陕西省宝鸡市金台区2023-2024学年高二(上)期末质量检测数学试卷（解析版）

这是一份陕西省宝鸡市金台区2023-2024学年高二(上)期末质量检测数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，，以下结论中错误的是（ ）
A. 若三个数成等差数列，则
B. 若五个数成等差数列，则
C. 若三个数成等比数列，则
D. 若三个数成等比数列，则
【答案】C
【解析】对于A，若三个数成等差数列，则，故A不符合题意；
对于B，若五个数成等差数列，则，
且当时，即成等差数列，故B不符合题意；
对于CD，若三个数成等比数列，则，即，故C符合题意，D不符合题意.
故选：C.
2. 已知椭圆 的长轴长是短轴长的 倍，则实数 的值是（ ）
A B. 或C. D. 或
【答案】B
【解析】由椭圆，即，
所以或，所以或，
解得或．
选：B．
3. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】抛物线方程可化为，则，故抛物线准线方程为.
故选：A
4. 如图，在四面体中，，，，点M、 N分别在线段、上，且，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意
.
故选：A.
5. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角是
B. 若直线，则
C. 点到直线的距离是1
D. 过与直线平行的直线方程是
【答案】D
【解析】直线，直线的斜率为：，
所以直线的倾斜角为：，所以A不正确；
直线的斜率为：，两条直线不垂直，所以B不正确；
点到直线的距离是：，所以C不正确；
过与直线平行的直线方程是，正确，所以D正确；
故选：D．
6. 已知等比数列的前n项和为.且，，则（ ）
A. 16B. 19
C. 28D. 36
【答案】C
【解析】因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，，故.
故选：C.
7. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，…；该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若记此数列为，则以下结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意数列前六项为：1,1,2,3,5,8,故AB正确；
由题意
则可得：
，所以选项C正确，D错误；
故选：D
8. 若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若方程所表示的曲线为C，则（ ）
A. 曲线C可能是圆
B. 若，则C不一定是椭圆
C. 若C为椭圆，且焦点在x轴上，则
D. 若C为双曲线，且焦点在y轴上，则
【答案】ABC
【解析】对于AB，当时，曲线C的方程为，所以曲线C可能是圆，不一定是椭圆故AB正确；
对于C，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故C正确；
对于D，若C为双曲线，且焦点在y轴上，则，解得，故D错误.
故选：ABC.
10. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】由题意，，
，.
故选：AD.
11. 设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点.则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若点到焦点距离为3，则的坐标为.
C. 若，则的最小值为.
D. 过焦点作斜率为2的直线与抛物线相交于，两点，则
【答案】AC
【解析】抛物线，.
对于A，，，A正确；
对于B，设，，，的坐标为.B错误；
对于C,,C正确；
对于D，直线，联立，得：，,,D错误.
故选：AC.
12. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
【解析】在选项A中，∵，，，
且平面，
∴平面，平面，
∴，
同理，，
∵，且平面，
∴直线平面，故A正确；
在选项B中，
∵，平面，平面，
∴平面，
∵点在线段上运动，
∴到平面的距离为定值，
又的面积是定值，
∴三棱锥的体积为定值，故B正确；
在选项C中，
∵，
∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.
易知为等边三角形，
当为的中点时，；
当与点或重合时，直线与直线的夹角为.
故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；
在选项D中，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为1，
则，，，，
所以，.
由A选项正确：可知是平面的一个法向量，
∴直线与平面所成角的正弦值为：，
∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 焦点在轴上，，的椭圆的标准方程为__________.
【答案】
【解析】焦点在x轴上，，，
则，解得，
故故所求椭圆的方程为：．
故答案为：．
14. 等比数列中，，，则__________.
【答案】
【解析】设的公比为，因为，，
所以,解得,故.
故答案为：.
15. 曲线在点处的切线方程为__________.
【答案】
【解析】的导数为，
可得曲线在点处的切线斜率为，
则切线的方程为，即.
故答案为：．
16. 已知双曲线与直线相交于M、N两点，且M、N两点的纵坐标之积为，则该双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】联立方程组，消去，得，
由题意， ,得，
即双曲线，
故双曲线C的离心率.
故答案为：．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知等差数列的前3项和是24，前5项和是30.
（1）求这个等差数列的通项公式；
（2）若是的前n项和，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意设等差数列的首项、公差分别为，
则由题意，解得，
所以这个等差数列的通项公式为.
（2）由（1），所以，
而二次函数的对称轴为，开口向下，
所以当或时，的最大值为.
18. 在平面直角坐标系中，已知圆O：和圆．
（1）若圆O与圆C关于直线l对称，求直线l的方程；
（2）若圆O上恰有三个点到直线的距离都等于1，求b的值.
解：（1）由题意圆O：和圆
即关于直线l对称．
两式相减得，公共弦方程即直线l的方程为.
（2）圆O：的圆心为，半径为，
若圆O上恰有三个点到直线的距离都等于1，
则圆心到直线的距离等于1，
所以，解得.
19. 已知等比数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前n项和
解：（1）由题意设等比数列的首项为，公比为，且
所以，
又，所以解得，
所以数列的通项公式为.
（2）若，则，
数列的前n项和，
，
两式相减得
，
所以数列的前n项和.
20. 如图，已知点A(6,4)，AB⊥x轴于点B，E点是线段OA上任意一点，EC⊥AB于点C，ED⊥x轴于点D，OC与ED相交于点F，求点F的轨迹方程.
解：OA的方程为：，
设，所以，
可得，F在线段OC上，
所以，,得，整理得
F的轨迹方程为：.
21. 已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2.
（1）求双曲线的方程;
（2）若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率.
解：（1）因为双曲线的渐近线方程是，实轴长为2，
所以，，
所以双曲线的方程为；
（2）双曲线的渐近线方程为，由双曲线关于坐标轴的对称性可知，
若线段的中点为，则直线的斜率存在，
设为，且，，
可得直线的方程为，
与双曲线方程联立，
可得，
设，
则，
解得，经检验符合题意.
22. 在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，PD.
（1）证明：AB⊥PD.
（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
解：（1）连结BD，
∵在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形，
底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，PD.
∴BD＝AD，
∴AD2+PD2＝AP2，BD2+PD2＝PB2，
∴AD⊥PD，BD⊥PD，
∵AD∩BD＝D，∴PD⊥平面ABCD，
∵AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PD.
（2）∵AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，
以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（，0，0），B（0，，0），C（，0），P（0，0，），
（），（0，，），（，，），
设平面ABP的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，1，1），
设平面PBC的法向量，
则，
取，得（﹣1，1，1），
设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，
则二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：csθ.