江苏省泰州中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省泰州中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知命题，的否定是( )
A.，B.，
C.，D.，
3．已知a，b，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该高校2023年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是( )（参考数据：，，）
A.2025年B.2026年C.2027年D.2028年
5．已知,,且,则的最小值为( )
A.5B.6C.7D.8
6．若函数的值域为，则实数a的取值范围为( )
A.B.
C.D.
7．已知奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则的值为( )
A.-1B.0C.1D.2
8．已知函数，是定义在R上的函数，其中是偶函数，是奇函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题
9．已知a，b，，则下列说法中正确的是( )
A.
B.，
C.，
D.，
10．已知，则( )
A.
B.
C.
D.当，
11．已知函数，下列说法正确的是( )
A.当时，为偶函数
B.存在实数a，使得为奇函数
C.当时，取得最小值
D.当时，方程可能有三个实数根
三、填空题
12．已知函数的图像如图所示，则____________.
13．已知，是，则m的值为____________.
14．是定义在R上的奇函数，且当时，.若在上有最大值，则实数b的取值范围为____________.
四、解答题
15．计算下列各式的值：
(1)
(2).
16．已知，.
(1)若，求；
(2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答
问题：若__________，求实数a的取值范围
17．如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设米
(1)要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内；
(2)要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？
18．设函数.
(1)若关于x的不等式有实数解，求实数a的取值范围；
(2)若不等式对于实数时恒成立，求实数x的取值范围；
(3)解关于x的不等式：.
19．黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用黎曼函数定义在上，.
(1)请用描述法写出满足方程，的解集；（直接写出答案即可）
(2)解不等式；
(3)探究是否存在非零实数k，b，使得为偶函数？若存在，求k，b应满足的条件；若不存在，请说明理由
参考答案
1．答案：B
解析：因为，，
所以.
故选：B.
2．答案：D
解析：命题，为全称量词命题，
其否定为：，.
故选：D
3．答案：C
解析：由于，
则成立，
等价于成立，
充分性：若，且a，b，，
则，，则，
所以成立，满足充分性；
必要性：若，则成立，
其中a，b，，且，
则可得成立，
即成立，满足必要性；
故选：C.
4．答案：C
解析：取2024年是第1年，
根据题意得第n年该高校全年投入的科研经费为，
令，
即，即，
两边取对数可得：，
即，
则，
则第4年，即2027年该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元
故选：C.
5．答案：A
解析：
当且仅当,取等号,
即,结合,
可得，时,取得最小值5.
故选:A.
6．答案：C
解析：①时，，值域为，满足题意；
②时，若的值域为，
则，
解得，
综上，.
故选：C.
7．答案：A
解析：∵奇函数，∴，
则，即，
∵为偶函数，∴，
∴，，
∴，，
则，
故选：A.
8．答案：A
解析：函数，分别是R上偶函数，奇函数，
由，
得，
即，
解得，
对于任意，，
则，而，，因此，
所以实数a的取值范围是.
故选：A
9．答案：ABC
解析：对于A，当时，；
当时，，则，
综上，，故A正确；
对于B，，，故B正确；
对于C，∵是R上的增函数，
∴，
又，
∴，即，故C正确；
对于D，取，
满足，，
但，，故D错误
故选：ABC.
10．答案：ACD
解析：因为，
所以，即，故A正确；
所以，，，故B错误；
所以，故C正确；
当时，，
所以，故D正确
故选：ACD.
11．答案：AC
解析：函数定义域为R.
当时，，
，
则为偶函数，故A正确；
当时，，
，
函数不可能为奇函数，
当时，，
则，函数不可能为奇函数，
则不存在实数a，使得为奇函数，故B错误；
因为，
所以
当时，时，函数单调递增，
所以最小值为，
时，函数单调递减，所以，
所以函数的最小值为，故C正确；
若时，函数在上递减，
在上递增，方程最多有2个根，
若时，函数在上递减，在上递增，
方程最多有2个根，
所以方程不可能有三个实数根，故D错误
故选：AC.
12．答案：-1
解析：由函数图象知，.
故答案为：-1
13．答案：
解析：，，
，，
，
，
故答案为：.
14．答案：
解析：∵是定义在R上的奇函数，
∴，
∴，得，
若，则，
则，
所以
作出函数的图像，如图所示
当时，，
由图知在区间上有最大值，满足题意；
当时，，
由图知在区间上无最大值，不满足题意；
当时，由图知在区间上有最大值，满足题意
综上，实数b的取值范围为.
15．答案：(1)3
(2)4
解析：(1)结合题意可得：
;
(2)结合题意可得：
.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由
得：，即；
当时，由
得：，即，
，
.
(2)由(1)知：；
若选条件①，，
若，则，即；
当时，，不合题意；
当时，，则，解得：；
当时，，则，解得：（舍）；
综上所述：实数a的取值范围为；
若选条件er5，，；
当时，，不合题意；
当时，，
则，解得：；
当时，，
则，解得：（舍）；
综上所述：实数a的取值范围为；
若选条件③，，；
当时，，不合题意；
当时，，
则，解得：；
当时，，
则，解得：（舍）；
综上所述：实数a的取值范围为.
17．答案：(1)
(2)米时，用料最省
解析：(1)由，可得，
则，则，
花坛AMPN面积等于，
由题意，可得，
即，
解得或，
所以AN的长应在范围内
(2)根据题意，可得扩建部分面积，
令，
可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
即米时，用料最省
18．答案：(1)
(2)
(3)分类求解，答案见解析
解析：(1)依题意，有实数解，
即不等式有实数解，
当时，有实数解，则，
当时，取，
则成立，
即有实数解，于是得，
当时，二次函数的图像开口向下，
要有解，
当且仅当，
从而得，
综上，，
所以实数a的取值范围是；
(2)不等式对于实数时恒成立，
即，
显然，
函数在上递增，
从而得，
即，解得，
所以实数x的取值范围是；
(3)不等式，
当时，，
当时，不等式可化为，
而，解得，
当时，不等式可化为，
当，即时，，
当，即时，或，
当，即时，或，
所以，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为.
19．答案：(1)q为大于1的正整数
(2)
(3)存在，，
解析：(1)依题意，，
当时，，则方程无解，
当x为内的无理数时，，
则方程无解，
当(为既约真分数)时，
则，q为大于1的正整数，
则由方程，解得，q为大于1的正整数，
综上，方程，的解集为q为大于1的正整数.
(2)若或或x为内无理数时，，
而，此时，
若(为既约真分数)，
则，q为大于1的正整数，
由，
得，解得，
又因为(为既约真分数)，
所以，
综上，不等式的解为.
(3)存在非零实数，
使得为偶函数，
即为偶函数，证明如下：
当或时，
有成立，满足，
当x为内的无理数时，也为内的无理数，
所以，
满足，
当(为既约真分数)，
则为既约真分数，
所以，
满足，
综上，对任意，
都有，
所以关于对称，
即，则为偶函数，
所以，存在非零实数，
使得为偶函数