上海徐汇2024学年第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测数学试卷及参考答案

这是一份上海徐汇2024学年第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测数学试卷及参考答案，文件包含2024学年度第一学期徐汇区高三数学学习能力诊断试卷docx、参考答案202412不含评分细则docx、高三数学答题纸202412docx等3份试卷配套教学资源，其中试卷共13页， 欢迎下载使用。
2024.12
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1． 2 . 0 3. 5 4.
5. 1 6. 充要 7. 51 8.
9. 10. 11. 12.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. C 14. B 15. B 16.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：（1）由的最小正周期为可知：


（2）由（1）可得：

.
18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：（1），，为棱的中点，
且，四边形是平行四边形.
，又不在平面上，
由线面平行的判定定理知，平面.
（2）
即，
且异面直线与所成的角为，即，
又，平面，平面．
又，由三垂线定理，.
因此是二面角的平面角，．
．
不妨设，则.
以为坐标原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，，
则，
设平面的一个法向量为，
则可得：
令，则.
设直线与平面所成角为，
则.
法二：过作，交的延长线于，连接.
由（1）知：，，，
即，
又，平面，平面．
平面，，又是在平面上的射影，
由三垂线定理知，，又，平面．
再过作，交于，
平面，平面，，又，
平面，即为直线与平面的所成角.
，平面．由三垂线定理，.
因此是二面角的平面角，．
设，则，
，四边形为正方形，.
，，，
直线与平面所成角的正弦值为.
19. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）
解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 ，
则.
（1）应聘者选方案一考试通过的概率

.
应聘者选方案二考试通过的概率

.
（2）因为,所以


故，即选方案一，该应聘者考试通过的概率较大.
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
解：（1）因为双曲线的渐近线方程为，
所以设双曲线方程为，
又双曲线过点，
则，所以双曲线的方程为，即.
（2）由（1）可知，的斜率存在且不为0，设的方程为，
联立，消去得，
设，由题意得，
则，
所以

所以， 得证．
（3），
恒成立，，
所以圆心到的距离，
半径，
设所对圆心角为，则，
，所以，即所对圆心角的大小为定值.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
解：（1），
是函数的“类数”；
，
，不是函数的“类数”.
（2）因为函数的“类集”为集合，且，
所以存在，使得且，
若，则，所以，
因为函数的图像是连续不断的，
不妨设，由零点存在定理知，必存在使得，
所以存在零点，即.
（3），
.
先证明：
因为函数的“类集”为，
所以对任意，
令，则，
因为函数的值域为，
所以当时，必有，
即对于恒成立，
所以函数的最小正周期应有，即，则.
再证明，此时，对于任意，.
当时，，则，；
当时，，则，，
所以时函数的“类集”为，即.
我们不难发现，上述过程中令=也成立. 因此，的最大值是.