河北省唐山市丰润区2024-2025学年九年级（上）期中 数学试卷（解析版）

这是一份河北省唐山市丰润区2024-2025学年九年级（上）期中 数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，
故选：D．
2. 一元二次方程的根是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D.
【答案】A
【解析】解：∵，
∴，
∴或，
∴．
故选A．
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵y＝5（x＋2）2−3，
∴其顶点坐标为（−2，−3），
故选：D．
4. 关于方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断
【答案】C
【解析】解：∵，
∴，
∴方程没有实数根；
故选C．
5. 在平面直角坐标系中，将函数y＝－x2的图像先向右平移1个单位，再向上平移5个单位后，得到的图像的函数表达式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】二次函数图象的平移规律：对于，函数图象向右（或向左）平移h个单位得到的图象的函数表达式为（或）；函数图象向上（或向下）平移k个单位得到的图象的函数表达式为（或）
则所求的函数表达式为
故选：B．
6. 方程的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：，
，
，
.
故选：B
7. 对于抛物线，下列说法正确是（ ）
A. 抛物线开口向上
B. 当时，y随x增大而减小
C. 函数最小值为﹣2
D. 顶点坐标为（1，﹣2）
【答案】B
【解析】解：抛物线解析式可知，
A、由于，故抛物线开口方向向下，选项不符合题意；
B、抛物线对称轴为，结合其开口方向向下，可知当时，y随x增大而减小，选项说法正确，符合题意；
C、由于抛物线开口方向向下，故函数有最大值，且最大值为-2，选项不符合题意；
D、抛物线顶点坐标为（-1，-2），选项不符合题意．
故选：B．
8. 如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（ ）
A. 把△ABC向右平移6格
B. 把△ABC向右平移4格，再向上平移1格
C. 把△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格
D. 把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移6格
【答案】D
【解析】观察图象可知，先把△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转，然后再向右平移即可得到．
根据图象，△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转与△DEF形状相同，向右平移6格就可以与△DEF重合．
9. 如图是二次函数的部分图象，则的解的情况为（ ）
A. 有唯一解B. 有两个解C. 无解D. 无法确定
【答案】C
【解析】根据图象可知抛物线顶点的纵坐标为-3,
把转化为
抛物线开口向下有最小值为-3
∴（-3）>(-4)即方程与抛物线没有交点.
即方程无解.
故选C.
10. 如图，在直角坐标系中，△A′B′C′是由△ABC绕点P旋转一定的角度而得，其中A（1，4），B（0，2），C（3，0），则旋转中心点P的坐标是( )．
A. （5，1）B. （5，0）C. （4，1）D. （4，0）
【答案】B
【解析】如图所示，点P的坐标是（5，0）．
故选B.
11. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成判断一元二次方程根的情况，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成判断．过程如下图所示：

接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A. 只有甲B. 甲和乙C. 乙和丙D. 乙和丁
【答案】B
【解析】解：方程化为一般式为，
，所以甲出现错误，
，所以乙出现错误．
故选：B．
12. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，
∴点Q运动到点C的时间为4÷2=2秒．
由题意得，当0≤t≤2时，即点P在AB上，点Q在BC上，AP=t，BQ=2t，
，为开口向上的抛物线的一部分．
当2＜t≤4时，即点P在AB上，点Q在DC上，AP=t，AP上的高为4，
，为直线（一次函数）的一部分．
观察所给图象，符合条件的为选项D．故选D．
二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，16题第一空2分第二空1分，共12分）
13. 若α，β是方程的两个根，则的值为_____．
【答案】1
【解析】解：由题意，得：；
故答案为：1．
14. 某中学的九年级篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛15场，则参加比赛的球队有_____支．
【答案】6
【解析】解：设参加比赛的球队有支，由题意，得：
，
解得：或（舍去）；
答：参加比赛的球队有支；
故答案为：6
15. 如图，武汉晴川桥可以近似地看作抛物线，桥拱和路面之间用等距的9根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，这些钢索中最短的一根长8.1米，那么这些钢索中最长的一根长_____米．
【答案】22.5
【解析】解：以所在直线为轴，点为坐标原点，建立直角坐标系，如图：
由题意，得：抛物线过点，
设抛物线的解析式为：，把代入，得：
，
解得：，
∴，
∴当时，有最大值为22.5，
∴这些钢索中最长的一根长为22.5米；
故答案为：22.5
16. 如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上．
（1）是等腰三角形吗？_____（选填“是”或“否”）；
（2）若，则_____度．
【答案】 ①. 是 ②.
【解析】解：（1）∵旋转，
∴，
∴是等腰三角形；
故答案为：是；
（2）由图可知：，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∵旋转，
∴；
故答案为：．
三、解答题（本大题有8个小题，共64分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程
（1）；
（2）.
解：（1），
∴，，，
，
∴，
∴，；
（2），
整理得，
因式分解得，
∴或，
∴，．
18. 如图，二次函数经过点．
（1）求该二次函数的解析式，并写出顶点坐标；
（2）利用图象的特点填空：
①方程的解为_____；
②不等式的解集为_____．
解：（1）∵二次函数经过点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为；
，
∴顶点坐标为；
（2）①，
∴对称轴为直线，
∵二次函数经过点C0,-3，
∴二次函数也经过点，
∴方程的解为，；
故答案为：，；
②观察函数图象，不等式的解集为或．
故答案为：或．
19. 杭州第19届亚运会于2023年9月23日举行．某商场销售亚运会文化衫，每件进价为50元，试销售期间发现，销售定价为55元时，平均每天可售出210件，销售定价每上涨1元，销售量就减少3件．
（1）当每件文化衫的售价为58元时，平均每天售出_____件文化衫，每天的销售利润_____元．
（2）设每件文化衫的售价上涨元．
①平均每天售出_____件文化衫（用含的代数式表示）．
②若每天的销售利润恰好为2700元，且每件获利不超过，求的值．
解：（1）（件）；
（元）；
故答案为：201，1608
（2）①平均每天售出件文化衫；
故答案为：；
②由题意，的：，
解得：，；
不符合题意．
．
20. 如图，在中，．
（1）将向右平移4个单位长度，画出平移后的；
（2）画出关于轴对称的；
（3）将绕原点旋转，画出旋转后；
（4）与关于点对称，则点的坐标为_____．
解：（1）如图所示；
（2）如图所示；
（3）如图所示；
（4）连接，和，
由图可得，，，，，，，
∵的中点为2,0，的中点为2,0，的中点为2,0，
∴与呈中心对称，
∴对称中心为．
故答案为：．
21. 某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定时，矩形的面积与边长函数关系式的图象．请将他们的探究过程补充完整．
（1）列函数表达式：若矩形的周长为8，设矩形的一边长为，面积为，则有_____；
（2）上述函数表达式中，自变量的取值范围是_____；
（3）列表：
写出_____；
（4）画图：在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点，请你画出该函数的图象．请你根据以上过程猜想矩形面积的最大值应是_____．用所学的函数知识验证你的猜想．
解：（1）设矩形的一边长为，面积为，则另一边长为，
∴．
故答案为：；
（2）由题意得，，则，
∴自变量x的取值范围是．
故答案为：；
（3）时，，
故答案为：；
（4）函数图象如图所示：
由图象可知矩形面积的最大值应是4．
∵，，
∴当时，y有最大值，最大值为4．
22. 如图，点M，N分别在正方形的边上，且．把绕点A顺时针旋转得到，此时E，B，M共线．

（1）求证：．
（2）若正方形的边长为6，，求的长．
解：（1）证明：由旋转的性质得：，
四边形是正方形，
，即，
，即，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：由旋转的性质可得，
由（1）得，
∴，
设，则，
∵四边形是边长为6的正方形，
∴，
∴
在中，由勾股定理得，
∴
解得，
∴．

23. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求；
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
解：（1）根据题意知平行于墙的一边的长为米，
则有：，
∴，
解得：，
当时，，不符合题意，故舍去，
当时，，
则当苗圃园的面积为72平方米时，．
（2）设苗圃园的面积为y，
∴
，
∵，
∴苗圃园的面积y有最大值，
∵，且，
解得：，
∴，
∴当时，y取得最大值，此时平方米；
当时，平方米．
24. 《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：
【问题】
如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x-2)2-4经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= ，点A的坐标为 ．
【操作】
将图①中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式： ．
【探究】
在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数y随x的增大而增大时，x的取值范围是 ．
【应用】结合上面的操作与探究，继续思考：
如图③，若抛物线y=(x-h)2-4与x轴交于A，B两点（A在B左），将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象．
（1）求A、B两点的坐标；（用含h的式子表示）
（2）当1＜x＜2时，若新图象的函数值y随x的增大而增大，求h的取值范围．

解：［问题］：把代入抛物线，得 ，解得，
令，解得： ，
二次函数与轴的另一个交点的坐标为： ，
故答案为 ；
［操作］抛物线的顶点坐标为：，
翻折后抛物线开口向下，顶点坐标为：，
故翻折后这部分抛物线对应的函数解析式为：，
故答案为；
［探究］：根据图象呈上升趋势的部分，即随增大而增大时，
的取值范围为： 或；
［应用］：令解得：
故点的坐标为：；
当时，新图象函数值随增大而增大，
则： 或，
解得：或．
x
…
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
…
y
…
1.75
3
3.75
4
3.75
3
m
…