苏科版数学七上期末压轴题训练专题15 有关角的问题压轴题八种模型全攻略（2份，原卷版+解析版）

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考点一 角的表示方法 考点二 钟面角
考点三 与方向角有关的计算题 考点四 角的单位与角度制
考点五 三角板中角度计算问题 考点六 角平分线的有关计算
考点七 几何图形中角度计算问题 考点八 角n等分线的有关计算
典型例题

考点一 角的表示方法
例题：（2021·江苏·南通市北城中学七年级阶段练习）下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据角的三种表示方法，可得正确答案．
【详解】A、因为顶点O处有四个角，所以这四个角均不能用∠O表示，故本选项错误；
B、因为顶点O处只有一个角，所以这个角能用∠1，∠AOB，∠O表示，故本选项正确；
C、因为顶点O处有三个角，所以这三个角均不能用∠O表示，故本选项错误；
D、因为顶点O处有三个角，所以这三个角均不能用∠O表示，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了角的概念，熟记角的表示方法是解题关键．在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个大写字母来记这个角．
【变式训练】
1．（2022·山东泰安·期末）下列选项中，能用∠1，∠APB，∠P三种方法表示同一个角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据角的表示方法即可求解；
【详解】解：当以点P为顶点的角有多个时，不能用∠P表示∠APB，故A、C、D不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查角的表示，掌握角的表示方法是解题的关键．
2．（2022·全国·七年级专题练习）如下图，下列说法正确的是（ ）
A．与表示同一个角B．
C．图中共有两个角：，D．表示
【答案】A
【分析】根据角的表示方法表示各个角，再判断即可．
【详解】解：A．∠1与∠AOB表示同一个角，正确，故本选项符合题意；
B．不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C．图中共有三个角：，，∠AOC，故选项错误，不符合题意；
D．表示，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了对角的表示方法的应用，正确表示角是解题的关键．
考点二 钟面角
例题：（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校七年级阶段练习）时间为7点30分时，时针和分针形成的小于的角为___________°
【答案】
【分析】利用分针和时针的速度求夹角即可．
【详解】解：分针速度：（度/分），时针速度：（度/分）
则7点30分时夹角为：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查时钟上的角度问题，搞清楚时针，分针的转动速度，并转化为行程问题是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·山东·曹县第二初级中学七年级阶段练习）上午6点20分，钟面上的时针与分针的夹角是__________．
【答案】70°##70度
【分析】利用钟表表盘的特征进行分析：钟表上有12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，即一个大格是30°，一个大格之间有5个小格，一个小格是6°，当时针走30°，分针360°，时针是分针的 ，解答即可．
【详解】解：6点20分，分针走了30°×4=120°，时针走了120°÷12=10°，
30°×2+10°=70°，
∴钟面上的时针与分针的夹角是70°，
故答案为：70°．
【点睛】此题考查了钟面角的有关知识，解题的关键是掌握钟表上从1到12一共有12格，每个大格30°，以及时针与分针走的度数之间的关系．
2．（2022·甘肃·甘州中学七年级期末）钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，从8点到8点40分，时针转了_____度，分针转了_____度，8点40分时针与分针所成的角是_____度．
【答案】 20 240 20
【分析】根据分针每分钟走6度，时针每分钟走0.5度，乘以走的时间即可求解
【详解】钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，钟表一圈有360度、60分钟、12个小时，所以分针转动的速度等于 度/分钟，时针转动的速度等于 度/分钟．由题意可知，时针和分针都走了40分钟，所以时针转了 度，分针转了 度，8点时时针与分针所形成的角是120度，所以8点40分时针与分针所形成的角是 度．
故答案为：20；240；20
【点睛】本题考查钟面角，需注意一开始时针与分针的位置不一定重合
考点三 与方向角有关的计算题
例题：（2021·广东广州·七年级期中）如图，点M位于点O的( )
A．东偏北35°方向B．北偏东35°方向
C．东偏北55°方向D．北偏东55°方向
【答案】D
【分析】根据题意得出∠1=90°-35°=55°，再由方位角的表示方法即可得出结果．
【详解】如图，∠1=90°-35°=55°，
所以，点M位于点O的北偏东55°方向．
故选D．
【点睛】题目主要考查角度的计算及方位角的表示，熟练掌握方位角的表示方法是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·山东东营·期末）如图，海上有两艘军舰和，由测得的方向是（ ）
A．北偏西B．北偏西C．南偏东D．南偏东
【答案】D
【分析】根据方向角的分类及已知角度即可求解．
【详解】解：由图可得A在B的北偏西的方向上，
故B在A的南偏东的方向上．
故选：D．
【点睛】本题考查了方向角的分类及表示，熟练掌握方向角的概念及分类是解题的关键．
2．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，是表示北偏东的一条射线，是表示北偏西的一条射线，若，则表示的方向是（ ）
A．北偏东B．北偏东
C．北偏东D．北偏东
【答案】C
【分析】根据题意求得∠AOB的度数，根据角的和差以及，可得∠DOC的度数，即可得出结论．
【详解】解：如图，
∵是表示北偏东的一条射线，是表示北偏西的一条射线，
∴，
∴，
∵，
，
，
．
故选C．
【点睛】本题考查了方位角的表示，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
考点四 角的单位与角度制
例题：（2021·山东·泰安市泰山区大津口中学七年级阶段练习）用度、分、秒表示34.18°＝_____°_____′_____″；用度表示45°19′12″＝_____°
【答案】 34 10 48 45.32
【分析】1°=60′，1′=60″，据此计算即可．
【详解】34.18°中，整数部分是34，即有34°，
0.18×60=10.8′，整数部分为10，即有10′，
0.8×60=48″，即有48秒；
12″÷60=0.2′，
(19′+0.2′)÷60=0.32°，
即45°19′12″=45.32°．
故答案为：34,10,48,45.32．
【点睛】本题考查了角度的换算，掌握1°=60′，1′=60″，是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江·兰西县崇文实验学校期末）用度表示__________．
【答案】
【分析】根据度分秒的进制，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴用度表示，
故答案为：．
【点睛】本题考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
2．（2022·山东·万杰朝阳学校期中）=____度____分____秒；=______度．
【答案】 55 39 36 43.54
【分析】根据“60进制”的特点进行转换，整数部分即是度的数值，小数部分乘以60得到的数的整数部分即是分的数值，再将此时的小数部分乘以60即是秒的数值；将秒的值除以3600加上分的数值除以60，再加上度的数值即可．
【详解】解：，则度的数值为55，
，则分的数值为39，
，即秒的数值为36；
根据1°=，得，
，，
所以，
故答案为：55，39，36，43.54．
【点睛】本题主要考查了度、分、秒之间的转化，掌握“60”进制是解答本题的关键．
考点五 三角板中角度计算问题
例题：（2021·山东·泰安市泰山区大津口中学七年级阶段练习）将一副三角尺按如图所示的方式放置，∠BOC＝35°，∠AOD的度数是_____．
【答案】145°##度
【分析】根据三角板可得∠BOC+∠BOD=90°，∠BOC+∠AOC=90°，∠BOC=35°，可求出∠BOD=55°，∠AOC=55°，根据角的和差关系即可求出∠AOD．
【详解】解：∵∠BOC+∠BOD=90°，∠BOC+∠AOC=90°，∠BOC=35°，
∴∠BOD=55°，∠AOC=55°，
∴∠AOD=∠AOC+∠BOC+∠BOD=55°+35°+55°=145°．
故答案为：145°．
【点睛】本题主要考查余角的性质，解决本题的关键是根据题意求出∠BOD=55°，∠AOC=55°．
【变式训练】
1．（2022·广西河池·七年级期末）一副三角板摆放在一起的示意图如下，若，则∠2的度数是______．
【答案】35°##35度
【分析】根据图形直接用平角减去一个直角及∠1即可得出结果．
【详解】解：根据图形可得：
∠2=180°-90°-∠1=35°，
故答案为：35°．
【点睛】题目主要考查简单的三角板中的角度计算，结合图形进行求解是解题关键．
3．（2022·江苏淮安·七年级期末）如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点O重合，若∠AOB=165°，则∠COD的度数为____．
【答案】15°##15度
【分析】先根据直角三角板的性质得出∠AOD+∠COB＝180°，进而可得出∠COD的度数．
【详解】解：∵△AOD与△BOC是一副直角三角板，
∴∠AOD+∠COB＝180°，
∴∠AOC+2∠COD+∠BOD=∠AOB+∠COD=180°．
∵∠AOB＝165°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣165°＝15°．
故答案为15°．
【点睛】本题考查了角度的计算，熟知直角三角板的特点，找准各角之间的关系是解答此题的关键．
考点六 角平分线的有关计算
例题：（2021·山东·济南市莱芜区方下鲁西学校期中）如图，OB是的平分线，OD是的平分线，，．求的度数．
【答案】
【分析】先由OB是的平分线求出，从而求出，再用OD是的平分线求出，最后用计算即可．
【详解】∵OB是的平分线，，
∴，
∴．
又∵OD是的平分线，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查与角平分线有关的角度计算，掌握角平分线的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·新疆·库车市第七中学七年级期末）如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数．
【答案】120°，30°
【分析】先根据角平分线，求得的度数，再根据角的和差关系，求得的度数，最后根据角平分线，求得、的度数．
【详解】解：∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠BOE=∠AOB =45°，
又∵∠EOF=60°，
∴∠BOF=∠EOF－∠BOE= 15°，
又∵OF平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠BOF=30°，
∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=120°，
故∠AOC=120°，∠COB=30°．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，根据角的和差关系进行计算是解题的关键，注意：也可以根据的度数是度数的2倍进行求解．
2．（2021·山东·泰安市泰山区大津口中学七年级阶段练习）如图，已知∠AOB＝160°，OD是∠AOB内一条射线，OE平分∠AOD，OC平分∠BOD．
(1)若∠AOE＝55°，求∠EOC的度数；
(2)若∠BOC＝19°，求∠EOD的度数．
【答案】(1)∠EOC=80°
(2)∠EOD=61°
【分析】（1）先根据角平分线定义，结合∠AOE＝55°得到∠EOD＝∠AOE=55°，∠AOD=110°，求出∠DOB=50°，再根据角平分线的定义求出∠DOC＝25°，根据∠EOC=∠EOD+∠DOC＝80°；
（2）先根据角平分线定义得到∠DOB＝2∠BOC＝38°，再求出∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝122°，然后根据角平分线定义得出∠EOD＝∠AOD＝61°．
（1）
解：∵OE平分∠AOD，∠AOE＝55°，
∴，，
∵∠AOB＝160°，
∴，
∵OC平分∠BOD，
∴，
∴∠EOC＝∠EOD+∠DOC=55°+25°=80°．
（2）
解：∵OC平分∠BOD，∠BOC＝19°，
∴∠DOB＝2∠BOC＝38°，
∵∠AOB＝160°，
∴∠AOD＝∠AOB-∠DOB＝122°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD＝∠AOD＝61°．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义与角度的计算，仔细观察图形找到数量关系，是解答关键．
考点七 几何图形中角度计算问题
例题：（2022·福建省尤溪第一中学文公分校七年级期末）如图所示，将两块三角板的直角顶点重合．
(1)写出以为顶点的相等的角；
(2)若，求度数；
(3)写出与之间所具有的数量关系；
(4)当三角板绕点旋转时，你所写出的（3）中的关系是否变化？请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)与互补
(4)不变，见解析
【分析】（1）根据同角的余角相等作答；
（2）由图得∠DCE＝90°−∠ACE，求∠ACE的度数即可；
（3）∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°；
（4）由（3）可得，当三角板ACD绕点C旋转时，不变化．
（1）
解：根据同角的余角相等可得：∠ACE＝∠BCD，∠ACD＝∠ECB．
（2）
解：∵∠ACB＝150°，∠BCE＝90°，
∴∠ACE＝150°−90°＝60°，
∴∠DCE＝90°−∠ACE＝90°−60°＝30°．
（3）
解：∵∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，
∴∠ACB与∠DCE互补．
（4）
解：不变化．
∵∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，
∴无论如何旋转，∠ACB与∠DCE互补．
【点睛】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解答本题需要熟悉一副三角板各角之间的关系．
【变式训练】
1．（2021·山东淄博·期中）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（注：
(1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 ；
(2)如图②，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数；
(3)如图③，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)20
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据图形得出，代入求出即可；
（2）根据角平分线定义求出，代入，求出，代入求出即可；
（3）根据图形得出，，相减即可求出答案．
（1）
解：．
故答案为：20．
（2）
解：平分，，
，
，
，
，
．
（3）
解：，理由如下：
，，
，
即．
【点睛】本题主要考查了角平分线定义，角的计算的应用，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键．
考点八 角n等分线的有关计算
例题：（2021·黑龙江哈尔滨·七年级期末）若，为的三等分线，则_______．
【答案】或
【分析】分当OC是∠AOB靠近OA的三等分线和当OC时∠AOB靠近OB的三等分线两种情况讨论求解即可．
【详解】解：如图所示，当OC是∠AOB靠近OA的三等分线，
∴；
如图所示，当OC时∠AOB靠近OB的三等分线，
，
故答案为：40°或80°．
【点睛】本题主要考查了角三等分线的定义，熟知定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·湖南长沙·七年级期末）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，则∠DOE＝________°．（用含n的代数式表示）
【答案】
【分析】根据角的和差即可得到结论．
【详解】解：∵∠BOE=∠BOC，
∴∠BOC=n∠BOE，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，
∴∠BOD=∠AOB=+∠BOE，
∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角的计算，正确的识别图形是解题的关键．
2．（2021·贵州毕节·七年级阶段练习）如图，点A、C、B三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF，∠DCE＝∠ECA，∠FCE＝∠ECB．
(1)求∠DCF的大小，并说明理由；
(2)当∠DCE＝∠ECA，∠FCE＝∠ECB时，直接写出∠DCF的大小（用含n的代数式表示）．
【答案】(1)∠DCF=60°，理由见解析
(2)∠DCF=．
【分析】（1）利用角的和与角的差，平角的定义来计算即可；
（2）根据（1）的计算模式，把换成就可得出结果．
（1）
解：∵点A、C、B三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF，∠DCE=∠ECA，∠FCE=∠ECB，
∴∠DCF=∠DCE+∠FCE=（∠ECA+∠ECB）=×180°=60°；
（2）
解：∵点A、C、B三点在一直线上，从点C引射线CD、CE、CF，∠DCE=∠ECA，∠FCE=∠ECB，
∴∠DCF=∠DCE+∠FCE=（∠ECA+∠ECB）=×180°=．
【点睛】本题考查了角的计算、列代数式，解题关键是掌握角的计算和根据题意列代数式．
课后训练
一、选择题
1．（2022·山东聊城·七年级期末）如图，下列各个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据角的表示方法判断即可．
【详解】解：A、图形中的∠1，能用∠AOB表示，但不能用∠O表示，本选项不符合题意；
B、图形中的∠1，能用∠AOB表示，但不能用∠O表示，本选项不符合题意；
C、图形中的∠1，能用∠AOB，∠O表示，本选项符合题意；
D、图形中的∠1，能用∠AOB表示，但不能用∠O表示，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是角的表示方法，注意：唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角．
2．（2022·山东济南·期末）如图，OC是的平分线，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据可得的度数，再根据角平分线的定义即可得．
【详解】解：∵，，
，
是的平分线，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了角的和差、角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
3．（2022·浙江金华·一模）小明从A处出发沿北偏东50°方向行走至B处，又从B处沿南偏东70°方向行走至C处，则∠ABC等于（ ）
A．20°B．100°C．120°D．160°
【答案】C
【分析】根据方向角求出∠EBC，再根据平行线的性质求出∠ABE即可得出答案．
【详解】解：如图：
∵小明从A处沿北偏东50°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东70°方向行走至点C处，
∴∠DAB=50°，∠CBE=70°，
∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，
∴∠ABE=∠DAB=50°，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=50°+70°=120°．
故选C．
【点睛】本题主要考查了方向角及平行线的性质，解决本题的关键是要熟练掌握平行线的性质．
4．（2022·河南三门峡·七年级期末）如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，已知∠AOB =160°，则∠COD的度数为( )
A．20°B．30°C．40°D．50°
【答案】A
【分析】先根据直角三角板的性质得出，进而可得出的度数．
【详解】解：，是一副直角三角板，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查的是角的计算，余角，解题的关键是熟知直角三角板的特点．
5．（2022·全国·七年级专题练习）在锐角∠AOB内部，画出1条射线，可以画出3个锐角；画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画出3条不同的射线，可以画出10个锐角．照此规律，画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为（ ）
A．165B．186C．199D．210
【答案】D
【分析】根据已知条件得出规律为从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是 ，代入即可得到答案．
【详解】在锐角∠AOB内部，
画出1条射线，可以画出3个锐角；
画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；
画出3条不同的射线，可以画出10个锐角；
……
从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是

画19条不同的射线，可以画出锐角的个数为
故选：D．
【点睛】本题考查了角的概念，解题的关键是找到规律．
二、填空题
6．（2022·陕西咸阳·七年级期末）将28°36'用度表示为_____________°．
【答案】28.6
【分析】根据1°=60′，1′=60″，进行计算即可解答．
【详解】解：28°36′=28.6°
故答案为：28.6
【点睛】本题考查了度分秒之间的换算，解决本题的关键是熟记1°=60′，1′=60″．
7．（2022·山东威海·期末）如图，∠AOB=160°，∠COB=20°．若OD平分∠AOC，则∠AOD的大小为______．
【答案】70°##70度
【分析】由∠AOB=160°，∠COB=20°，得∠AOC=∠AOB-∠BOC=140°，又OD平分∠AOC，即得∠AOD=∠AOC=70°．
【详解】解：∵∠AOB=160°，∠COB=20°，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠AOC=70°，
故答案为：70°．
【点睛】本题考查角的和差，解题的关键是掌握角平分线的定义及角的加减．
8．（2022·河南驻马店·七年级期末）如果一个角α的度数为13°14′，那么关于x的方程2α﹣x＝180°﹣3x的解为______．
【答案】76°46′
【分析】将α的值代入一元一次方程，再解一元一次方程，即可解答．
【详解】解：将α的值代入x的方程中，得：
2×13°14′﹣x＝180°﹣3x，
2x＝180°﹣2×13°14′，
2x＝153°32′，
x＝76.5°16′，
x＝76°46′，
关于x的方程2α﹣x＝180°﹣3x的解为：x＝76°46′，
故答案为：x＝76°46′．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2022·河北石家庄·七年级期末）在同一平面内，若，，则____________．
【答案】或
【分析】分OC在∠AOB内和OC在∠AOB外两种情况考虑，依此画出图形，根据角与角之间结合∠AOB、∠AOC的度数，即可求出∠BOC的度数．
【详解】解：当OC在∠AOB内时，如图所示，
∵∠AOB=75°，∠AOC=27°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=75°-27°=48°；
当OC在∠AOB外时，如图所示，
∵∠AOB=75°，∠AOC=27°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=75°+27°=102°．
故答案为：48°或102°．
【点睛】本题考查了角的计算，分OC在∠AOB内和OC在∠AOB外两种情况考虑是解题的关键．
10．（2022·辽宁·沈阳市第七中学七年级期中）已知，射线从与射线重合位置开始绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从与射线重合位置开始绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，当射线再次与射线更合时．两条射线同时停止旋转，当时，两条射线旋转的时间t的值为___．
【答案】10或20或70
【分析】根据时间和速度分别得和的度数，再由角的和与差表示出，即可列方程求解可得结论，需要注意分类讨论．
【详解】由题意得：
当与没有相遇前，此时，，
，
∴，
解得：；
当与相遇以后在右边时，此时，，
，
∴，
解得：；
当与相遇以后在左边时，此时，，
，
∴，
解得：；
综上所述，当时，两条射线旋转的时间t的值为10或20或70．
故答案为：10或20或70．
【点睛】本题考查了角度运动问题，分类讨论并画出图形是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·河北·邯郸市永年区教育科学研究所七年级期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据度分秒的进制进行计算即可解答；
（2）根据度分秒的进制进行计算即可解答；
【详解】（1）解：

（2）解：原式
【点睛】此题考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
12．（2022·新疆·乌市八中七年级期中）如图，已知，平分，且，求的度数．
【答案】108°
【分析】设，则、、均可用x表示出来，由来列方程，求出x，即可得出答案．
【详解】解：设，则，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
解得，，
∴．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理清角之间的关系是解题的关键．
13．（2022·全国·七年级单元测试）时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题：
(1)分针每分钟转了几度？
(2)中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于？
(3)在(2)中所述分针与时针所成的钝角等于后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据分针一小时转一圈即360°，用360°除以60计算即得；
（2）根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，时针与分针转过的角度差是，列方程解答即可；
（3）相对于12时整第二次所成的钝角第二次等于时，时针与分针转过的角度差超过180°，这个差与之和是360°．
【详解】（1）解：∵分针一小时转一圈即360°,
∴分针每分钟转过的角度是： ,
答：分针每分钟转了6度；
（2）设中午12时整后再经过x分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°，
∵时针一小时转动角度为： ，
时分针每分钟转过的角度是： ；
∵分针与时针所成的钝角会第一次等于，
∴时针与分针转过的角度差是，
∴，
解得：，
答：中午12时整后再经过22分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°；
（3）设经过y分钟两针所成的钝角会第二次等于，
则从12时算起经过(y+22)分钟两针所成的钝角会第二次等于，
因为时针与分针转过的角度差超过180°，这个差与之和是360°，
故列得方程：，
解得：，
解得：，
答：经过分钟两针所成的钝角会第二次等于．
【点睛】本题通过钟面角考查一元一次方程，掌握时针分针的转动情况，会根据已知条件列方程是解题的关键．选择合适的初始时刻会简化理解和运算难度，起到事半功倍的效果．
14．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学七年级期中）如图，，，平分，平分，
(1)求的度数=___________．
(2)如果将题目条件中“”改为“”，其他条件不变，求的度数=___________．
(3)如果将题目条件中“”改为“（为锐角）”，其他条件不变，求的度数=___________．
(4)从（1）（2）（3）所求的结果中你能看出与的关系___________．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由已知结合图形可求得的度数，再由角平分线的定义可分别求得与的度数，再由角的差的关系即可得结果；
（2）分析与（1）相同；
（3）分析与（1）相同；
（4）设，（为锐角），余下与（1）相同．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
故答案为：．
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
故答案为：．
（3）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
故答案为：．
（4）解：设，（为锐角），
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差运算等知识，结合图形确定角的和差关系是关键．本题也体现了由特殊到一般的数学思想．
15．（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）【阅读理解】
如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．
(1)∠AOB的角平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
(2)若∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC＝ ．
【问题解决】
(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的幸运线？试说明理由．
【答案】(1)是；
(2)40°或60°或80°；
(3)或或3．
【分析】（1）由角平分线的定义可得；
（2）分三种情况讨论，即∠AOC=2∠BOC，2∠AOC=∠BOC，∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC三种情况，结合∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°可以求出∠AOC．
（3）分三种情况讨论，由“幸运线”的定义，列出方程可求t的值．
（1）
解：∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的两倍，
∴一个角的角平分线是 这个角的“幸运线”，
故答案为：是．
（2）
解：∵射线OC在∠AOB内部，
∴∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°．
①当∠AOC=2∠BOC时，∠AOC+∠BOC=3∠BOC =120°，
∴∠BOC=40°，
∴∠AOC=80°．
②当2∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=3∠AOC =120°，
∴∠AOC=40°．
③当∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC时，OC平分∠AOB，
∴∠AOC =∠AOB =60°．
综上所述：∠AOC=40°或60°或80°．
故答案为： 40°或60°或80°．
（3）
解：∵射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的“幸运线”，
∴射线OP在以射线OA、OQ为边构成角的内部．如下图所示：
∴∠AOP=20t°，∠BOQ =10t°，
∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ= (150-20t-10t)°=(150-30t)°,
∠AOQ=∠AOB -∠BOQ==(150-10t)°．
①当∠AOP=2∠POQ时，则20t =2×(150-30t)，
∴t=．
②若∠POQ=2∠AOP，则150-30t =2×20t，
∴t=．
③若2∠AOP=∠AOQ或2∠POQ=∠AOQ，则2×20t=150-10t，
∴t=3．
综上所述：t=或或3．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，角平分线的性质，找等量关系列出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型．