人教版数学八下期末培优训练专题4 二次根式的运算与应用（2份，原卷版+解析版）

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类型一 二次根式的计算
典例1 （2022秋•渠县校级期末）化简：
（1）． （2）计算：．
变式训练
1．（2022秋•长安区期中）下列计算正确的是（ ）
A．235B．236
C．523D．（）
2．（2022秋•市北区校级期末）计算式子（2）2021（2）2020的结果是（ ）
A．﹣1B．2C．2D．1
类型二 与二次根式有关的化简求值
例2 （2022秋•商水县校级月考）问题：先化简，再求值：2a，其中a＝3．
小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下．
小宇的解答过程如下：
解：2a
＝2a（第一步）
＝2a+a﹣5……（第二步）
＝3a﹣5．……（第三步）
当a＝3时，
原式＝3×3﹣5＝4．……（第四步）
小颖为验证小宇的做法是否正确，她将a＝3直接代入原式中：
2a＝6＝6+2＝8．
由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程．
变式训练
1．（2022春•藁城区校级月考）先化简，再求值：，其中．
2．（2022秋•静安区校级期中）先化简，再求值，如果a＝2，b，求的值．
典例3 （2022秋•青浦区校级期中）先化简再求值：，其中x，y．
变式训练
1．（2022秋•虹口区校级月考）先化简，再求值：，其中a＝1，b＝2．
典例4（2022春•邹城市校级月考）先化简，再求值：
（1）2（a）（a）﹣a（a﹣6）+6，a1．
（2）已知a＝2，b＝2，求的值．
变式训练
1．已知，求代数式的值；
类型三 与二次根式有关的规律探究
典例5 （2022秋•新蔡县校级月考）发现①计算（）2＝ ，（）2＝ ；
②计算： ； ；
总结 通过①②的计算，分别探索（）2（a≥0）与a、与a的数量关系规律，请用自己的语言表述出来；
应用 利用你总结的规律，结合图示计算（）2的值．
变式训练
1．（2022秋•忻州月考）综合与实践
小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
等式1：．等式2：．等式3：．等式4： ．
（2）观察、归纳，得出猜想．
n为正整数，猜想等式n可表示为 ，并证明你的猜想．
（3）应用运算规律．
①化简：．
②小丽写出一个等式（n＞0），若该等式符合上述规律，则m﹣n的值为 ．
典例6 （2022秋•浦东新区期中）观察下列运算：
（1）由，得1（2）由，得
…… 问题：（1）通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来；
（2）利用（1）中发现的规律计算：
．
变式训练
1．（2022秋•南山区校级期中）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：
数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．
例如：1．
解决问题：
（1）在括号内填上适当的数：③
①： ，②： ，③ ．
（2）根据上述思路，化简并求出的值．
类型四 二次根式的应用
典例1（2022秋•新蔡县校级月考）如图，有一张面积为50cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为cm．
（1）求长方体盒子的容积；（2）求这个长方体盒子的侧面积．
变式训练
1．（2022秋•洛宁县月考）如图，有一张长为16cm，宽为8cm的长方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形．
（1）若小正方形的边长为cm，则制作成的无盖长方体盒子的体积是多少？
（2）求这个长方体盒子的侧面积．
典例2 （2022春•锦江区校级期中）阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现；当a＞0，b＞0时，有a﹣2b≥0，∴a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，x的最小值为 ；当x＜0时，x的最大值为 ．
（2）当x＞0时，求y的最小值．
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为12和27，求四边形ABCD面积的最小值．
针对训练
1．（2021秋•武陵区校级期末）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当a＞0，b＞0时，∵，∴，当且仅当a＝b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，的最小值为 ．
（2）当m＞0时，求的最小值．
（3）请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米．若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
专题提优训练
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．4C． D．
2．（2022春•江岸区校级月考）先化简，再求值：，其中x，y＝4．
3．（2022春•呼和浩特期末）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
4．（2022春•金华月考）在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：
先化简，再求值：|x﹣1|，其中x＝9．
小明同学是这样计算的：
解：|x﹣1|x﹣1+x﹣10＝2x﹣11．
当x＝9时，原式＝2×9﹣11＝7．
小荣同学是这样计算的：
解：|x﹣1|x﹣1+10﹣x＝9．
聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？
5．（2022春•闵行区校级期中）先化简，再求值：已知x，求的值．
6．（2021春•霍邱县期中）观察与思考：①2；；．
式①验证：2；
式②验证：3．
（1）仿照上述式①、式②的验证过程，请写出式③的验证过程；
（2）猜想5 ；
（3）试用含n（n为自然数，且n≥2）的等式表示这一规律，并加以验证．
7．（2021秋•鄞州区期中）先阅读材料，再解决问题．
；；；；…
根据上面的规律，解决问题：
（1） ＝ ；
（2）求（用含n的代数式表示）．
8．（2022秋•中原区校级月考）小明同学在学习的过程中，看到北师大版八年级上册数学课本43页有这样一道题目：如图，两个正方形的边长分别是多少？你能借助这个图形解释吗？
小明想了想做出如下解答过程：“如图，大正方形的面积为8，则它的边长为；小正方形的面积为2，则小正方形的边长为．借助这个图形，可以得到大正方形的边长是小正方形边长的2倍，即．”
老师夸赞小明做得非常好，继续提出一个新的问题：你能设计一个图形解释吗？请你画出相应的图形并借助图形帮助小明解答这个问题．
9．（2022春•周至县期末）在一个长为4，宽为3的矩形内部挖去一个边长为（2）的正方形，求剩余部分的面积．
10．（2022春•济源期末）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦﹣秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．
【解决问题】：已知在△ABC中，AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5．
（1）请你用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积．
（2）除了利用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
11．（2022春•西城区校级期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+3 2，1 2，5+5 2．
（2）由（1）中各式猜想m+n与2（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要 m．