专题练习八 解析几何【中职专用】2025春季对口高考数学专题复习（河南适用）

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1、（2024年河南对口高考）直线方程先向下平移2个单位，再向右平移1个单位与y轴交于点P，最后以P点为中心顺时针旋转，求变化后最终的直线方程．
【答案】
【分析】根据直线平移变换进行与的操作，求出平移变换后的直线的斜率和倾斜角以及与y轴的交点，再求旋转后的直线斜率，点斜式求直线方程即可.
【解析】平移之后直线为，即
与y轴相交于点，此时斜率，倾斜角，
则旋转后的直线的倾斜角为，斜率为，且经过点
所求直线方程为即.
2、（2023年河南对口高考）已知直线l经过点且与直线垂直，则直线l的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先将直线的斜率，又因垂直求得斜率，点斜式代入即可.
【解析】因为直线的斜率为，直线l与直线垂直，
所以直线l的斜率为，又因为直线l经过点，
代入点斜式为，
整理为.
故选：A.
3、（2024年河南对口高考）在平面直角坐标系中，圆与一条直线l相离，M为圆上任意一点，已知M到l的最短距离为4，则M与l的最长距离为_________．
【答案】
【分析】根据当圆与直线相离时，圆上的点到直线的最长距离为，最短距离为.根据题意代入距离求解即可.
【解析】设圆心到直线的距离为d，已知圆的半径，
则M到直线的最小距离为，最大距离为．
故答案为：.
4、（2024年河南对口高考）已知椭圆的离心率，则_________．
【答案】3或
【分析】分析椭圆焦点在轴或者轴上的情况，再根据离心率计算.
【解析】椭圆方程为，焦点可能在轴或者轴上.
当焦点在轴上时，，则，，
则离心率，则，得到，.
当焦点在轴上，，此时，，.
则离心率，则，即，故，得到.
故答案为：3或.
5、（2023年河南对口高考）直线和圆的位置关系是（ ）．
A. 相切B. 相交且过圆心
C. 相离D. 相交但不过圆心
【答案】A
【分析】求出圆心到直线的距离，再跟半径进行比较即可判断其位置关系.
【解析】圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为
，因，
所以直线和圆相切.
故选：A.
6、（2023年河南对口高考）若方程表示双曲线，求m的取值范围．
【答案】
【分析】由双曲线方程的结构特征列关于的一元二次不等式求解即可.
【解析】根据题意得
解得
所以m的取值范围是.
7、（2023年河南对口高考）已知点在双曲线上，求点P到双曲线右焦点的距离．
【答案】6或14
【分析】根据双曲线的定义和两点距离公式求解即可.
【解析】根据题意在抛物线上可得
即,
所以或,
即点P的坐标为或,
又因为双曲线的右焦点为,
所以或.
8、（2022年河南对口高考）已知直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由，得，
则的斜率为，倾斜角为，
所以的倾斜角，
故选：A.
9、（2022年河南对口高考）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为__________.
【答案】1
【解析】点，直线为：，
由点到直线的距离公式得：，
故答案为：1.
10、（2022年河南对口高考）已知直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程.
【答案】
【解析】解法一：直线化为斜截式即，
斜率为，所求直线与该直线垂直，故斜率，
由直线方程的点斜式可得，
化简可得直线的方程为，
解法二：直线与直线垂直，可设，
将代入上式，可得，从而，
故直线的方程为.
11、（2021年河南对口高考）在平面直角坐标系中，原点到直线的距离等于 .
【答案】
【解析】原点坐标为：，直线方程为：，
根据点到直线的距离公式可得：，
故答案为：.
12、（2021年河南对口高考）已知抛物线经过点，，，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为抛物线经过点，，
所以分别带入点，得，
①， ②，
两式相减得：，
因为，所以两边同时消去，
得：，即：，故得证.
13、（2021年河南对口高考）求经过点且与两坐标轴相切的圆的方程.
【答案】或
【解析】解：根据题意可设圆心坐标为：，半径为：，
圆的标准方程为：，带入点，可解得：，
所以该圆的方程为：或.
14、（2020年河南对口高考）双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由双曲线的标准方程知：，，
焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为：，
所以该双曲线的渐近线方程为：，故选：D.
15、（2020年河南对口高考）在平面直线坐标系中，原点到直线的距离等于 .
【答案】
【解析】原点坐标为：，直线方程为：，
根据点到直线的距离公式可得：，
故答案为：.
16、（2020年河南对口高考）直线经过点，且与轴垂直，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为直线经过点，且与轴垂直，
所以直线的方程为：，
故选：A.
17、（2020年河南对口高考）已知圆的圆心在轴上，经过点和点，求圆的方程.
【答案】
【解析】解：由题意可设圆心坐标为：，圆的标准方程为：，
把点和点分别带入圆的标准方程得：，
联立方程组可解得，所以圆的方程为：.
18、（2019年河南对口高考）直线在轴上的截距为 .
【答案】
【解析】令，，所以直线在轴上的截距为：.
故答案为：.
19、（2019年河南对口高考）抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】抛物线的焦点坐标为：，准线方程为：，
所以焦点到准线的距离为：4，
故选：C.
20、（2019年河南对口高考）已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，求双曲线的标准方程.
【答案】
【解析】解：椭圆方程可化简为：，，
设双曲线的标准方程为：，因为双曲线经过点，
所以把该点带入双曲线方程得：，又因为，
联立可解得或（舍），，
所以双曲线的标准方程为：.
21、（2018年河南对口高考）椭圆的离心率为 .
【答案】
【解析】椭圆化为标准方程为：，
，，，，，，
故答案为：.
22、（2018年河南对口高考）抛物线的焦点坐标是 .
【答案】
【解析】抛物线化成标准形式为：，所以焦点坐标为：.
故答案为：.
23、（2018年河南对口高考）求半径为1，圆心在第一象限，且分别与轴和直线相切的圆的方程.
【答案】或
【解析】解：由题意可设圆心为：，圆的标准方程为：，
因为圆与直线相切，
所以圆心到直线的距离等于半径：，
解得或，
所以所求圆的方程为：或.
24、（2017年河南对口）已知双曲线的焦点到其渐近线的距离为1，则双曲线方程是 ．
【答案】
【解析】由题可知双曲线焦点在y轴上，其中一个焦点为，
一条渐近线为，
焦点到渐近线的距离为，
，
∴双曲线方程为：.
故答案为：.
25、（2017年河南对口高考）已知圆方程为，证明：过点的圆的切线方程为.
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为点在圆上，设圆心坐标为点，点设为点，
，所以所要求的切线方程的斜率为：，
由点斜式方程可得：，
化简即得，得证.
26、（2017年河南对口高考）已知抛物线的顶点为原点，准线为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过抛物线焦点的直线，被抛物线所截的线段长为9，求此直线的方程.
【答案】（1）（2）
【解析】解：（1）由题意可设抛物线的标准方程为：，
准线方程为：，，
所以抛物线的标准方程为：.
（2）当直线的斜率不存在时，被抛物线所截的线段长为6，不满足题意，
所以此直线方程的斜率一定存在，抛物线焦点坐标为：，
设此直线方程为：，
由联立可得，
设直线与抛物线的两交点为，，
由韦达定理得，
根据抛物线得定义知：，
所以，，，
所以此直线的方程为：.
27、（2016年河南对口高考）圆心是，半径为1的圆的标准方程是 .
【答案】
【解析】根据题中的条件可得圆的标准方程为：.
故答案为：.
28、（2016年河南对口高考）若椭圆的焦距是2，则 .
【答案】
【解析】由题知，，，当椭圆焦点在X轴上时，，，；
当椭圆焦点在Y轴上时，，，，不满足题意，应舍去，
故答案为：.
29、（2016年河南对口高考）求焦点在轴上，实半轴长为2，且离心率为的双曲线方程.
【答案】
【解析】解：设双曲线的标准方程为：，
，，，，
双曲线的标准方程为：.
30、（2015年河南对口高考）若直线的斜率，且过点，则直线的方程为 .
【答案】
【解析】由直线的点斜式方程可得：，化简为：，
故答案为：.
31、（2015年河南对口高考）双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线的标准方程知：，，
焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为：，
所以该双曲线的渐近线方程为：，
故选：C.
32、（2015年河南对口高考）已知，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】证明：，，，所以.
33、（2015年河南对口高考）已知直线过抛物线的焦点
（1）求的值，并写出直线的方程；
（2）判断抛物线与直线是否有交点，如果有，求出交点坐标.
【答案】（1）（2）有交点，交点坐标分别为：，
【解析】解：（1）抛物线的焦点为，带入直线方程可得的值为：，
所以直线的方程为：.
（2）由联立得，
因为，所以有交点，
由求根公式可求得两交点坐标分别为：，.