化，将关于,x的双变量问题等价转化为以x,x所表示的运算式作为整体的单变量问题，通过整体代换为只有一个变量的函数式，从而使问题得到巧妙的解决，我们将这种解决问题的思想称之为变量归一思想.
3．（2023·浙江·校联考二模）设，已知函数有个不同零点.
(1)当时，求函数的最小值：
(2)求实数的取值范围；
(3)设函数的三个零点分别为、、，且，证明：存在唯一的实数，使得、、成等差数列.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，即可求得函数的最小值；
（2）利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出关于实数的不等式组，即可解得的取值范围；
（3）分析出，，对的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性与极值，可得，结合零点存在定理以及已知条件可得出结论.
【详解】（1）解：当时，，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，.
（2）解：因为，
则，
①当时，恒成立，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
此时函数至多两个零点，不合乎题意；
②当时，由可得或，列表如下：
由题意可知，有个不同的零点，则，
又因为，
令，记，
则，其中，则，
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，，即，当且仅当时，等号成立，，
故不等式组的解集为.
因为，，
故当时，函数有个不同的零点，
综上所述，实数的取值范围是.
（3）解：因为，，结合（2）中的结论可知，
①当时，若存在符合题意的实数，则由于，
因此，，，
因此，、、成等差数列可得出，考虑，
即，这等价于，
令，
所以，，
令，则，
当时，，则函数单调递增，
所以，，故函数单调递增，
因为，，
所以，在上存在唯一零点，记为，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
由于，，，
因此，在上无零点，在上存在唯一的零点，
所以，存在唯一的实数，使得、、成等差数列;
②当时，，不合乎题意.
综上所述，存在唯一的实数使得、、成等差数列.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
4．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数在上的最小值；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)当时，；当时，；当时，.
(2)见详解
【分析】(1)根据题意，求导，讨论函数在上的单调性，即可求解.
(2)根据题意，先证，放缩得，化简后构造新函数，即可证明.
【详解】（1）由，得，，
令，得，即，因此函数在上单调递减，在上单调递增.
①当，即时，函数在上单调递减，因此；
②当时，函数在上单调递增，因此；
③当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，因此.
综上所述，当时，；当时，；当时，.
（2）证明：设，，则，易得函数在上单调递减，在上单调递增，因此，故恒成立.
要证，只需证，
因为，所以，
故只需证（因时，左边小于右边，所以可以带等号），即.
令，则，易得函数在上单调递减，在上单调递增，因此，故.
因此当时，.
【点睛】分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.
5．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知函数，，.
(1)讨论函数在区间上的最大值；
(2)确定k的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有.
【答案】(1)答案详见解析
(2)
【分析】（1）构造函数，求得，对进行分类讨论，由此求得所求的最大值.
（2）对进行分类讨论，化简不等式，利用构造函数法，结合导数来求得的值.
【详解】（1），，
则，
当时，对任意恒成立，又，所以恒成立，
所以在上递减，所以的最大值为.
当时，在区间，递增；
在区间递减.
所以的最大值是.
（2）由（1）知，当时，时，；
当时，对任意，，
要使成立，显然.
当时，，
令，
则，
对于方程，，
所以方程有两个不同的实数根，，
由于，所以，
故在区间，递增，
此时，即，所以满足题意的不存在.
当时，由（1）知，存在，使得对任意的恒有，
此时，
令，
，
对于方程，，
所以方程两个不同的实数根，
，
由于，所以，
所以在区间递增，
此时即，
即与中较小者为，则当时，恒有，
所以满足题意的不存在.
当时，由（1）知当时，，
令，
，
所以当时，递减，
所以在区间上，
故当时，恒有，此时任意实数满足题意.
综上所述，.
【点睛】利用导数研究函数的最值，当导函数含有参数时，要注意对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.当所要研究的函数含有绝对值时，可对绝对值内的式子的符号进行分类讨论，去绝对值，将式子转化为没有绝对值的形式来进行研究.
6．（2023·江苏·二模）已知函数 ．
(1)当时，求函数的单调递增区间
(2)若函数在的最小值为，求的最大值．
【答案】(1)单调递增区间为
(2) ．
【分析】（1）求导并判断导数符号，进一步可得单调区间；
（2）求导，对进行分类讨论，根据函数在的最小值为，求得的取值范围，从而得到的最大值．
【详解】（1）当时，，
则，
令，在R上单调递增，
当时，，当时，，
即在上递减，在上递增，
故，
所以恒成立，仅当时取等号，
即的单调递增区间为
（2）
当时，时，，时，，
则在取得最小值，符合题意；
当时，时，，时，，
时，，
因为最小值为，所以得，即；
当时，由（1）可知单调递增，则当时无最小值，不合题意；
当时，时，，时，，
时，，
则有，不合题意；
综上可得，的最大值 ．
【点睛】难点点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间、利用导数根据函数最值求参数的最值，难点在于根据最小值求参数时，要注意讨论a的取值，结合函数的单调性，得到相应的不等式，确定参数范围.
考点四、由函数最值求参数值或范围
1．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
1．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是 ．
【答案】（答案不唯一，、均可）
【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，作出图形，求出使得的的值，根据函数在区间上有最小值可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】因为，则.
由可得，由可得或，
所以，函数的减区间为，增区间为、，
所以，函数的极大值为，极小值为，
令，其中，则，解得，
因为函数在区间上存在最小值，则，解得，
所以，整数的取值集合为.
故答案为：（答案不唯一，、均可）.
2．（2023·广东广州·广州六中校考三模）已知与有相同的最小值.
(1)求实数的值；
(2)已知，函数有两个零点，求证：.
【答案】(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数求得和的最小值，由它们相等可得参数的值；
（2）由有零点得，不妨令，利用导数得出，令，证明，从而证得，令，证明，从而证明，再由不等式得证结论成立．
【详解】（1），则，
若单调递减，若单调递增．
.
，
若，则无最小值，.
若单调递减，若单调递增，
，，，
，
令，则，
在上单调递增.
又，
；
（2），
，
，则，
时，，时，，
在上单调递减，上单调递增，
不妨令，则，
①令，
单调递增，，
∴，，
，
，
②令，
单调递增，，
，，由上知，
，
，
，
．
【点睛】难点点睛：利用导数证明与函数的两个零点有关的不等式，常用方法是利用得出之间的关系，从而达到消元的目的，化二元为一元，然后利用一元函数进行证明．本题难点在于对两个零点分别进行处理，为此需要引入两个函数和，利用它们分别证明和，然后由不等式的性质得出结论．这种方法的掌握需要平时多多积累．
【基础过关】
一、多选题
1．（2023·河北石家庄·统考三模）设函数的定义域为是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．B．是的极大值点
C．是的极小值点D．是的极大值点
【答案】BC
【分析】根据极值的定义结合函数的对称性进行判断即可.
【详解】是的极大值点．则存在区间，，对任意有，不一定是最大值，A错误；
的图象与的图象关于轴对称，因此，对任意有，是的极大值点，B正确；
的图象与的图象关于轴对称，因此对任意有，C正确；
由BC的推理可知是的极小值点，D错误．
故选：BC．
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）设函数，则（ ）
A．是奇函数
B．当时，有最小值2
C．在区间上单调递减
D．有两个极值点
【答案】BCD
【分析】对A：根据奇偶性定义判断；对B：使用基本不等式求解；对C：根据的单调性及平移判断；对D：用导数结合偶函数判断.
【详解】，
对A：定义域为，且，故是偶函数，故A错误；
对B：当时，，当时，取得最小值，故B正确；
对C：当时，，，
当时，，故在上为减函数，
而可以由向右平移1个单位得到，故在区间上单调递减，故C正确；
对D：当时，，
当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，
故为极小值点，且当时只有一个极小值点，
因为是偶函数，所以有两个极值点，故D正确.
故选：BCD
二、填空题
3．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知实数成等比数列，且函数，当时取到极大值，则等于 .
【答案】
【分析】通过导函数，求出极值，再利用等比数列的性质，即可求解.
【详解】令，
则函数的定义域为，导函数，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取极大值，极大值为，
所以，故，
又成等比数列，所以，
故答案为：.
三、解答题
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知函数在处取得极值-14.
(1)求a，b的值；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)求函数在上的最值.
【答案】(1)
(2)
(3)函数在上的最小值为，最大值为.
【分析】(1)求导，利用在处的导数值为0，并且，解之检验即可求解；
(2)结合（1）的结果，求出函数在处的导数值，利用导数的几何意义，代入即可求解；
(3) 结合（1）的结果，列出在时，随的变化，的变化情况，进而即可求解.
【详解】（1）因为函数，所以，
又函数在处取得极值.
则有，即，解得：，
经检验，时，符合题意，故.
（2）由（1）知：函数，则，
所以，又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
也即.
（3）由（1）知：函数，则，
令，解得：，
在时，随的变化，的变化情况如下表所示：
由表可知：当时，函数有极小值；
当时，函数有极大值；
因为，，
故函数在上的最小值为，最大值为.
5．（2023·浙江温州·统考二模）已知函数，.
（1）若在处的切线与也相切，求的值；
（2）若，求函数的最大值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据导函数的函数值等于原函数的图象在该点处的切线的斜率求出切线方程，得的最小值，从而可得；
（2）对函数求导,由导数的正负确定函数的单调性，进而求得最值.
【详解】（1），
则，又，
∴函数在处的切线方程为.
∵函数在处的切线与也相切，
∴，∴.
（2）由题得，
∴
，
∴当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴.
【点睛】本题考查导数的几何意义，用导数求函数的最值．掌握导数与单调性的关系是解题关键．
6．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）设函数．
（1）当时，求函数的最大值；
（2）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先写解析式，利用导数判断函数函数单调性并求最值即可；
（2）先写解析式代入方程，把方程有解问题转化成构造函数的零点问题，研究其导数、最值情况，构建关系求解参数即可.
【详解】解：（1）依题意，知的定义域为，
当时，，
令，解得．（∵），
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减．
所以的极大值为，此即为最大值；
（2）由，，得
因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，
设，则，
令，即．
因为，，
所以（舍去），，
当时，，在上单调递减，
当时，，在单调递增，
当时，，取最小值．
因为有唯一解，所以，
则，即．
所以，
因为，所以 （*）
设函数，
易见当时，是增函数，所以至多有一解．
因为，所以方程（*）的解为，
即，解得．
【点睛】本题考查了函数导数与函数的单调性、最值和零点问题，属于中档题.
7．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知函数
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，判断导数的单调性，根据导数的零点，判断函数的单调性，即可求解函数的极值；
（2）由不等式参变分离为在恒成立，构造函数后，利用导数求函数的最值，即可求参数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则在上单调递增，因为，
所以，，单调递减，
，，单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值.
（2）令，则即，因为
即在时恒成立，
令，
，故单调递增，
所以，故．
8．（2023·辽宁丹东·统考二模）已知为函数的极值点．
(1)求；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，即可求出的值，再检验即可；
（2）设，求出函数的导函数，即可得到，再由零点存在性定理得到存在唯一，使，即可得到的单调性，再结合特殊值，即可证明.
【详解】（1）定义域为，，
由，解得，
若时，则，
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减，
所以在处取得极大值，符合题意，因此．
（2）设，则，又，
因为，，所以存在唯一，使，
且当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
由得，所以，
因此当时，，而，
于是当时，．
9．（2023·福建·统考模拟预测）已知函数．
(1)求的单调区间和极值；
(2)若有零点，求的最小值．
【答案】(1)单调区间见解析，极小值为；
(2)
【分析】（1）利用函数的单调性和极值求解即可；
（2）有零点，则，，根据函数的单调性求出的最小值．
【详解】（1），
故在上，，为减函数；在上，，为减函数；
在上，，为增函数．当时，有极小值为；
（2）对，，，，，
则，故取，，
则，
设为零点，则，
则，，
令，由定义域，
设，由（1）知：仅当时，取最小值为，
的最小值为，仅当，时成立．
10．（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
(3)设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）求出函数在处的导数，即切线斜率，求出，即可得出切线方程；
（2）求出函数在区间上的单调性，求出最值即可；
（3）将不等式等价转化为在上恒成立.构造函数，利用导数求出函数的单调性和最小值，进而得证.
【详解】（1）因为，
所以，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）令，
则，当时，，在上单调递增.
因为，，
所以，使得.
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，，
所以.
（3）满足条件的的最大整数值为.
理由如下：
不等式恒成立等价于恒成立.
令，
当时，，所以恒成立.
当时，令，，，
与的情况如下：
所以，
当趋近正无穷大时，，且无限趋近于0，
所以的值域为，
因为，所以的最小值小于且大于.
所以的最大整数值为.
【能力提升】
1．（2023·重庆万州·统考模拟预测）已知函数．
(1)讨论的极值；
(2)当时，关于x的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出的导函数，再对分类讨论，求出的单调性，进而可得极值；
（2）可转化为在上恒成立，令，则在上恒成立，对求导，对分类讨论，求出使恒成立的的范围即可．
【详解】（1），
若，则，则在上单调递减，无极值；
若，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，无极大值；
若，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，无极小值；
综上所述，若，无极值；
若，，无极大值；
若，，无极小值；
（2）时，，所以有在上恒成立，
即在上恒成立，
令，转化为在上恒成立，
，
当时，所以在上单调递增，，
满足题意；
当时，令，，
则，设，，
则，因为，所以，
所以，所以在上单调递增，
所以，即在上恒成立，
所以即在上单调递增，
又因为，
当即时，，在上恒成立，所以在上单调递增，所以在上恒成立，
当时，，
如果在上恒成立，则在上单调递减，则无最小值，不符合题意；
如果有解时，设，则在上单调递减，在上单调递增，则在时，，不符合题意；
综上所述，，即实数的取值范围是．
【点睛】方法点睛：本题主要考查利用函数的导数解不等式恒成立的问题，解决此类问题的一般方法是：
（1）分离参数将原不等式恒成立问题转化为函数的最值问题；
（2）构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值；
（3）得出参数的取值范围．
2．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若在区间上有极小值，求实数的取值范围；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1），在上单调递增，由题意且，解不等式实数的取值范围；
（2）不等式等价于，通过构造函数利用导数研究单调性证明不等式.
【详解】（1）函数，定义域为，
，在上单调递增，
若在区间上有极小值，则有，解得.
故实数的取值范围为.
（2），即，由，可化简得，
要证，即证.
设，，
由，则有，得，即，
函数在上单调递减，
时，时，
则，，此时，
则时，时，
在上单调递增，在上单调递减，
，
函数在上单调递减，，
故，即.
设，
，解得，解得，
在上单调递减，在上单调递增，，
由，得，则有，即
故，即有.
所以，即.
【点睛】方法点睛：
1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)讨论函数的最值；
(2)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论得到导数的符号后可得函数的单调性和最值；
（2）将题意转化为函数有两个变号零点，对求导，分类讨论和，的单调性与最值，只要即可.
【详解】（1）函数的定义域为，，
当时，，在上单调递增，无最值；
当时，令，得，所以在上单调递减；
令，得，所以在单调递增，
所以的最小值为，无最大值．
综上，当时，无最值；当时，的最小值为，无最大值．
（2）由题，，定义域为，
所以．
因为有两个极值点，所以有两个变号零点．
令，则，易知函数在上单调递增，
则函数有两个变号零点可转化为函数有两个变号零点．
，
当时，，得，所以在上单调递减．
当时，令，所以在上单调递增．
所以．
要使有两个变号零点，需，解得．
当时，，，
所以在和上各有一个变号零点，符合题意．
综上，实数a的取值范围为．
【点睛】方法点睛：函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：
（1）分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
（2）分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
4．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知函数，其中.
(1)若时，有极值，求的值；
(2)设，讨论的零点个数.
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，求导得，然后由条件列出方程，即可得到结果.
（2）方法一：根据题意，分与，结合零点存在定理，分情况讨论即可；
方法二：根据题意，将函数零点转化为方程的根，再由导数研究其单调性与极值，即可得到结果.
【详解】（1）.
由题意得且，即，联立解得，.经检验，符合题意.
（2）方法一：定义域是.由条件知，.
当时，单调递增；当时，单调递减.
故是的极大值点，且极大值为.
当时，，此时有一个零点.
当时，.记，则.取，则，，
根据零点存在定理，当时，存在一个零点.
取，则.
由零点存在定理可知，当时，存在一个零点，
此时有两个零点.
综上所述，当时，只有一个零点；当时，有两个零点.
方法二：由题意，函数的零点即方程的根，即方程的根，
即的根，记，：
由，得到，
当时，单调递增，时，单调递减，
又，因为，当趋向正无穷时，趋向负无穷，
且的最大值为，
综上所述，当时，只有一个零点；当时，有两个零点.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性，极（最）值问题处理.
5．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知函数.
(1)若的极大值为3，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当，对求导，得出的单调性和极大值，即可得出答案.
（2）由题意整理可得，利用换元法，令，则，令，利用导数求出的最小值，求解即可得出答案.
【详解】（1）因为，由，得，即的定义域为.
因为，
所以，
因为，
所以当时，，
当时，，所以当时，
在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，取得极大值，
解得.
（2）当时，，
即，所以.
令，则，
令，则，所以当时，，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以，所以，又，所以，
所以实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键点在于把恒成立问题通过分离参数转化为新函数的最值问题，转化后利用导数判断出其定义域上的单调性求出值域或最值问题就解决了.
6．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数，其中.
(1)讨论函数极值点的个数；
(2)对任意的，都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导后，将问题转化为与交点情况的讨论问题，利用导数可求得的单调性和极值，进而确定图象，采用数形结合的方式可求得结果；
（2）将恒成立的不等式转化为，构造函数，利用导数可证得，由此得到，进而确定的取值范围.
【详解】（1）由题意知：定义域为，，
令，则，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
又，当时，恒成立，
大致图象如下图所示，
则当时，恒成立，即恒成立，
在上单调递减，无极值点；
当时，与有两个不同交点，
此时有两个变号零点，有两个极值点；
当时，与有且仅有一个交点，
此时有且仅有一个变号零点，有且仅有一个极值点；
综上所述：当时，无极值点；当时，有两个极值点；当时，有且仅有一个极值点.
（2）由题意知：当时，恒成立；
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
即，，
又恒成立，，即实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题对于含参函数极值点的讨论的解题关键是能够将问题转化为导函数零点个数的讨论，通过参变分离的方式进一步将问题转化为曲线与直线交点个数的问题，从而采用数形结合的方式来进行求解.
7．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知函数，．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数研究的单调性求最值；
（2）令，问题化为恒成立，利用导数研究单调性，讨论参数a及定义域判断符号，即可求范围.
【详解】（1）由题意，，
令，则，当时，当时．
所以．
（2）由，
所以，
记，即恒成立，且，
当时，当，令，则，
所以在单调递增，且，，
（令且，则，故在上递增，则，所以，以上成立），
故存在唯一，使得，
当时，递减，所以，此时，不合题意．
当时，（ⅰ）若，由上知，则递增，
（令且，则，故在上递增，则，所以，以上成立），
所以恒成立，即成立，符合题意．
（ⅱ），若，则单调递增，
，，所以存在唯一使，
当时，递减，当时，递增，
又，，故存在唯一，使，
故时，递增，时，递减，
又，，
所以时，则递增，故，即恒成立．
综上，.
【点睛】关键点点睛：第二问，注意构造中间函数研究单调性并确定零点，进而判断的符号求参数范围.
8．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数，.
(1)若，证明：；
(2)若函数最大值为，求实数a的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由，可得，，要证明，需要证，构造函数，求最小值即可；
（2）通过分类讨论求函数单调性，得知当，时，函数取得极大值，代入原函数进行求解即可.
【详解】（1）证明：若，则，.
要证明，需要证，
令，
由，
∴在上单调递增，，，
即，
所以原不等式得证.
（2），
令，
所以，
由题知函数的定义域为且，∴.
若，，则，函数在上单调递减，，则，函数在上单调递减，无最大值，舍去.
若，令，解得，，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
时，函数取得极大值，，
，，
∴在内存在唯一零点，满足，
且函数在上单调递增，在上单调递减.
∴的极大值为即为最大值，，
∴，∴，解得.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，可查了计算能力，转化思想和分类讨论的能力，本题的关键点有一下几点：
（1）构造法证明不等式，把问题转化为求函数最值；
（2）含参讨论问题，利用讨论结果求最值进而求值.
9．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数．
(1)当时，求函数在上的极值；
(2)用表示中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．
【答案】(1)极大值为，极小值
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，得到函数的单调性和极值情况；
（2）分，和，结合，对进行分类讨论，求出零点个数.
【详解】（1）当时，，
由，得或，则和随的变化如下表所示：
∴在上有2个极大值：在上有1个极小值．
（2）由，知．
（ⅰ）当时，，
∴，故在上无零点．
（ⅱ）当时，．
故当时，即时，是的零点；
当时，即时，不是的零点．
（ⅲ）当时，．故在的零点就是在的零点，
．
①当时，，故时，在是减函数，
结合，可知，在有一个零点，
故在上有1个零点．
②当时，，故时，在是增函数，
结合可知，在无零点，故在上无零点．
③当时，，使得时，在是增函数；
时，在是减函数；
由知，．
当，即时，在上无零点，故在上无零点．
当，即时，在上有1个零点，故在上有1个零点．
综上所述，时，有2个零点；时，有1个零点；时，无零点
【点睛】导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方
10．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数和在同一处取得相同的最大值．
(1)求实数a；
(2)设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为（），证明：．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）利用导数分别求的最值点，列式求解即可；
（2）构建，利用同构思想分析的大小关系，进而可得直线与曲线和的交点，再结合的单调性分析即可证出.
【详解】（1）由题意可得：，显然，
当时，令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，
可得在处取到最大值；
当时，令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，
可得在处取到最小值，不合题意；
综上所述：，在处取到最大值.
因为的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，
可得在处取到最大值；
由题意可得：，解得.
（2）由（1）可得：在上单调递减，在上单调递增，在处取到最大值，
且当x趋近于时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，
可得直线与曲线至多有两个交点；
在上单调递增，在上单调递减，在处取到最大值，
且当x趋近于时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，
可得直线与曲线至多有两个交点；
若直线与两条曲线和共有四个不同的交点，则，
此时直线与曲线、均有两个交点，
构建，
构建，且，则，
可得在上单调递减，在上单调递增，在处取到最大值，
构建，则，
因为，令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，
可得，
即，当且仅当时，等号成立，
可得：当时，，则，
所以；
当时，，且在上单调递增，
则，可得，
所以；
当时，，且在上单调递减，
则，可得，
所以；
综上所述：当时，；
当时，；
当时，.
结合题意可得：直线与曲线的两个交点横坐标为，与的两个交点横坐标为，且，
当，可得，即，
可得，即，
因为在上单调递增，且，
则，可得
所以；
当，可得，即，
可得，即，
因为在上单调递增，且，
则，可得，
所以；
综上所述：，即.
【点睛】结论点睛：指对同构的常见形式：
积型：，
①，构建；
②，构建；
③，构建.
商型：，
①，构建；
②，构建；
③，构建.
和型：，
①，构建；
②，构建.
【真题感知】
一、单选题
1．（2021·全国·统考高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
二、多选题
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
【答案】AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
3．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小值为 .
【答案】1
【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
四、解答题
4．（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
【答案】（1）证明见详解（2）
【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果；
（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.
【详解】（1）构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
构建，
则，
构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
即对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
综上所述：.
（2）令，解得，即函数的定义域为，
若，则，
因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则在上单调递减，在上单调递增，
故是的极小值点，不合题意，所以.
当时，令
因为，
且，
所以函数在定义域内为偶函数，
由题意可得：，
（i）当时，取，，则，
由（1）可得，
且，
所以，
即当时，，则在上单调递增，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，
所以是的极小值点，不合题意；
（ⅱ）当时，取，则，
由（1）可得，
构建，
则，
且，则对恒成立，
可知在上单调递增，且，
所以在内存在唯一的零点，
当时，则，且，
则，
即当时，，则在上单调递减，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，
所以是的极大值点，符合题意；
综上所述：，即，解得或，
故a的取值范围为.
【点睛】关键点睛：
1.当时，利用，换元放缩；
2.当时，利用，换元放缩.
5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.
【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.
【详解】（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
6．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
【答案】（I）；（II）证明见解析；（III）
【分析】（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；
（II）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解；
（III）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值.
【详解】（I），则，
又，则切线方程为；
（II）令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，，当时，，画出大致图像如下：
所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，
当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
为的极大值点，故存在唯一的极值点；
（III）由（II）知，此时，
所以，
令，
若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，
，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，故，
所以实数b的取值范围.
【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在，使得，即.
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第11题,5分
函数极值点的辨析
函数的性质、奇偶性的定义与判断
2023年新I卷，第22题,12分
由导数求函数的最值 (不含参)
基本(均值)不等式的应用、求平面轨迹
方程、求直线与地物线相交所得弦的弦长
2023年新Ⅱ卷，第11题,5分
根据极值求参数
根据二次函数零点的分布求参数的范围
2023年新Ⅱ卷，第22题,12分
根据极值点求参数
利用导数求函数的单调区间 (不含参)
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的零点
2022年新I卷，第8题,5分
由导数求函数的最值 (不含参)
锥体体积的有关计算球的体积的有关计算
多面体与球体内切外接问题
2022年新I卷，第10题,5分
求已知函数的极值点
求在曲线上一点处的切线方程 (斜率）
利用导数研究函数的零点
2022年新I卷，第22题,12分
由导数求函数的最值 (含参)
利用导数研究方程的根
2021年新I卷，第15题,5分
由导数求函的最值 (不含参)
无
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第11题,5分
函数极值点的辨析
函数的性质、奇偶性的定义与判断
2023年新I卷，第22题,12分
由导数求函数的最值 (不含参)
基本(均值)不等式的应用、求平面轨迹
方程、求直线与地物线相交所得弦的弦长
2023年新Ⅱ卷，第11题,5分
根据极值求参数
根据二次函数零点的分布求参数的范围
2023年新Ⅱ卷，第22题,12分
根据极值点求参数
利用导数求函数的单调区间 (不含参)
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的零点
2022年新I卷，第8题,5分
由导数求函数的最值 (不含参)
锥体体积的有关计算球的体积的有关计算
多面体与球体内切外接问题
2022年新I卷，第10题,5分
求已知函数的极值点
求在曲线上一点处的切线方程 (斜率）
利用导数研究函数的零点
2022年新I卷，第22题,12分
由导数求函数的最值 (含参)
利用导数研究方程的根
2021年新I卷，第15题,5分
由导数求函的最值 (不含参)
无
减
增
X
()
1
()
f’(x)
+
0
-
f(x)
极大值
增
极大值
减
极小值
增
单调递减
单调递增
单调递减
1
0
+
0
-
0
+
0
-
极大
极小
极大
增
极大值
减
极小值
增
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
2能够利用导数求函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上的最大值、最小值
3体会导数与极大(小)值、最大(小)值的关系
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，会结合导数来判断或证明函数的单调性，从而求得函数的极值或给定区间上的最值，热点内容，需综合复习
知识讲解
函数的极值与导数
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，，而且在点x＝b 附近的左侧，右侧，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
（3）极值与导数的关系
是极值点
是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件
函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
考点一、求函数的极值或极值点
1．（天津·高考真题）已知函数在上满足，当时取得极值.
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明：对任意、，不等式恒成立.
2．（全国·高考真题）已知函数（为自然对数的底数）
（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
（2）求函数的极值；
（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.
3．（天津·高考真题）已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，
（Ⅲ）如果，且，证明
4．（山东·高考真题）设函数，其中.
（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若成立，求的取值范围.
1．（2023·湖北黄石·统考模拟预测）已知，函数，.
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)设较小的零点为，证明：.
2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数的极值点个数；
(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整数值.
3．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知函数，．
(1)求函数的极值点；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
4．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）设函数.
(1)求的极值；
(2)已知，有最小值，求的取值范围.
5．（2023·山东青岛·统考二模）已知函数，.
(1)讨论极值点的个数；
(2)若恰有三个零点和两个极值点.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）若，且，证明：.
6．（2023·浙江·校联考模拟预测）己知函数有三个极值点，其中.
(1)求的取值范围；
(2)求证：；
(3)求证：.
考点二、根据函数极值或极值点求参数值或范围
1．（2023·全国·统考高考真题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
1．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数，若函数在处取得极小值，则的取值范围为 .
2．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）已知函数有两个极值点，，且，则实数m的取值范围是 .
3．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 .
4．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知函数存在两个极值点，，则以下结论正确的为（ ）
A．B．
C．若，则D．
考点三、利用导数求函数最值
1．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数在区间上的最小值；
(2)判断函数的零点个数，并证明.
2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知函数，其中a为实数.
(1)若，求函数在区间上的最小值；
(2)若函数在上存在两个极值点，，且.求证：.
3．（2023·浙江·校联考二模）设，已知函数有个不同零点.
(1)当时，求函数的最小值：
(2)求实数的取值范围；
(3)设函数的三个零点分别为、、，且，证明：存在唯一的实数，使得、、成等差数列.
4．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数在上的最小值；
(2)证明：当时，.
5．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知函数，，.
(1)讨论函数在区间上的最大值；
(2)确定k的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有.
6．（2023·江苏·二模）已知函数 ．
(1)当时，求函数的单调递增区间
(2)若函数在的最小值为，求的最大值．
考点四、由函数最值求参数值或范围
1．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
1．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是 ．
2．（2023·广东广州·广州六中校考三模）已知与有相同的最小值.
(1)求实数的值；
(2)已知，函数有两个零点，求证：.
【基础过关】
一、多选题
1．（2023·河北石家庄·统考三模）设函数的定义域为是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．B．是的极大值点
C．是的极小值点D．是的极大值点
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）设函数，则（ ）
A．是奇函数
B．当时，有最小值2
C．在区间上单调递减
D．有两个极值点
二、填空题
3．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知实数成等比数列，且函数，当时取到极大值，则等于 .
三、解答题
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知函数在处取得极值-14.
(1)求a，b的值；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)求函数在上的最值.
5．（2023·浙江温州·统考二模）已知函数，.
（1）若在处的切线与也相切，求的值；
（2）若，求函数的最大值.
6．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）设函数．
（1）当时，求函数的最大值；
（2）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．
7．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知函数
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
8．（2023·辽宁丹东·统考二模）已知为函数的极值点．
(1)求；
(2)证明：当时，．
9．（2023·福建·统考模拟预测）已知函数．
(1)求的单调区间和极值；
(2)若有零点，求的最小值．
10．（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
(3)设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由.
【能力提升】
1．（2023·重庆万州·统考模拟预测）已知函数．
(1)讨论的极值；
(2)当时，关于x的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
2．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若在区间上有极小值，求实数的取值范围；
(2)求证：.
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)讨论函数的最值；
(2)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围．
4．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知函数，其中.
(1)若时，有极值，求的值；
(2)设，讨论的零点个数.
5．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知函数.
(1)若的极大值为3，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
6．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数，其中.
(1)讨论函数极值点的个数；
(2)对任意的，都有，求实数的取值范围.
7．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知函数，．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
8．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数，.
(1)若，证明：；
(2)若函数最大值为，求实数a的值.
9．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数．
(1)当时，求函数在上的极值；
(2)用表示中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．
10．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数和在同一处取得相同的最大值．
(1)求实数a；
(2)设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为（），证明：．
【真题感知】
一、单选题
1．（2021·全国·统考高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
三、填空题
3．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小值为 .
四、解答题
4．（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
6．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
第03讲 导数与函数的极值、最值
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
2能够利用导数求函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上的最大值、最小值
3体会导数与极大(小)值、最大(小)值的关系
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，会结合导数来判断或证明函数的单调性，从而求得函数的极值或给定区间上的最值，热点内容，需综合复习
知识讲解
函数的极值与导数
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，，而且在点x＝b 附近的左侧，右侧，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
（3）极值与导数的关系
是极值点
是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件
函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
考点一、求函数的极值或极值点
1．（天津·高考真题）已知函数在上满足，当时取得极值.
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明：对任意、，不等式恒成立.
【答案】（1）单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值为；（2）证明见解析.
【分析】（1）由可求得，由题意得出可解出、的值，可得出函数的解析式，然后利用导数可求得函数的单调区间和极大值；
（2）求得函数在区间上的最大值，最小值，由此可得出，进而可证得结论.
【详解】（1），由，得，可得.
，，
由于函数在处取得极值，则，解得，
，
，从而.
当时，，则函数在上是增函数；
在时，，则函数在上是减函数；
当时，，则函数在上是增函数.
所以，函数在处取得极大值，即；
（2）由（1）知，函数在上是减函数，
当时，，.
所以，对任意、，不等式.
【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间和极值，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
2．（全国·高考真题）已知函数（为自然对数的底数）
（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
（2）求函数的极值；
（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.
【答案】（1）（2）当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（3）的最大值为
【分析】（1）求出，由导数的几何意义，解方程即可；（2）解方程，注意分类讨论，以确定的符号，从而确定的单调性，得极大值或极小值（极值点多时，最好列表表示）；（3）题意就是方程无实数解，即关于的方程在上没有实数解．一般是分类讨论，时，无实数解，时，方程变为，因此可通过求函数的值域来求得的范围．
【详解】（1）由,得．
又曲线在点处的切线平行于轴,
得,即,解得．
（2）,
①当时,,为上的增函数,
所以函数无极值．
②当时,令,得,．
,;,．
所以在上单调递减,在上单调递增,
故在处取得极小值,且极小值为,无极大值．
综上,当时,函数无极小值
当,在处取得极小值,无极大值．
（3）当时,
令,
则直线:与曲线没有公共点,
等价于方程在上没有实数解．
假设,此时,,
又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故．
又时,,知方程在上没有实数解．
所以的最大值为．
解法二:
（1）（2）同解法一．
（3）当时,．
直线:与曲线没有公共点,
等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:
（*）
在上没有实数解．
①当时,方程（*）可化为,在上没有实数解．
②当时,方程（*）化为．
令,则有．
令,得,
当变化时,的变化情况如下表:
当时,,同时当趋于时,趋于,
从而的取值范围为．
所以当时,方程（*）无实数解, 解得的取值范围是．
综上,得的最大值为．
考点：导数的几何意义，极值，导数与单调性、值域，方程根的分布．
3．（天津·高考真题）已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，
（Ⅲ）如果，且，证明
【答案】（Ⅰ）f(x)在()内是增函数，在()内是减函数．函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= （Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析
【详解】（Ⅰ）解：f’
令f’(x)=0,解得x=1
当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表
所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数．
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数．
又F(1)=0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
（Ⅲ）证明：（1）
若
（2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2.
4．（山东·高考真题）设函数，其中.
（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若成立，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）的取值范围是.
【详解】试题分析：（Ⅰ）先求，令
通过对 的取值的讨论，结合二次函数的知识，由导数的符号得到函数 的单调区间；（Ⅱ）根据（1）的结果这一特殊性，通过对参数的讨论确定的取值范围.
试题解析：函数的定义域为
令，
（1）当 时， ， 在上恒成立
所以，函数在上单调递增无极值；
（2）当 时，
①当时， ，
所以，，函数在上单调递增无极值；
②当 时，
设方程的两根为
因为
所以，
由可得：
所以，当时， ，函数单调递增；
当时， ，函数单调递减；
当时， ，函数单调递增；
因此函数有两个极值点．
（3）当 时，
由可得：
当时， ，函数单调递增；
当时， ，函数单调递减；
因此函数有一个极值点．
综上：
当 时，函数在上有唯一极值点；
当时，函数在上无极值点；
当时，函数在上有两个极值点；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
（1）当时，函数在上单调递增，
因为
所以，时， ，符合题意；
（2）当 时，由 ，得
所以，函数在上单调递增，
又，所以，时， ，符合题意；
（3）当 时，由 ，可得
所以 时，函数 单调递减；
又
所以，当时， 不符合题意；
（4）当时，设
因为时，
所以 在 上单调递增，
因此当时，
即：
可得：
当 时，
此时， 不合题意.
综上所述，的取值范围是
考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.
1．（2023·湖北黄石·统考模拟预测）已知，函数，.
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)设较小的零点为，证明：.
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值，无极大值
(2)证明见解析
【分析】（1）由导数法求极值及单调区间即可；
（2）先由零点存在定理说明存在两个零点，
法一：由导数法证，，结合函数单调性即可证明；
法二：由导数法证明证明当时，，再令代入不等式化简得证.
【详解】（1）因为，，所以，
当时，；当时，，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
故有极小值，无极大值；
（2）因为当时，，所以，
所以，
又时，；时，，
所以有两个零点 ；
法1：下面证明，，
设，
则，所以在上递增，
又时，，所以对成立，
所以得证 ，
，
令，则，，，∴.
设，，
则，所以在上递减，
所以，所以，
所以得证 ，
因为函数区间单调递减，
又，，，、、，
所以 ；
法2：下面证明当时，，
设，，
，
所以在上递增，
所以，所以，
再设，，
，
所以在上递增，
所以，所以，
综上，当时， ，
现有，所以，
故得，
故得，
所以 .
【点睛】证明零点所在区间问题：
（1）可结合零点存在定理说明在区间端点处异号及函数单调性证明；
（2）通过将结论不等式变形，构造成题设函数的形式，从而将问题转化为证明不等式成立. 如本题变形成，变形成，则可转化为证；
（3）证明不等关系可通过构造函数，结合导数法证明.
2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数的极值点个数；
(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整数值.
【答案】(1)极值点个数为1
(2)4
【分析】（1）求出，然后证明只有一个变号零点即可；
（2）条件不等式可转化为，然后求出，分、两种情况得到的单调性，然后可得到成立，然后利用导数可分析出答案.
【详解】（1）已知，
可得
令，则，
函数单调递减，且当时，，故函数先增后减，
当时，，
其中，∴，∴
当时，，
∴函数只有一个零点，∴函数的极值点个数为1.
（2）变形，得，
整理得，
令，则，∵，∴，
若，则恒成立，即在区间上单调递增，
由，∴，∴，∴，此时可取的最大整数为2，
若，令，则，令，则，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在区间上有最小值，，
于是问题转化为成立，求的最大值，
令，则，∵当时，，单调递减，
当时，单调递增，∴在处取得最大值，
∵，∴，∵，，
，此时可取的最大整数为4.
综上，可取的最大整数为4.
3．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知函数，．
(1)求函数的极值点；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)是的极大值点，无极小值点
(2)
【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调区间，再确定函数的极值点；
（2）解法一，首先构造函数，，再根据函数的导数，判断函数的最大值，即可求解；解法二，首先证明，即可得，即，不等式恒成立，转化为，即可求解.
【详解】（1）由已知可得，函数的定义域为，且，
当时，；当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以是的极大值点，无极小值点．
（2）解法一：设，，
则，
令，，则对任意恒成立，
所以在上单调递减．
又，，
所以，使得，即，则，即．
因此，当时，，即，则单调递增；
当时，，即，则单调递减，
故，解得，
所以当时，恒成立．
解法二：令，，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即．
因为，所以，当时等号成立，
即，当时等号成立，
所以的最小值为1．
若恒成立，则，
所以当时，恒成立．
4．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）设函数.
(1)求的极值；
(2)已知，有最小值，求的取值范围.
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)
【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性，结合极值定义可求得结果；
（2）由可得，令，可将表示为；构造函数，求导后，分别在和的情况下，讨论得到单调性，进而确定符合题意的的取值范围.
【详解】（1）由题意知：定义域为，，
，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
的极大值为，无极小值.
（2）可化为，
为单调递增函数，
由可得：，即，
令，则，，，，
，
令，
，
令，
；
①当时，恒成立，在上单调递增，
，即，在上单调递增，
此时在上不存在最小值，即不存在最小值，不合题意；
②当时，若，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增，
又，，又，
存在，使得，且当时，，即；当时，，即；
在上单调递减，在上单调递增，
，即有最小值；
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数极值、多变量问题的求解；求解多变量问题的关键是能够通过引入第三变量，将利用来表示，从而减少变量个数，将问题转化为关于的函数的单调性的讨论问题.
5．（2023·山东青岛·统考二模）已知函数，.
(1)讨论极值点的个数；
(2)若恰有三个零点和两个极值点.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）若，且，证明：.
【答案】(1)当时, 无极值点;当时,所以有两个极值点；
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）先求导，对进行讨论，研究单调性可得函数的极值；
（2）(i)由(1)知: ,且,,又得出，即可得证；
(ii)易得，令,可得，要证明:，只需证:，只需证: (显然,易证)，即证明:，又因为,所以，令,,利用导数证明即可.
【详解】（1）由题知:，
设函数,
当时,开口向上,,
所以,在上单调递减,无极值点；
当时, 在上有两个解,
又因为,
所以在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.
所以有两个极值点.
综上:当时, 无极值点;当时,所以有两个极值点.
（2）(i)由(1)知: ,且,
又因为,
所以.
(ii)由(i)知:,,,
所以,所以.
令,,
所以在上单调递减,在上单调递增.
因为时,>0;时,<0.
所以.
所以,要证明:,
只需证:,
只需证: ,
只需证: ,
只需证:,
又因为在上单调递增,
所以只需证:.
令，所以，
所以函数在上单调递减；
所以，即.
所以，要证：，只需证：，即证明:.
因为,所以,所以.
又因为,
所以,所以.
令,,则,
所以在上单调递增,所以,
所以,所以成立.
【点睛】方法点睛：
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见结论放缩；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
6．（2023·浙江·校联考模拟预测）己知函数有三个极值点，其中.
(1)求的取值范围；
(2)求证：；
(3)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）对函数求导，将问题等价转化为有两个不等实根，令，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求解；
（2）根据题意，是的两个根，将问题等价转化为证明，令，利用函数的单调性进而求证；
（3）根据题意可得，将要问题等价转化为，令，利用导数与函数的单调性得到，令，，根据函数的单调性进而求证.
【详解】（1）
有两个不等根
令，则
在单调递增，上单调递减，且
.
（2）由（1）知，是的两个根
先证
令，
则
在上单调递增
又得证
（3）因为，所以，
，所以
要证，即证：，
又因为，即证：.
令，
所以单调递减，单调递增，
，即.令，
时，单调递减，
所以所以，即，
即成立.
【点睛】利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题.对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后再去证明.
考点二、根据函数极值或极值点求参数值或范围
1．（2023·全国·统考高考真题）（多选）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，
因此方程有两个不等的正根，
于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.
故选：BCD
1．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数，若函数在处取得极小值，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】考查 的单调性，令，即 或，单调递增，设方程 的根为，通过对分类讨论，研究函数 的单调性即可得出．
【详解】，
考查 的单调性，令，即，
或，
即 或，
单调递增，设方程 的根为
①若，则不等式组 的解集为和，，
此时 在和，上单调递增，在 上单调递减，与在处取极小值矛盾；
②若，则不等式组 的解集为和，此时在上单调递增，与在处取极小值矛盾；
③若，则不等式组 的解集为 和，
此时在 和上单调递增，在，上单调递减，满足在处取极小值，
由单调性，．
综上所述：．
则的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，解题的关键是充利用分类讨论思想.
2．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）已知函数有两个极值点，，且，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据极值点的定义，结合函数零点的定义，通过构造函数，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】由有两个不同实根，
且，
设，
当时，，当时，，
在单调递减，在单调递增，所以，
显然当时，，当时，，
图象如下：
所以有，则有，
当时，即.，
时，，
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据函数极值的定义，结合构造函数法、数形结合法进行求解是解题的关键.
3．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】求函数导函数，由已知可得有两个不相等的正实数根，利用导数研究函数的性质，作出其图象，由此可求a的取值范围.
【详解】函数的定义域为，导函数，
由已知有两个不相等的正实数根，
所以有两个不相等正实数根，
令，则，
由，得.
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减.
又，，
当时，，当时，，
当时，，
由以上信息可得，函数的图象大致如下：
所以a的取值范围是.
故答案为：.
4．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知函数存在两个极值点，，则以下结论正确的为（ ）
A．B．
C．若，则D．
【答案】BD
【分析】由题可得方程有两个不相等的实数根，，构造函数，利用导数研究函数的性质画出函数的大致图象，然后结合条件逐项分析即得.
【详解】由题可得，则即，显然，
若方程有两个不相等的实数根，，即方程有两个不相等的实数根，，
即的图象与直线有两个交点，且横坐标分别为，，
又，所以由可得，由可得，
所以在，上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，
对A，要使函数存在两个极值点，，则，A错误；
对B，当时，的图象如图，易知，B正确；
对C，若，则，得，故，C错误；
对D，因为，所以，又，所以，，所以，故，所以，D正确．
故选：BD．
【点睛】函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
考点三、利用导数求函数最值
1．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.
【详解】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：D
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.
【详解】（1）当时，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
（2），则，
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
由（1）得，即，所以，
当时，，
则存在，使得，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
由（1）得当时，，，所以，
此时
存在，使得，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.
1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数在区间上的最小值；
(2)判断函数的零点个数，并证明.
【答案】(1)
(2)有个零点，证明见解析
【分析】（1）对求导，令，，得出在的单调性，结合零点存在性定理可得在上单调递增，在上单调递减，再比较的大小，即可得出答案.
（2）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论，和时，的正负，即可得出证明.
【详解】（1）的定义域为，故，
令，，
当时，，
所以在上单调递减，且，
，
所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使
又当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，，
所以函数在区间上的最小值为.
（2）有个零点，证明如下：
因为，，
若，，
所以在区间上单调递增，又，，
结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点，
若，则，则，
若，因为，所以，
综上，函数在有且仅有一个零点.
2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知函数，其中a为实数.
(1)若，求函数在区间上的最小值；
(2)若函数在上存在两个极值点，，且.求证：.
【答案】(1)0
(2)证明见解析
【分析】利用导函数的判断函数的单调性即可求最小值.
先根据，为函数在上存在两个极值点，可得，为的两根，可得，带入后即证，再根据，和的关系，消元后只需要证明即，结合，即证.
【详解】（1）当时，，，，
令，，则，
所以在上单调递增，故，
所以，在上单调递增，
所以当时，的最小值为．
（2）依题意，在上存在两个极值点，，且．
所以在R上有两个不等的实根，，且．
令，，
所以当时，，所以在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故函数在处取得最小值，
要使得在R上有两个不同的零点，必须满足得，
此时，故．
因为，是的两个不等的实根，
所以，即
要证：，即证：，只要证：．
下面首先证明：．
要证：，即证：，
因，在上单调递增，
只要证：，即证：，
令，，
则，
所以在上单调递减，，即．
因为，所以．
所以，故．
要证：，只要证：，即证：，
只要证：，即证：，
事实上，，显然成立，得证．
【点睛】方法点睛：
双变量问题常用解题策略：
1.变更主元，对于题目涉及到的两个变元，已知中一个变元在题设给定的范围内任意变动，求另一外变元的取值范围问题，这类问题我们称之不“伪双变量”问题.这种“伪双变量”问题，往往会利用我们将字母x作为自变量的误区来进行设计.此时，我们变更一元思路，将另一个变量作为自变量，从而使问题得以解决，我们称这种方法为变更主元法.
2.指定主变量，有些问题虽然有两个变量，只要把其中一个当作常数，另一个看成自变量，便可使问题得以解决，我们称这种思想方法为指定主变量思想.
3.整体代换，变量归一，通过等价转化，将关于,x的双变量问题等价转化为以x,x所表示的运算式作为整体的单变量问题，通过整体代换为只有一个变量的函数式，从而使问题得到巧妙的解决，我们将这种解决问题的思想称之为变量归一思想.
3．（2023·浙江·校联考二模）设，已知函数有个不同零点.
(1)当时，求函数的最小值：
(2)求实数的取值范围；
(3)设函数的三个零点分别为、、，且，证明：存在唯一的实数，使得、、成等差数列.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，即可求得函数的最小值；
（2）利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出关于实数的不等式组，即可解得的取值范围；
（3）分析出，，对的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性与极值，可得，结合零点存在定理以及已知条件可得出结论.
【详解】（1）解：当时，，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，.
（2）解：因为，
则，
①当时，恒成立，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
此时函数至多两个零点，不合乎题意；
②当时，由可得或，列表如下：
由题意可知，有个不同的零点，则，
又因为，
令，记，
则，其中，则，
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，，即，当且仅当时，等号成立，，
故不等式组的解集为.
因为，，
故当时，函数有个不同的零点，
综上所述，实数的取值范围是.
（3）解：因为，，结合（2）中的结论可知，
①当时，若存在符合题意的实数，则由于，
因此，，，
因此，、、成等差数列可得出，考虑，
即，这等价于，
令，
所以，，
令，则，
当时，，则函数单调递增，
所以，，故函数单调递增，
因为，，
所以，在上存在唯一零点，记为，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
由于，，，
因此，在上无零点，在上存在唯一的零点，
所以，存在唯一的实数，使得、、成等差数列;
②当时，，不合乎题意.
综上所述，存在唯一的实数使得、、成等差数列.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
4．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知函数.
(1)求函数在上的最小值；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)当时，；当时，；当时，.
(2)见详解
【分析】(1)根据题意，求导，讨论函数在上的单调性，即可求解.
(2)根据题意，先证，放缩得，化简后构造新函数，即可证明.
【详解】（1）由，得，，
令，得，即，因此函数在上单调递减，在上单调递增.
①当，即时，函数在上单调递减，因此；
②当时，函数在上单调递增，因此；
③当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，因此.
综上所述，当时，；当时，；当时，.
（2）证明：设，，则，易得函数在上单调递减，在上单调递增，因此，故恒成立.
要证，只需证，
因为，所以，
故只需证（因时，左边小于右边，所以可以带等号），即.
令，则，易得函数在上单调递减，在上单调递增，因此，故.
因此当时，.
【点睛】分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.
5．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知函数，，.
(1)讨论函数在区间上的最大值；
(2)确定k的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有.
【答案】(1)答案详见解析
(2)
【分析】（1）构造函数，求得，对进行分类讨论，由此求得所求的最大值.
（2）对进行分类讨论，化简不等式，利用构造函数法，结合导数来求得的值.
【详解】（1），，
则，
当时，对任意恒成立，又，所以恒成立，
所以在上递减，所以的最大值为.
当时，在区间，递增；
在区间递减.
所以的最大值是.
（2）由（1）知，当时，时，；
当时，对任意，，
要使成立，显然.
当时，，
令，
则，
对于方程，，
所以方程有两个不同的实数根，，
由于，所以，
故在区间，递增，
此时，即，所以满足题意的不存在.
当时，由（1）知，存在，使得对任意的恒有，
此时，
令，
，
对于方程，，
所以方程两个不同的实数根，
，
由于，所以，
所以在区间递增，
此时即，
即与中较小者为，则当时，恒有，
所以满足题意的不存在.
当时，由（1）知当时，，
令，
，
所以当时，递减，
所以在区间上，
故当时，恒有，此时任意实数满足题意.
综上所述，.
【点睛】利用导数研究函数的最值，当导函数含有参数时，要注意对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.当所要研究的函数含有绝对值时，可对绝对值内的式子的符号进行分类讨论，去绝对值，将式子转化为没有绝对值的形式来进行研究.
6．（2023·江苏·二模）已知函数 ．
(1)当时，求函数的单调递增区间
(2)若函数在的最小值为，求的最大值．
【答案】(1)单调递增区间为
(2) ．
【分析】（1）求导并判断导数符号，进一步可得单调区间；
（2）求导，对进行分类讨论，根据函数在的最小值为，求得的取值范围，从而得到的最大值．
【详解】（1）当时，，
则，
令，在R上单调递增，
当时，，当时，，
即在上递减，在上递增，
故，
所以恒成立，仅当时取等号，
即的单调递增区间为
（2）
当时，时，，时，，
则在取得最小值，符合题意；
当时，时，，时，，
时，，
因为最小值为，所以得，即；
当时，由（1）可知单调递增，则当时无最小值，不合题意；
当时，时，，时，，
时，，
则有，不合题意；
综上可得，的最大值 ．
【点睛】难点点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间、利用导数根据函数最值求参数的最值，难点在于根据最小值求参数时，要注意讨论a的取值，结合函数的单调性，得到相应的不等式，确定参数范围.
考点四、由函数最值求参数值或范围
1．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
1．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是 ．
【答案】（答案不唯一，、均可）
【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，作出图形，求出使得的的值，根据函数在区间上有最小值可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】因为，则.
由可得，由可得或，
所以，函数的减区间为，增区间为、，
所以，函数的极大值为，极小值为，
令，其中，则，解得，
因为函数在区间上存在最小值，则，解得，
所以，整数的取值集合为.
故答案为：（答案不唯一，、均可）.
2．（2023·广东广州·广州六中校考三模）已知与有相同的最小值.
(1)求实数的值；
(2)已知，函数有两个零点，求证：.
【答案】(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数求得和的最小值，由它们相等可得参数的值；
（2）由有零点得，不妨令，利用导数得出，令，证明，从而证得，令，证明，从而证明，再由不等式得证结论成立．
【详解】（1），则，
若单调递减，若单调递增．
.
，
若，则无最小值，.
若单调递减，若单调递增，
，，，
，
令，则，
在上单调递增.
又，
；
（2），
，
，则，
时，，时，，
在上单调递减，上单调递增，
不妨令，则，
①令，
单调递增，，
∴，，
，
，
②令，
单调递增，，
，，由上知，
，
，
，
．
【点睛】难点点睛：利用导数证明与函数的两个零点有关的不等式，常用方法是利用得出之间的关系，从而达到消元的目的，化二元为一元，然后利用一元函数进行证明．本题难点在于对两个零点分别进行处理，为此需要引入两个函数和，利用它们分别证明和，然后由不等式的性质得出结论．这种方法的掌握需要平时多多积累．
【基础过关】
一、多选题
1．（2023·河北石家庄·统考三模）设函数的定义域为是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．B．是的极大值点
C．是的极小值点D．是的极大值点
【答案】BC
【分析】根据极值的定义结合函数的对称性进行判断即可.
【详解】是的极大值点．则存在区间，，对任意有，不一定是最大值，A错误；
的图象与的图象关于轴对称，因此，对任意有，是的极大值点，B正确；
的图象与的图象关于轴对称，因此对任意有，C正确；
由BC的推理可知是的极小值点，D错误．
故选：BC．
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）设函数，则（ ）
A．是奇函数
B．当时，有最小值2
C．在区间上单调递减
D．有两个极值点
【答案】BCD
【分析】对A：根据奇偶性定义判断；对B：使用基本不等式求解；对C：根据的单调性及平移判断；对D：用导数结合偶函数判断.
【详解】，
对A：定义域为，且，故是偶函数，故A错误；
对B：当时，，当时，取得最小值，故B正确；
对C：当时，，，
当时，，故在上为减函数，
而可以由向右平移1个单位得到，故在区间上单调递减，故C正确；
对D：当时，，
当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，
故为极小值点，且当时只有一个极小值点，
因为是偶函数，所以有两个极值点，故D正确.
故选：BCD
二、填空题
3．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知实数成等比数列，且函数，当时取到极大值，则等于 .
【答案】
【分析】通过导函数，求出极值，再利用等比数列的性质，即可求解.
【详解】令，
则函数的定义域为，导函数，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取极大值，极大值为，
所以，故，
又成等比数列，所以，
故答案为：.
三、解答题
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知函数在处取得极值-14.
(1)求a，b的值；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)求函数在上的最值.
【答案】(1)
(2)
(3)函数在上的最小值为，最大值为.
【分析】(1)求导，利用在处的导数值为0，并且，解之检验即可求解；
(2)结合（1）的结果，求出函数在处的导数值，利用导数的几何意义，代入即可求解；
(3) 结合（1）的结果，列出在时，随的变化，的变化情况，进而即可求解.
【详解】（1）因为函数，所以，
又函数在处取得极值.
则有，即，解得：，
经检验，时，符合题意，故.
（2）由（1）知：函数，则，
所以，又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
也即.
（3）由（1）知：函数，则，
令，解得：，
在时，随的变化，的变化情况如下表所示：
由表可知：当时，函数有极小值；
当时，函数有极大值；
因为，，
故函数在上的最小值为，最大值为.
5．（2023·浙江温州·统考二模）已知函数，.
（1）若在处的切线与也相切，求的值；
（2）若，求函数的最大值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据导函数的函数值等于原函数的图象在该点处的切线的斜率求出切线方程，得的最小值，从而可得；
（2）对函数求导,由导数的正负确定函数的单调性，进而求得最值.
【详解】（1），
则，又，
∴函数在处的切线方程为.
∵函数在处的切线与也相切，
∴，∴.
（2）由题得，
∴
，
∴当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴.
【点睛】本题考查导数的几何意义，用导数求函数的最值．掌握导数与单调性的关系是解题关键．
6．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）设函数．
（1）当时，求函数的最大值；
（2）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先写解析式，利用导数判断函数函数单调性并求最值即可；
（2）先写解析式代入方程，把方程有解问题转化成构造函数的零点问题，研究其导数、最值情况，构建关系求解参数即可.
【详解】解：（1）依题意，知的定义域为，
当时，，
令，解得．（∵），
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减．
所以的极大值为，此即为最大值；
（2）由，，得
因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，
设，则，
令，即．
因为，，
所以（舍去），，
当时，，在上单调递减，
当时，，在单调递增，
当时，，取最小值．
因为有唯一解，所以，
则，即．
所以，
因为，所以 （*）
设函数，
易见当时，是增函数，所以至多有一解．
因为，所以方程（*）的解为，
即，解得．
【点睛】本题考查了函数导数与函数的单调性、最值和零点问题，属于中档题.
7．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知函数
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，判断导数的单调性，根据导数的零点，判断函数的单调性，即可求解函数的极值；
（2）由不等式参变分离为在恒成立，构造函数后，利用导数求函数的最值，即可求参数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则在上单调递增，因为，
所以，，单调递减，
，，单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值.
（2）令，则即，因为
即在时恒成立，
令，
，故单调递增，
所以，故．
8．（2023·辽宁丹东·统考二模）已知为函数的极值点．
(1)求；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，即可求出的值，再检验即可；
（2）设，求出函数的导函数，即可得到，再由零点存在性定理得到存在唯一，使，即可得到的单调性，再结合特殊值，即可证明.
【详解】（1）定义域为，，
由，解得，
若时，则，
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减，
所以在处取得极大值，符合题意，因此．
（2）设，则，又，
因为，，所以存在唯一，使，
且当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
由得，所以，
因此当时，，而，
于是当时，．
9．（2023·福建·统考模拟预测）已知函数．
(1)求的单调区间和极值；
(2)若有零点，求的最小值．
【答案】(1)单调区间见解析，极小值为；
(2)
【分析】（1）利用函数的单调性和极值求解即可；
（2）有零点，则，，根据函数的单调性求出的最小值．
【详解】（1），
故在上，，为减函数；在上，，为减函数；
在上，，为增函数．当时，有极小值为；
（2）对，，，，，
则，故取，，
则，
设为零点，则，
则，，
令，由定义域，
设，由（1）知：仅当时，取最小值为，
的最小值为，仅当，时成立．
10．（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值；
(3)设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）求出函数在处的导数，即切线斜率，求出，即可得出切线方程；
（2）求出函数在区间上的单调性，求出最值即可；
（3）将不等式等价转化为在上恒成立.构造函数，利用导数求出函数的单调性和最小值，进而得证.
【详解】（1）因为，
所以，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）令，
则，当时，，在上单调递增.
因为，，
所以，使得.
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，，
所以.
（3）满足条件的的最大整数值为.
理由如下：
不等式恒成立等价于恒成立.
令，
当时，，所以恒成立.
当时，令，，，
与的情况如下：
所以，
当趋近正无穷大时，，且无限趋近于0，
所以的值域为，
因为，所以的最小值小于且大于.
所以的最大整数值为.
【能力提升】
1．（2023·重庆万州·统考模拟预测）已知函数．
(1)讨论的极值；
(2)当时，关于x的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出的导函数，再对分类讨论，求出的单调性，进而可得极值；
（2）可转化为在上恒成立，令，则在上恒成立，对求导，对分类讨论，求出使恒成立的的范围即可．
【详解】（1），
若，则，则在上单调递减，无极值；
若，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，无极大值；
若，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，无极小值；
综上所述，若，无极值；
若，，无极大值；
若，，无极小值；
（2）时，，所以有在上恒成立，
即在上恒成立，
令，转化为在上恒成立，
，
当时，所以在上单调递增，，
满足题意；
当时，令，，
则，设，，
则，因为，所以，
所以，所以在上单调递增，
所以，即在上恒成立，
所以即在上单调递增，
又因为，
当即时，，在上恒成立，所以在上单调递增，所以在上恒成立，
当时，，
如果在上恒成立，则在上单调递减，则无最小值，不符合题意；
如果有解时，设，则在上单调递减，在上单调递增，则在时，，不符合题意；
综上所述，，即实数的取值范围是．
【点睛】方法点睛：本题主要考查利用函数的导数解不等式恒成立的问题，解决此类问题的一般方法是：
（1）分离参数将原不等式恒成立问题转化为函数的最值问题；
（2）构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值；
（3）得出参数的取值范围．
2．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若在区间上有极小值，求实数的取值范围；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1），在上单调递增，由题意且，解不等式实数的取值范围；
（2）不等式等价于，通过构造函数利用导数研究单调性证明不等式.
【详解】（1）函数，定义域为，
，在上单调递增，
若在区间上有极小值，则有，解得.
故实数的取值范围为.
（2），即，由，可化简得，
要证，即证.
设，，
由，则有，得，即，
函数在上单调递减，
时，时，
则，，此时，
则时，时，
在上单调递增，在上单调递减，
，
函数在上单调递减，，
故，即.
设，
，解得，解得，
在上单调递减，在上单调递增，，
由，得，则有，即
故，即有.
所以，即.
【点睛】方法点睛：
1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)讨论函数的最值；
(2)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论得到导数的符号后可得函数的单调性和最值；
（2）将题意转化为函数有两个变号零点，对求导，分类讨论和，的单调性与最值，只要即可.
【详解】（1）函数的定义域为，，
当时，，在上单调递增，无最值；
当时，令，得，所以在上单调递减；
令，得，所以在单调递增，
所以的最小值为，无最大值．
综上，当时，无最值；当时，的最小值为，无最大值．
（2）由题，，定义域为，
所以．
因为有两个极值点，所以有两个变号零点．
令，则，易知函数在上单调递增，
则函数有两个变号零点可转化为函数有两个变号零点．
，
当时，，得，所以在上单调递减．
当时，令，所以在上单调递增．
所以．
要使有两个变号零点，需，解得．
当时，，，
所以在和上各有一个变号零点，符合题意．
综上，实数a的取值范围为．
【点睛】方法点睛：函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：
（1）分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
（2）分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
4．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知函数，其中.
(1)若时，有极值，求的值；
(2)设，讨论的零点个数.
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，求导得，然后由条件列出方程，即可得到结果.
（2）方法一：根据题意，分与，结合零点存在定理，分情况讨论即可；
方法二：根据题意，将函数零点转化为方程的根，再由导数研究其单调性与极值，即可得到结果.
【详解】（1）.
由题意得且，即，联立解得，.经检验，符合题意.
（2）方法一：定义域是.由条件知，.
当时，单调递增；当时，单调递减.
故是的极大值点，且极大值为.
当时，，此时有一个零点.
当时，.记，则.取，则，，
根据零点存在定理，当时，存在一个零点.
取，则.
由零点存在定理可知，当时，存在一个零点，
此时有两个零点.
综上所述，当时，只有一个零点；当时，有两个零点.
方法二：由题意，函数的零点即方程的根，即方程的根，
即的根，记，：
由，得到，
当时，单调递增，时，单调递减，
又，因为，当趋向正无穷时，趋向负无穷，
且的最大值为，
综上所述，当时，只有一个零点；当时，有两个零点.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性，极（最）值问题处理.
5．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知函数.
(1)若的极大值为3，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当，对求导，得出的单调性和极大值，即可得出答案.
（2）由题意整理可得，利用换元法，令，则，令，利用导数求出的最小值，求解即可得出答案.
【详解】（1）因为，由，得，即的定义域为.
因为，
所以，
因为，
所以当时，，
当时，，所以当时，
在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，取得极大值，
解得.
（2）当时，，
即，所以.
令，则，
令，则，所以当时，，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以，所以，又，所以，
所以实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键点在于把恒成立问题通过分离参数转化为新函数的最值问题，转化后利用导数判断出其定义域上的单调性求出值域或最值问题就解决了.
6．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数，其中.
(1)讨论函数极值点的个数；
(2)对任意的，都有，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导后，将问题转化为与交点情况的讨论问题，利用导数可求得的单调性和极值，进而确定图象，采用数形结合的方式可求得结果；
（2）将恒成立的不等式转化为，构造函数，利用导数可证得，由此得到，进而确定的取值范围.
【详解】（1）由题意知：定义域为，，
令，则，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
又，当时，恒成立，
大致图象如下图所示，
则当时，恒成立，即恒成立，
在上单调递减，无极值点；
当时，与有两个不同交点，
此时有两个变号零点，有两个极值点；
当时，与有且仅有一个交点，
此时有且仅有一个变号零点，有且仅有一个极值点；
综上所述：当时，无极值点；当时，有两个极值点；当时，有且仅有一个极值点.
（2）由题意知：当时，恒成立；
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
即，，
又恒成立，，即实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题对于含参函数极值点的讨论的解题关键是能够将问题转化为导函数零点个数的讨论，通过参变分离的方式进一步将问题转化为曲线与直线交点个数的问题，从而采用数形结合的方式来进行求解.
7．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知函数，．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数研究的单调性求最值；
（2）令，问题化为恒成立，利用导数研究单调性，讨论参数a及定义域判断符号，即可求范围.
【详解】（1）由题意，，
令，则，当时，当时．
所以．
（2）由，
所以，
记，即恒成立，且，
当时，当，令，则，
所以在单调递增，且，，
（令且，则，故在上递增，则，所以，以上成立），
故存在唯一，使得，
当时，递减，所以，此时，不合题意．
当时，（ⅰ）若，由上知，则递增，
（令且，则，故在上递增，则，所以，以上成立），
所以恒成立，即成立，符合题意．
（ⅱ），若，则单调递增，
，，所以存在唯一使，
当时，递减，当时，递增，
又，，故存在唯一，使，
故时，递增，时，递减，
又，，
所以时，则递增，故，即恒成立．
综上，.
【点睛】关键点点睛：第二问，注意构造中间函数研究单调性并确定零点，进而判断的符号求参数范围.
8．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数，.
(1)若，证明：；
(2)若函数最大值为，求实数a的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由，可得，，要证明，需要证，构造函数，求最小值即可；
（2）通过分类讨论求函数单调性，得知当，时，函数取得极大值，代入原函数进行求解即可.
【详解】（1）证明：若，则，.
要证明，需要证，
令，
由，
∴在上单调递增，，，
即，
所以原不等式得证.
（2），
令，
所以，
由题知函数的定义域为且，∴.
若，，则，函数在上单调递减，，则，函数在上单调递减，无最大值，舍去.
若，令，解得，，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
时，函数取得极大值，，
，，
∴在内存在唯一零点，满足，
且函数在上单调递增，在上单调递减.
∴的极大值为即为最大值，，
∴，∴，解得.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，可查了计算能力，转化思想和分类讨论的能力，本题的关键点有一下几点：
（1）构造法证明不等式，把问题转化为求函数最值；
（2）含参讨论问题，利用讨论结果求最值进而求值.
9．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数．
(1)当时，求函数在上的极值；
(2)用表示中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．
【答案】(1)极大值为，极小值
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，得到函数的单调性和极值情况；
（2）分，和，结合，对进行分类讨论，求出零点个数.
【详解】（1）当时，，
由，得或，则和随的变化如下表所示：
∴在上有2个极大值：在上有1个极小值．
（2）由，知．
（ⅰ）当时，，
∴，故在上无零点．
（ⅱ）当时，．
故当时，即时，是的零点；
当时，即时，不是的零点．
（ⅲ）当时，．故在的零点就是在的零点，
．
①当时，，故时，在是减函数，
结合，可知，在有一个零点，
故在上有1个零点．
②当时，，故时，在是增函数，
结合可知，在无零点，故在上无零点．
③当时，，使得时，在是增函数；
时，在是减函数；
由知，．
当，即时，在上无零点，故在上无零点．
当，即时，在上有1个零点，故在上有1个零点．
综上所述，时，有2个零点；时，有1个零点；时，无零点
【点睛】导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方
10．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数和在同一处取得相同的最大值．
(1)求实数a；
(2)设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为（），证明：．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）利用导数分别求的最值点，列式求解即可；
（2）构建，利用同构思想分析的大小关系，进而可得直线与曲线和的交点，再结合的单调性分析即可证出.
【详解】（1）由题意可得：，显然，
当时，令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，
可得在处取到最大值；
当时，令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，
可得在处取到最小值，不合题意；
综上所述：，在处取到最大值.
因为的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，
可得在处取到最大值；
由题意可得：，解得.
（2）由（1）可得：在上单调递减，在上单调递增，在处取到最大值，
且当x趋近于时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，
可得直线与曲线至多有两个交点；
在上单调递增，在上单调递减，在处取到最大值，
且当x趋近于时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，
可得直线与曲线至多有两个交点；
若直线与两条曲线和共有四个不同的交点，则，
此时直线与曲线、均有两个交点，
构建，
构建，且，则，
可得在上单调递减，在上单调递增，在处取到最大值，
构建，则，
因为，令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，
可得，
即，当且仅当时，等号成立，
可得：当时，，则，
所以；
当时，，且在上单调递增，
则，可得，
所以；
当时，，且在上单调递减，
则，可得，
所以；
综上所述：当时，；
当时，；
当时，.
结合题意可得：直线与曲线的两个交点横坐标为，与的两个交点横坐标为，且，
当，可得，即，
可得，即，
因为在上单调递增，且，
则，可得
所以；
当，可得，即，
可得，即，
因为在上单调递增，且，
则，可得，
所以；
综上所述：，即.
【点睛】结论点睛：指对同构的常见形式：
积型：，
①，构建；
②，构建；
③，构建.
商型：，
①，构建；
②，构建；
③，构建.
和型：，
①，构建；
②，构建.
【真题感知】
一、单选题
1．（2021·全国·统考高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
二、多选题
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
【答案】AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
3．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小值为 .
【答案】1
【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
四、解答题
4．（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
【答案】（1）证明见详解（2）
【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果；
（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.
【详解】（1）构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
构建，
则，
构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
即对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
综上所述：.
（2）令，解得，即函数的定义域为，
若，则，
因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则在上单调递减，在上单调递增，
故是的极小值点，不合题意，所以.
当时，令
因为，
且，
所以函数在定义域内为偶函数，
由题意可得：，
（i）当时，取，，则，
由（1）可得，
且，
所以，
即当时，，则在上单调递增，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，
所以是的极小值点，不合题意；
（ⅱ）当时，取，则，
由（1）可得，
构建，
则，
且，则对恒成立，
可知在上单调递增，且，
所以在内存在唯一的零点，
当时，则，且，
则，
即当时，，则在上单调递减，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，
所以是的极大值点，符合题意；
综上所述：，即，解得或，
故a的取值范围为.
【点睛】关键点睛：
1.当时，利用，换元放缩；
2.当时，利用，换元放缩.
5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.
【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.
【详解】（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：
所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.
当时，；当时，.
所以，，.
6．（2021·天津·统考高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
【答案】（I）；（II）证明见解析；（III）
【分析】（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；
（II）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解；
（III）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值.
【详解】（I），则，
又，则切线方程为；
（II）令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，，当时，，画出大致图像如下：
所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，
当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
为的极大值点，故存在唯一的极值点；
（III）由（II）知，此时，
所以，
令，
若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，
，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，故，
所以实数b的取值范围.
【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在，使得，即.
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第11题,5分
函数极值点的辨析
函数的性质、奇偶性的定义与判断
2023年新I卷，第22题,12分
由导数求函数的最值 (不含参)
基本(均值)不等式的应用、求平面轨迹
方程、求直线与地物线相交所得弦的弦长
2023年新Ⅱ卷，第11题,5分
根据极值求参数
根据二次函数零点的分布求参数的范围
2023年新Ⅱ卷，第22题,12分
根据极值点求参数
利用导数求函数的单调区间 (不含参)
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的零点
2022年新I卷，第8题,5分
由导数求函数的最值 (不含参)
锥体体积的有关计算球的体积的有关计算
多面体与球体内切外接问题
2022年新I卷，第10题,5分
求已知函数的极值点
求在曲线上一点处的切线方程 (斜率）
利用导数研究函数的零点
2022年新I卷，第22题,12分
由导数求函数的最值 (含参)
利用导数研究方程的根
2021年新I卷，第15题,5分
由导数求函的最值 (不含参)
无
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考点分析
关联考点
2023年新I卷，第11题,5分
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由导数求函数的最值 (含参)
利用导数研究方程的根
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由导数求函的最值 (不含参)
无
减
增
X
()
1
()
f’(x)
+
0
-
f(x)
极大值
增
极大值
减
极小值
增
单调递减
单调递增
单调递减
1
0
+
0
-
0
+
0
-
极大
极小
极大
增
极大值
减
极小值
增
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