备战2025年高考理科数学考点一遍过学案考点15 三角函数的图象与性质（附解析）

这是一份备战2025年高考理科数学考点一遍过学案考点15 三角函数的图象与性质（附解析），共37页。学案主要包含了函数的图象与性质，三角函数的综合应用等内容，欢迎下载使用。
（1）能画出y=sin x，y =cs x，y = tan x的图象，了解三角函数的周期性.
（2）理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质（如单调性、 最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在区间内的单调性.
（3）了解函数的物理意义；能画出的图象，了解参数对函数图象变化的影响.
（4）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.
一、正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质
二、函数的图象与性质
1．函数的图象的画法
（1）变换作图法
由函数的图象通过变换得到（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.

（2）五点作图法
找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为：
①先确定最小正周期T=,在一个周期内作出图象；
②令,令X分别取0，,,,求出对应的x值，列表如下：
由此可得五个关键点；
③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图.
2．函数（A>0,ω>0）的性质
（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数.
（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T= .
（3）单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间.
（4）对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x.
利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.
3．函数（A>0,ω>0）的物理意义
当函数（A>0,ω>0,）表示一个简谐振动量时，则A叫做振幅，T=叫做周期，f =叫做频率,叫做相位，x=0时的相位叫做初相.
三、三角函数的综合应用
（1）函数，的定义域均为；函数的定义域均为.
（2）函数，的最大值为，最小值为；函数的值域为.
（3）函数，的最小正周期为；函数的最小正周期为．
（4）对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数．
（5）函数的单调递增区间由不等式
来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定．
【注】函数，，（有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把化为正数后再求解．
（6）函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称中心为.
【注】函数，的图象与轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于轴的直线都为对称轴. 函数的图象与轴的交点和渐近线与轴的交点都为对称中心，无对称轴.
考向一 三角函数的图象变换
函数图象的平移变换解题策略
（1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acs(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.
（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.
典例1 将函数f(x)=2sin(2x+π3)图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g(x)的图象，则在g(x)图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为
A．x=-π24 B．x=π4
C．x=5π24 D．x=π12
【答案】A
【解析】将函数fx=2sin2x+π3的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到y=2sin4x+π3的图象，
再将所得图象向左平移π12个单位得到函数gx的图象，
即gx=2sin4x+π12+π3=2sin4x+2π3，
由4x+2π3=π2+kπ,k∈Z，得x=14kπ-π24,k∈Z，
则当k=0时，离原点最近的对称轴方程为x=-π24，故选A．
【名师点睛】（1）进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身；要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量而言的，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
1．要得到函数y＝sin（2x+）的图象，只需将函数y＝cs（2x﹣）的图象上所有点
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
考向二 确定三角函数的解析式
结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法
（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.
（2）求ω，已知函数的周期T，则.
（3）求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ=；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=；“第五点”为ωx＋φ=2π.
典例2已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,φ0，故A=2.
周期，
又T=2πω=π，∴ω=2.
∴fx=2sin2x+φ,fπ3=2sin2π3+φ=2,
∵φ0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω0)的最小正周期为π，且f(θ)=12，则f(θ+π2)=
A．-52 B．-92
C．-112 D．-132
8．已知，是奇函数，直线与函数的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则
A．在上单调递减B．在上单调递减
C．在上单调递增D．在上单调递增
9．已知实数，函数的定义域为，若该函数的最大值为1，则的值为__________．
10．已知函数f(x)=sinx，g(x)=sin(π2-x)，直线x=m与f(x)、g(x)的图象分别交于M、N 两点，则|MN|的最大值是________．
11．将函数fx=2sin2x+φφ