人教版数学八下期末培优训练第十六章 二次根式考点整合精炼（2份，原卷版+解析版）

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考点一 二次根式有意义的条件
1．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
思路引领：根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
解：由题意知6﹣4x≥0，
解得x．
故答案为：x．
总结提升：本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
2．无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围为（ ）
A．m≥9B．m＞36C．m≤9D．m≤6
思路引领：将被开方数配方，再根据二次根式有意义，被开方数大于等于0进行判断即可．
解：，
∵无论x取任何实数，代数式都有意义，
∴m﹣9≥0，
∴m≥9．
故选：A．
总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
考点二 二次根式的化简
3．若a＜0，化简其结果是（ ）
A．0B．2aC．﹣2aD．2a或﹣2a
思路引领：根据二次根式的性质得出|a﹣（﹣a）|，绝对值的意义去绝对值符号即可求出答案．
解：∵a＜0，
∴原式＝|a﹣（﹣a）|＝|2a|＝﹣2a，
故选：C．
总结提升：本题主要考查对绝对值，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，能正确去绝对值符号是解此题的关键．
4．化简，对此题有位同学作如下解答：
解：（）0．位同学的解答正确吗？若不正确，请指出错误原因，并加以改正．
思路引领：根据题目中的步骤即可发现问题所在，分类讨论x与y的大小，然后根据分母有理化即可解答本题．
解：该同学解答不正确，
错误原因是不知道x与y哪个大，从而x﹣y是正值还是负值不清楚，故解答错误，并且第一步的式子就抄错了，
改正：当x＝y时，
无意义；
当x＞y时，
2；
当x＜y时，
2
总结提升：本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
5．我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3﹣2的算术平方根．
解：3﹣2，∴3﹣21．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）
（2）
（3）．
思路引领：（1）将3分成2+1，利用完全平方公式即可求出结论；
（2）结合（1）将原式变形为，将18分成16+2，利用完全平方公式即可求出结论；
（3）将3分成2+1、5分成2+3、7分成3+4、9分成4+5、11分成5+6，利用完全平方公式结合二次根式的加、减法，即可求出结论．
解：（1）1；
（2）4；
（3）原式，
，
，
122，
1．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，读懂题意，将整数分成两个合适的整数相加是解题的关键．
6．观察下列等式：
①；
②；
③；
…
请你利用规律化简：
（1）；
（2）．
思路引领：仿照给出二次根式的化简方法，化简即可：
（1）分子分母同乘2；
（2）分子分母同乘．
解：（1）

＝2；
（2）

．
总结提升：此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
考点三 二次根式的运算
7．下列计算中，正确的是（ ）
A．21B．3C．D．
思路引领：根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的性质对C、D进行判断．
解：A．原式＝3，所以A选项不符合题意；
B．3与不能合并，所以B选项不符合题意；
C．原式，所以C选项不符合题意；
D．原式3，所以D选项符合题意．
故选：D．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
8．计算
（1）
（2）（）
（3）
（4）．
思路引领：（1）直接化简二次根式进而求出答案；
（2）直接化简二次根式进而利用除法运算法则求出答案；
（3）直接利用平方差公式计算，进而化简二次根式求出答案；
（4）直接化简二次根式进而求出答案．
解：（1）
＝224
＝2；
（2）（）
＝（4）÷3
；
（3）
＝5﹣12+2
＝﹣5；
（4）
＝31
1．
总结提升：此题主要考查了二次根式的化简以及二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
9．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
思路引领：（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用二次根式的乘除法，平方差公式和零指数幂运算即可；
（3）利用完全平方公式和有理数减法法则运算即可；
（4）把二次根式化为最简二次根式运算即可；
（5）先去绝对值符号，然后再合并即可．
解：（1）原式＝23
；
（2）原式1
1
＝1；
（3）原式＝（5﹣4）﹣3
＝13
＝﹣1；
（4）原式
＝5+12；
（5）原式1
＝21．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式，完全平方公式和零指数幂是解题关键．
考点四 二次根式的条件求值
10．已知1的整数部分为a，小数部分为b，试求（a）（b+1）的值．
思路引领：由于34，则可得到a＝2，b1﹣23，代入所求得式中得到（2）（1﹣3），然后利用平方差公式进行计算即可．
解：根据题意得a＝2，b1﹣23，
∴原式＝（2）（1﹣3）＝（）2﹣22＝11﹣4＝7．
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：先根据已知条件把所求的代数式变形，然后利用整体的思想求值．也考查了无理数的估算．
11．已知a2+b2﹣6a﹣8b＝﹣25，求a、b的值．
分析：“若几个非负数的和为零，则这几个非负数皆为零”，当一个等式里含有几个未知数时，若能将该等式化为几个非负数的和的形式，便能利用上述性质来求解．
例如，讲方程a2+b2﹣6a﹣8b＝﹣25，化为（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，从而求得a＝3，b＝4．
再如，将方程a+b21＝0化为a﹣21+（b﹣1）21＝0，
再将方程左边配成两个完全平方式和（1）21）2＝0，从而求得a＝1，b＝2．
使用类似的方法解决下面的问题：
（1）已知a+b＝2（a＞0，b＞0），求的值．
（2）已知a+b+c＝24614．求a、b、c的值．
思路引领：（1）首先把a+b＝2两边平方，整理得出（a﹣b）2＝0，得出a＝b，进一步代换求得数值即可；
（2）先移项，再利用配方法得到a+1﹣21+b+1﹣44+c﹣2﹣69＝0即有（1）2+（2）2+（3）2＝0，然后根据非负数的性质得1＝0，2＝0，3＝0解得a＝0，b＝3，c＝11．
解：（1）∵a+b＝2，
∴a2+2ab+b2＝4ab，
∴（a﹣b）2＝0，
∴a＝b，
∴；
（2）∵a+b+c＝24614，
∴a+1﹣21+b+1﹣44+c﹣2﹣69＝0，
∴（1）2+（2）2+（3）2＝0，
∴1＝0，2＝0，3＝0，
∴a+1＝1，b+1＝4，c﹣2＝9，
∴a＝0，b＝3，c＝11．
总结提升：本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程，配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．也考查了非负数的性质．
12．已知：m是的小数部分，求的值．
思路引领：先估算得到m2，则2，即m，利用完全平方公式得到原式，再根据二次根式的性质得到原式＝|m|，去绝对值得原式＝﹣m，然后把m和的值代入计算即可．
解：∵m是的小数部分，
∴m2，
原式|m|
∵m2，
∴2，即m，
∴原式＝﹣（m）
＝﹣m
＝﹣（2）2
＝4．
总结提升：本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了无理数的估算以及完全平方公式．
13．已知a＝2，b＝2，求的值．
思路引领：先计算出a+b，b﹣a以及ab的值，再把所求代数式变形为，然后代值计算即可．
解：∵a＝2，b＝2，
∴a+b＝4，b﹣a＝﹣2，ab＝4﹣3＝1，
∴原式8．
总结提升：本题二次根式的化简求值，通过先计算a+b，b﹣a以及ab的值，变形所求代数式，从而使计算变得简便．
考点五 二次根式的规律探索
14．观察下列各式：；；．
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： ；
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式，并验证；
（3）利用上述规律计算．
思路引领：（1）根据题意给出的规律即可求出答案；
（2）由题意的规律即可用n表示该等式；
（3）根据（2）中的结论即可求出答案．
解：（1）；
故答案为：；
（2）．
验证：等式左边
等式右边．
（3）．
总结提升：本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是正确理解题中给出的规律．
2022中考真题精炼
一．选择题（共6小题）
1．（2022•广州）代数式有意义时，x应满足的条件为（ ）
A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣1
思路引领：直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
解：代数式有意义时，x+1＞0，
解得：x＞﹣1．
故选：B．
总结提升：此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（2022•广州）下列运算正确的是（ ）
A．2B．a（a≠0）
C．D．a2•a3＝a5
思路引领：直接利用立方根的性质以及分式的加减运算法则、二次根式的加减运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别判断得出答案．
解：A．2，故此选项不合题意；
B．1，故此选项不合题意；
C．2，故此选项不合题意；
D．a2•a3＝a5，故此选项符合题意；
故选：D．
总结提升：此题主要考查了立方根的性质以及分式的加减运算、二次根式的加减运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
思路引领：利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．
解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
总结提升：本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则1+|a﹣1|的化简结果是（ ）
A．1B．2C．2aD．1﹣2a
思路引领：根据数轴得：0＜a＜1，得到a＞0，a﹣1＜0，根据|a|和绝对值的性质化简即可．
解：根据数轴得：0＜a＜1，
∴a＞0，a﹣1＜0，
∴原式＝|a|+1+1﹣a
＝a+1+1﹣a
＝2．
故选：B．
总结提升：本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握|a|是解题的关键．
5．（2022•聊城）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a＝5×105m/s2，s＝0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）
A．0.4×103m/sB．0.8×103m/sC．4×102m/sD．8×102m/s
思路引领：把a＝5×105m/s2，s＝0.64m代入公式v，再根据二次根式的性质化简即可．
解：v8×102（m/s），
故选：D．
总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．（2022•绥化）若式子x﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x≥﹣1且x≠0D．x≤﹣1且x≠0
思路引领：根据二次根式的被开方数是非负数，a﹣p（a≠0）即可得出答案．
解：∵x+1≥0，x≠0，
∴x≥﹣1且x≠0，
故选：C．
总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数，a﹣p（a≠0）是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
7．（2022•荆州）若3的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2a）•b的值是 ．
思路引领：根据的范围，求出3的范围，从而确定a、b的值，代入所求式子计算即可．
解：∵12，
∴1＜32，
∵若3的整数部分为a，小数部分为b，
∴a＝1，b＝31＝2，
∴（2a）•b＝（2）（2）＝2，
故答案为：2．
总结提升：本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出a、b的值．
8．（2022•随州）已知m为正整数，若是整数，则根据3可知m有最小值3×7＝21．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ．
思路引领：先将化简为10，可得n最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则n越大，当2时，即可求解．
解：∵10，且为整数，
∴n最小为3，
∵是大于1的整数，
∴越小，越小，则n越大，
当2时，
4，
∴n＝75，
故答案为：3；75．
总结提升：本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．
9．（2022•天津）计算（1）（1）的结果等于 ．
思路引领：根据平方差公式即可求出答案．
解：原式＝（）2﹣12
＝19﹣1
＝18，
故答案为：18．
总结提升：本题考查平方差公式与二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
10．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1| 2 ．
思路引领：根据数轴可得：﹣1＜a＜0，1＜b＜2，然后即可得到a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，从而可以将所求式子化简．
解：由数轴可得，
﹣1＜a＜0，1＜b＜2，
∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴|a+1|
＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a）
＝a+1﹣b+1+b﹣a
＝2，
故答案为：2．
总结提升：本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．（2022•内蒙古）已知x，y是实数，且满足y，则的值是 ．
思路引领：根据负数没有平方根求出x的值，进而求出y的值，代入计算即可求出值．
解：∵y，
∴x﹣2≥0，2﹣x≥0，
∴x＝2，y，
则原式，
故答案为：
总结提升：此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（2022•六盘水）计算：2 ．
思路引领：先化简各个二次根式，再合并同类二次根式．
解：2220．
故答案为0．
总结提升：本题考查二次根式的加减，解题的关键是首先化简各个二次根式，再合并同类二次根式．
三．解答题（共4小题）
13．（2022•河池）计算：|﹣2|﹣3﹣1（π﹣5）0．
思路引领：先去绝对值，计算负整数指数幂，零指数幂和二次根式乘法，再合并即可．
解：原式＝221
．
总结提升：本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数相关运算的法则．
14．（2022•甘肃）计算：．
思路引领：根据二次根式的乘法法则和二次根式的化简计算，再合并同类二次根式即可．
解：原式2
．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，掌握•（a≥0，b≥0）是解题的关键．
15．（2022•泰州）计算：；
思路引领：原式利用二次根式乘法法则计算，合并即可得到结果；
解：原式＝3
＝3
＝2；
，
总结提升：此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（2022•济宁）已知a＝2，b＝2，求代数式a2b+ab2的值．
思路引领：利用因式分解，进行计算即可解答．
解：∵a＝2，b＝2，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝（2）（2）（22）
＝（4﹣5）×4
＝﹣1×4
＝﹣4．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．