备战2025年高考理科数学考点一遍过学案考点24 数列的综合应用（附解析）

这是一份备战2025年高考理科数学考点一遍过学案考点24 数列的综合应用（附解析），共32页。学案主要包含了等差、等比数列的综合应用，数列与函数、不等式等的综合应用，等差、等比数列的实际应用，数列中的探索性问题，数列的求和等内容，欢迎下载使用。
能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.
对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法．
考向一 等差、等比数列的综合应用
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系：
（1）如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；
（2）如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列各自的特征进行求解．
典例1 已知各项均为正数的数列是公差为2的等差数列，若数列成等比数列，则
A．27B．81
C．D．
【答案】D
【解析】由成等比数列，得，又因为正数的数列是公差为2的等差数列，所以，解得或（舍去），所以，
因为数列成等比数列，设其公比为，则，
所以，所以.故选D．
【名师点睛】本题考查了等比、等差数列的通项公式的应用，属于基础题.求解时，由成等比数列，结合是公差为2的等差数列，得，进而求出，即可得答案.
典例2 已知等差数列中，.
（1）设，求证：数列是等比数列；
（2）求的前项和.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由，可得，即.
又由，可得.
故，
依题意，，
因为（常数），
故是首项为4，公比的等比数列.
（2）因为的前项和为，
的前项和为，
故的前项和为.
【名师点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，以及等差、等比数列的求和的应用，其中熟记等差、等比数列的通项公式和求和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.求解本题时，（1）设的公差为，由题意求得，即可求得数列的通项公式，进而得到数列的通项公式，利用等比数列的定义，即可作出证明；（2）由（1）可得的前项和和的前项和，即可得到数列的前项和.
1．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为．若，，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和．
考向二 数列与函数、不等式等的综合应用
1．数列可看作是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公式相当于函数的解析式，所以我们可以用函数的观点来研究数列．
解决数列与函数综合问题的注意点：
（1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点．
（2）转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题．
（3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化．
2．数列与不等式的综合问题是高考考查的热点．考查方式主要有三种：
（1）判断数列问题中的一些不等关系；
（2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；
（3）考查与数列问题有关的不等式的证明问题．
在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特点，例如在需要用到数列的单调性的时候，可以通过比较相邻两项的大小进行判断．在与不等式的证明相结合时，注意构造函数，结合函数的单调性来证明不等式．
典例3 已知函数的图象过点，且点在函数的图象上，又为等比数列，.
（1）求数列及的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求证：.
【答案】（1），；（2）见解析.
【解析】（1）函数的图象过点，
.
又点在函数的图象上，从而，即，
∴
公比
.
（2），
，
.
【名师点睛】本题考查了通过点在函数图象上求出函数解析式、以及考查求等比数列的通项公式、利用裂项相消法求数列的前项和.
2．已知数列为等比数列，数列为等差数列，且，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：.
考向三 等差、等比数列的实际应用
1．数列实际应用中的常见模型
①等差模型：增加或减少的量是一个固定的常数，是公差；
②等比模型：后一个量与前一个量的比是一个固定的常数，是公比；
③递推数列模型：题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，由此列递推关系式．
2．解答数列实际应用题的步骤
①审题：仔细阅读题干，认真理解题意；
②建模：将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题；
③求解：求出该问题的数学解；
④还原：将所求结果还原到实际问题中．
在实际问题中建立数学模型时，一般有两种途径：①从特例入手，归纳猜想，再推广到一般结论；②从一般入手，找到递推关系，再进行求解．
典例4 某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以后每年比上一年增加4万美元,每年销售蔬菜收入50万美元,设f(n)表示前n年的纯利润(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额).
（1）从第几年开始获得纯利润?
（2）若五年后,该台商为开发新项目,决定出售该厂,现有两种方案：①年平均利润最大时,以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时,以16万美元出售该厂.问哪种方案较合算?
【解析】由题意,知每年的经费构成了以12为首项,4为公差的等差数列,
则f(n)=50n-[12n+×4]-72=-2n2+40n-72.
（1）获得纯利润就是要求f(n)>0,即-2n2+40n-72>0,解得2