2019-2020学年河北省唐山市丰润区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2019-2020学年河北省唐山市丰润区九年级（上）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年河北省唐山市丰润区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填在括号内）
1．（3分）方程x（x﹣1）＝0的根是（　　）
A．0 B．1 C．0或1 D．无解
2．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列抛物线中，顶点坐标是（﹣2，0）的是（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2
4．（3分）一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝50°，则∠ACB的大小为（　　）

A．40° B．30° C．45° D．50°
6．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x+3先沿水平方向向右平移1个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，则得到的新抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2+3 B．y＝（x﹣2）2+5 C．y＝x2﹣1 D．y＝x2+4
7．（3分）如图，圆锥的高AO为12，母线AB长为13，则该圆锥的侧面积等于（　　）

A．65π B．60π C．30π D．78π
8．（3分）连续四次抛掷一枚硬币都是正面朝上，则“第五次抛掷正面朝上”是（　　）
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．概率为1的事件
9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（　　）
A．4，﹣2 B．﹣4，﹣2 C．4，2 D．﹣4，2
10．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝135°，则的长（　　）

A．2π B．π C． D．
11．（3分）如图，AB为⊙O的直径，PD是⊙O的切线，点C为切点，PD与AB的延长线相交于点D，连接AC，若∠D＝2∠CAD，CD＝2，则BD的长为（　　）

A．2﹣2 B．2﹣ C．2﹣1 D．﹣1
12．（3分）已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2＝kx+n（k≠0）的图象如图所示，下面有四个推断：
①二次函数y1有最大值
②二次函数y1的图象关于直线x＝﹣1对称
③当x＝﹣2时，二次函数y1的值大于0
④过动点P（m，0）且垂直于x轴的直线与y1，y2的图象的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，m的取值范围是m＜﹣3或m＞﹣1．
其中正确的是（　　）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分
13．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则m的取值范围是　 　．
14．（3分）将二次函数y＝x2﹣2x﹣5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝　 　．
15．（3分）正六边形的边长为10m，那么它的边心距等于　 　．
16．（3分）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m＝　 　．
17．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，使点D落在射线CA上，DE的延长线交BC于F，则∠CFD的度数为　 　．

18．（3分）小强掷两枚质地均匀的骰子，每个骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则两枚骰子点数相同的概率为　 　．
19．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ABD＝42°，则∠BCD的度数是　 　．

20．（3分）如图，P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y＝0相切时，点P的坐标为　 　．

三、解答题（本大题共7个小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（7分）解方程：（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0．
22．（7分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD＝10，EM＝25．求⊙O的半径．

23．（8分）如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．
（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；
（2）求两个数字的积为奇数的概率．

24．（8分）如图所示，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，弦BC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD．
（1）求直径AB的长．
（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．

25．（9分）一批单价为20元的商品，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数．
（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？
26．（9分）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED＝∠C．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）求证：ED平分∠BEP．

27．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣6，0），B（2，0），C（0，﹣6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．


2019-2020学年河北省唐山市丰润区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填在括号内）
1．（3分）方程x（x﹣1）＝0的根是（　　）
A．0 B．1 C．0或1 D．无解
【分析】解一元二次方程时，需要把二次方程化为两个一元一次方程，此题可化为：x＝0或x﹣1＝0，解此两个一次方程即可．
【解答】解：∵x（x﹣1）＝0
∴x＝0或x﹣1＝0
∴x1＝0，x2＝1．
故选：C．
【点评】此题虽不难，但是告诉了学生求解的一个方法，高次的要化为低次的，多元得要化为一元的．
2．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项正确；
D、是中心对称图形，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）下列抛物线中，顶点坐标是（﹣2，0）的是（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2
【分析】可设其顶点式，结合选项可求得答案．
【解答】解：
∵抛物线顶点坐标是（﹣2，0），
∴可设其解析式为y＝a（x+2）2，
∴只有选项C符合，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
4．（3分）一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用概率公式求解．
【解答】解：从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
5．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝50°，则∠ACB的大小为（　　）

A．40° B．30° C．45° D．50°
【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOB的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出∠ACB的度数．
【解答】解：△AOB中，OA＝OB，∠ABO＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO＝80°，
∴∠ACB＝∠AOB＝40°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆周角定理的应用，涉及到的知识点还有：等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．
6．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x+3先沿水平方向向右平移1个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，则得到的新抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2+3 B．y＝（x﹣2）2+5 C．y＝x2﹣1 D．y＝x2+4
【分析】首先配方得出二次函数顶点式，进而利用二次函数平移规律得出答案．
【解答】解：y＝x2﹣2x+3
＝（x﹣1）2+2，
则将抛物线y＝x2﹣2x+3先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，
得到的新的抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2+5．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，正确利用配方法求出二次函数顶点式的形式是解题关键．
7．（3分）如图，圆锥的高AO为12，母线AB长为13，则该圆锥的侧面积等于（　　）

A．65π B．60π C．30π D．78π
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径OB＝5，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【解答】解：在Rt△AOB中，OA＝12，AB＝13，
所以OB＝＝5，
所以该圆锥的侧面积＝×2π•5•13＝60π．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
8．（3分）连续四次抛掷一枚硬币都是正面朝上，则“第五次抛掷正面朝上”是（　　）
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．概率为1的事件
【分析】根据随机事件的定义即可判断．
【解答】解：“第五次抛掷正面朝上”是随机事件．
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（　　）
A．4，﹣2 B．﹣4，﹣2 C．4，2 D．﹣4，2
【分析】根据题意，利用根与系数的关系式列出关系式，确定出另一根及m的值即可．
【解答】解：由根与系数的关系式得：2x2＝﹣8，2+x2＝﹣m＝﹣2，
解得：x2＝﹣4，m＝2，
则另一实数根及m的值分别为﹣4，2，
故选：D．
【点评】此题考查了根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
10．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝135°，则的长（　　）

A．2π B．π C． D．
【分析】连接OA、OC，然后根据圆周角定理求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求解．
【解答】解：连接OA、OC，
∵∠B＝135°，
∴∠D＝180°﹣135°＝45°，
∴∠AOC＝90°，
则的长＝＝π．
故选：B．

【点评】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式L＝．
11．（3分）如图，AB为⊙O的直径，PD是⊙O的切线，点C为切点，PD与AB的延长线相交于点D，连接AC，若∠D＝2∠CAD，CD＝2，则BD的长为（　　）

A．2﹣2 B．2﹣ C．2﹣1 D．﹣1
【分析】直接利用切线的性质得出∠OCD＝90°，进而利用三角形外角的性质得出∠D＝∠COD，再利用勾股定理得出DO的长，即可得出答案．
【解答】解：连接CO，
∵PD是⊙O的切线，点C为切点，
∴∠OCD＝90°，
∵AO＝CO，
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠COD＝2∠CAD，
∵∠D＝2∠CAD，
∴∠COD＝∠D，
∴CO＝DO＝2，
∴DO＝2，
∴BD＝2﹣2．
故选：A．

【点评】此题主要考查了切线的性质以及勾股定理、等腰三角形的性质等知识，正确得出DO的长是解题关键．
12．（3分）已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2＝kx+n（k≠0）的图象如图所示，下面有四个推断：
①二次函数y1有最大值
②二次函数y1的图象关于直线x＝﹣1对称
③当x＝﹣2时，二次函数y1的值大于0
④过动点P（m，0）且垂直于x轴的直线与y1，y2的图象的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，m的取值范围是m＜﹣3或m＞﹣1．
其中正确的是（　　）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】根据函数的图象即可得到结论．
【解答】解：∵二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的开口向上，
∴二次函数y1有最小值，故①错误；
观察函数图象可知二次函数y1的图象关于直线x＝﹣1对称，故②正确；
当x＝﹣2时，二次函数y1的值小于0，故③错误；
当x＜﹣3或x＞﹣1时，抛物线在直线的上方，
∴m的取值范围为：m＜﹣3或m＞﹣1，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及函数图象，熟练运用二次函数图象上点的坐标特征求出二次函数解析式是解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分
13．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则m的取值范围是　m≤1　．
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：△＝4﹣4m≥0，
∴m≤1，
故答案为：m≤1
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
14．（3分）将二次函数y＝x2﹣2x﹣5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝　（x﹣1）2﹣6　．
【分析】利用配方法整理即可得解；
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣5＝x2﹣2x+1﹣6
＝（x﹣1）2﹣6，
故答案为：（x﹣1）2﹣6．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式的转化，二次函数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．
15．（3分）正六边形的边长为10m，那么它的边心距等于　5m　．
【分析】首先分析出正多边形的内切圆的半径即为每个边长为a的正三角形的高，从而构造直角三角形即可解．
【解答】解：边长为10m的正六边形可以分成六个边长为10m的正三角形，
而正多边形的边心距即为每个边长为10m的正三角形的高，
所以正多边形的边心距等于10×sin60°＝5（m）．
故答案为：5m．
【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算．
16．（3分）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m＝　6　．
【分析】根据m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，通过变形可以得到2m2﹣4m值，本题得以解决．
【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，
∴2m2﹣4m＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
17．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，使点D落在射线CA上，DE的延长线交BC于F，则∠CFD的度数为　90°　．

【分析】由旋转的性质可得∠B＝∠D，由直角三角形的性质和外角的性质可求∠BFE＝90°，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，
∴∠B＝∠D，
∵∠B+∠C＝90°，
∴∠BFE＝∠C+∠D＝90°，
∴∠CFD＝90°，
故答案为：90°．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
18．（3分）小强掷两枚质地均匀的骰子，每个骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则两枚骰子点数相同的概率为　　．
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两枚骰子点数相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：列表得：
（1，6）
（2，6）
（3，6）
（4，6）
（5，6）
（6，6）
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
（5，5）
（6，5）
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
（5，4）
（6，4）
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
（5，3）
（6，3）
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
（5，2）
（6，2）
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
（6，1）
由表可知一共有36种情况，两枚骰子点数相同的有6种，
所以两枚骰子点数相同的概率＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法求随机事件的概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（3分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ABD＝42°，则∠BCD的度数是　132°　．

【分析】首先连接AD，由直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB＝90°，继而求得∠A的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得答案．
【解答】解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝42°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝48°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝132°．
故答案为132°．
【点评】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
20．（3分）如图，P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y＝0相切时，点P的坐标为　（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）　．

【分析】⊙P与直线y＝0相切时就是：⊙P与x轴相切，半径为1个单位长度，即点P的纵坐标|y|＝1，根据P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，代入计算出x的值，并写出点P的坐标，一共有3种可能．
【解答】解：当y＝1时，x2﹣4x+3＝1，
解得：x＝2±，
∴P（2+，1）或（2﹣，1），
当y＝﹣1时，x2﹣4x+3＝﹣1，
解得：x1＝x2＝2，
∴P（2，﹣1），
则点P的坐标为：（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）．

【点评】本题考查了切线的性质，并与二次函数相结合，首先理解圆的半径和点P的纵坐标有关，且点P又在抛物线上，x、y的值满足解析式，所以列一元二次方程可求解．
三、解答题（本大题共7个小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（7分）解方程：（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0．
【分析】方程的左边提取公因式x﹣3，即可分解因式，因而方程利用因式分解法求解．
【解答】解：原式可化为：（x﹣3）（x﹣3+4x）＝0
∴x﹣3＝0或5x﹣3＝0
解得．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
22．（7分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD＝10，EM＝25．求⊙O的半径．

【分析】根据垂径定理得出EM⊥CD，则CM＝DM＝5，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，进而可求得半径OC．
【解答】解：如图，连接OC，
∵M是弦CD的中点，EM过圆心O，
∴EM⊥CD．
∴CM＝MD．
∵CD＝10，
∴CM＝5．
设OC＝x，则OM＝25﹣x，
在Rt△COM中，根据勾股定理，得
52+（25﹣x）2＝x2．
解得 x＝13．
∴⊙O的半径为13．

【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形．
23．（8分）如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．
（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；
（2）求两个数字的积为奇数的概率．

【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由两个数字的积为奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：

则共有12种等可能的结果；

（2）∵两个数字的积为奇数的4种情况，
∴两个数字的积为奇数的概率为：＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（8分）如图所示，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，弦BC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，连AD．
（1）求直径AB的长．
（2）求阴影部分的面积（结果保留π）．

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角推知∠ACB＝90°，然后在直角三角形ABC中利用边角关系、勾股定理来求直径AB的长度；
（2）连接OD．利用（1）中求得AB＝4可以推知OA＝OD＝2；然后由角平分线的性质求得∠AOD＝90°；最后由扇形的面积公式、三角形的面积公式可以求得
阴影部分的面积＝S扇形△AOD﹣S△AOD．
【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴AB＝2AC，
∵AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AB2+62，
∴AB＝4．
（2）连接OD．
∵AB＝4，
∴OA＝OD＝2，
∵CD平分∠ACB，∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，
∴S△AOD＝OA•OD＝•2•2＝6，
∴S扇形△AOD＝•π•OD2＝•π•（2）2＝3π，
∴阴影部分的面积＝S扇形△AOD﹣S△AOD＝3π﹣6．

【点评】本题综合考查了圆周角定理、含30度角的直角三角形以及扇形面积公式．解答（2）题时，采用了“数形结合”的数学思想．
25．（9分）一批单价为20元的商品，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数．
（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？
【分析】（1）设y与x满足的函数关系式为：y＝kx+b．，由题意可列出k和b的二元一次方程组，解出k和b的值即可；
（2）根据题意：每天获得的利润为：P＝（﹣3x+108）（x﹣20），转换为P＝﹣3（x﹣28）2+192，于是求出每天获得的利润P最大时的销售价格．
【解答】解：（1）设y与x满足的函数关系式为：y＝kx+b．
由题意可得：，
解得．
故y与x的函数关系式为：y＝﹣3x+108．

（2）每天获得的利润为：P＝（﹣3x+108）（x﹣20）＝﹣3x2+168x﹣2160＝﹣3（x﹣28）2+192．
故当销售价定为28元时，每天获得的利润最大．
【点评】本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及最值得求法，此题难度不大．
26．（9分）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED＝∠C．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）求证：ED平分∠BEP．

【分析】（1）连接OE，如图，利用圆周角定理得到∠CED＝90°，即∠CEO+∠OED＝90°，加上∠C＝∠CEO，∠PED＝∠C．则∠PED+∠OED＝90°，即∠OEP＝90°，然后根据切线的性质定理可判定PE是⊙O的切线；
（2）利用圆周角定理得到∠AEB＝90°，再利用AE∥CD得到∠EFD＝90°，接着利用等角的余角相等可判断∠FED＝∠C，所以∠PED＝∠FED．
【解答】证明：（1）连接OE，如图，
∵CD为直径，
∴∠CED＝90°，即∠CEO+∠OED＝90°，
∵OC＝OE，
∴∠C＝∠CEO，
∴∠C+∠OED＝90°，
∵∠PED＝∠C．
∴∠PED+∠OED＝90°，即∠OEP＝90°，
∴OE⊥PE，
∴PE是⊙O的切线；
（2）∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
而AE∥CD，
∴∠EFD＝90°，
∴∠FED+∠EDF＝90°，
而∠C+∠EDC＝90°，
∴∠FED＝∠C，
∴∠PED＝∠FED，
∴ED平分∠BEP．

【点评】本题考查了切线的性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了圆周角定理．
27．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣6，0），B（2，0），C（0，﹣6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；
（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，设P点坐标为（x，x2+2x﹣6），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PAC＝S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论；
（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣6，0），B（2，0），C（0，﹣6），
∴，解得．
∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣6；

（2）如图，过点P作x轴的垂线，交AC于点N．
设直线AC的解析式为y＝kx+m，由题意，得
，解得，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣6．
设P点坐标为（x，x2+2x﹣6），则点N的坐标为（x，﹣x﹣6），
∴PN＝PE﹣NE＝﹣（x2+2x﹣6）+（﹣x﹣6）＝﹣x2﹣3x．
∵S△PAC＝S△PAN+S△PCN，
∴S＝PN•OA＝×6（﹣x2﹣3x）＝﹣（x+3）2+，
∴当x＝﹣3时，S有最大值，此时点P的坐标为（﹣3，﹣）；

（3）在y轴上是存在点M，能够使得△ADM是直角三角形．理由如下：
∵y＝x2+2x﹣6＝（x+2）2﹣8，
∴顶点D的坐标为（﹣2，﹣8），
∵A（﹣6，0），
∴AD2＝（﹣2+6）2+（﹣8﹣0）2＝80．
设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：
①当A为直角顶点时，如图3①，
由勾股定理，得AM2+AD2＝DM2，
即（0+6）2+（t﹣0）2+80＝（0+2）2+（t+8）2，
解得t＝3，
所以点M的坐标为（0，3）；
②当D为直角顶点时，如图3②，
由勾股定理，得DM2+AD2＝AM2，
即（0+2）2+（t+8）2+80＝（0+6）2+（t﹣0）2，
解得t＝﹣7，
所以点M的坐标为（0，﹣7）；
③当M为直角顶点时，如图3③，
由勾股定理，得AM2+DM2＝AD2，
即（0+6）2+（t﹣0）2+（0+2）2+（t+8）2＝80，
解得t＝﹣2或﹣6，
所以点M的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣6）；
综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，3）或（0，﹣7）或（0，﹣2）或（0，﹣6）．




【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
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日期：2020/12/13 15:52:57；用户：13784622801；邮箱：13784622801；学号：37960971