上海浦东2024学年第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测数学试卷及参考答案

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7. 8. 9. 10. 1.172 11. 8 12. 10
选择题 C B D A
17.（1）由，得，………3分
由, 得单调增区间为 ;………6分
(2) ，………9 分
由，得，于是………12分
从而，即的值域为.………14分
18. (1) 解: 三棱锥的体积等于三棱锥的体积，………2分
三角形面积为， ………2分
三棱锥的体积 ………2分
所以, 三棱锥的体积为4；
(2) 作，连，
则是异面直线与所成的角, ………3分
,
,
则， ………4分
所以异面直线与所成的角的余弦值为. ………1分
19. （1）小总命中率为 ………2分
小总命中率为………4分
………5分
综上，小C想法错误，小B为校MVP ………6分
（2）（i）证明: 若 "第一次投篮人物" 为小，
小获胜的概率为，小的获胜的概率为
可得"小第一次投篮，小获胜概率大" ………9分
(ii)若"第一次投篮人物" 为小，
小获胜的概率为，小的获胜的概率为
………12分
其中，
易证随着的增大而增大，
，所以当也就是时
综上：若小第一次投篮，时小获胜概率大;
时小获胜概率大. ………14分
20. (1) 联立与，可得 ………4分
(2) 设
$
………6分
………8分
因为,所以当时,的最小值为，
当时，
所以的取值范围为. ………10分
（3）设，
设直线的斜率为，
直线方程为.
由得. ………11分
设直线
由，得. = 1 \* GB3 ①
设，则和是方程 = 1 \* GB3 ①的解，
故，由此得. ………13分
………14分

………16分
法一：
设，则由得，当且仅当时取等号.
因为在为严格减函数，所以当，即时，取得最大值，最大值为.
因此，面积的最大值为. ………18分
法二：
在上是严格增函数，在上是严格减函数
时，取得最大值，最大值为.
因此, 面积的最大值为. ………18分
21. (1) ，点在上，
，设切点为，
切线方程为，即, ………2分
切线过，解得或，
故切线方程为，点为的"类点" . ………4分
(2) ，设切点为，
切线方程为，即，
由题意，以上方程有三个不同解，且成等差数列，设为，公差为，
比较等式两边系数可得，
，-----------------------9分
经检验，当时，，不过，满足条件，----10分
故的值为2 .
（3）（方法1）假设轴上存在的"类点"，记为，设坐标为，，设切点为，
切线方程为，即，
过，得，方程至少有两个不同解, --------11分
设，则，
令，得或，
当在上，为严格减函数，
当在 上, 为严格增函数，--------13分
极小值，极大值，又，
由函数图像可知，当或时，方程有两个不同解，
当时，方程有三个不同解，
因为时，在上，其余情况下在外，所以，-------15分
设两垂直切线的斜率为，对应方程的两根为，
则，
由得，代入上式，
有，
因为，所以异号，不妨设，
由均值不等式知，，则，
而，等式无法成立，不存在。
故假设不成，命题得证！
（方法2）假设轴上存在的"类点"，记为，设坐标为，，
设切点为，
切线方程为，即，
过，得，方程至少有两个不同解，
设，则，
令，得或，
当在上，为严格减函数，
当在上，为严格增函数，
极小值，极大值，又，
设两垂直切线的斜率为，对应方程的两根为，不妨设，
由函数图像可知，，
设，则，
令，得，
当在上，为严格减函数，
当在 上，为严格增函数，
，因此，
则，矛盾!
故假设不成立，命题得证！