安徽省六安市裕安区青山路初级中学 2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷-A4

这是一份安徽省六安市裕安区青山路初级中学 2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷-A4，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）。
1．（4分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）已知点P（x，y）在第四象限，且点P到x轴，y轴的距离分别为2，5．则点P的坐标为（ ）
A．（5，﹣2）B．（﹣2，5）C．（2，﹣5）D．（﹣5，2）
3．（4分）一次函数y＝3x+2的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（4分）一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝kbx，k，b是常数，且kb≠0的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．有两个锐角互余的三角形是直角三角形
C．全等三角形对应边相等
D．对顶角相等
6．（4分）如图，为估计湖岸边A、B两点之间的距离，小华在湖的一侧选取一点O，测得OA＝150米，OB＝100米，则A、B间的距离可能是（ ）
A．50米B．150米C．250米D．300米
7．（4分）如图，下列条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AB＝DC，AC＝DBB．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB
C．BO＝CO，∠A＝∠DD．AC＝BD，∠A＝∠D
8．（4分）如图所示，两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．72°B．60°C．58°D．50°
9．（4分）直线l上有三个正方形A、B、C放置如图所示，若正方形A、C的面积分别为1和12，则正方形B的面积为（ ）
A．11B．12C．13D．
10．（4分）在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝2，则AB的长度是（ ）
A．8B．6C．4D．2
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）。
11．（5分）在电影票上将“10排8号”前记为（10，8），那么（25，11）表示的意义是 ．
12．（5分）如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为6，则最后输出因变量y的值为 ．
13．（5分）如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠A+∠C的度数为 ．
14．（5分）如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为Vp＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝ s时，△PBQ为直角三角形．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分）。
15．（8分）已知平面直角坐标系中有一点M（m﹣1，2m+3）
（1）当m为何值时，点M到x轴的距离为1？
（2）当m为何值时，点M到y轴的距离为2？
16．（8分）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．
（1）求AE的长度；
（2）求∠AED的度数．
17．（8分）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣5，2），B（﹣3，1），C（﹣1，5），请按要求解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标为（ ， ）；
（2）平行于y轴的直线l经过（1，0），画出△ABC关于直线l对称的图形△A2B2C2，并写出A2的坐标为（ ， ）．
18．（8分）如图，已知直线y＝kx﹣3经过点M，求此直线与坐标轴围成的三角形的面积．
19．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E，已知∠ABE＝40°，求∠EBC的度数．
20．（10分）已知一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，﹣2）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）画出此一次函数的图象；
（3）判断点（3，5）是否在此函数的图象上．
21．（12分）如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A＝40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．
（1）求∠E的度数．
（2）请猜想∠A与∠E之间的数量关系，不用说明理由．
22．（12分）种植草莓大户张华现有22吨草莓等待出售，有两种销售渠道，一是运往省城直接批发给零售商，二是在本地市场零售，受客观因素影响，张华每天只能采用一种销售渠道，而且草莓必须在10天内售出（含10天）．经过调查分析，这两种销售渠道每天销量及每吨所获纯利润见下表：
（1）若一部分草莓运往省城批发给零售商，其余在本地市场零售，请写出销售22吨草莓所获纯利润y（元）与运往省城直接批发零售商的草莓量x（吨）之间的函数关系式；
（2）怎样安排这22吨草莓的销售渠道，才使张华所获纯利润最大？并求出最大纯利润．
23．（14分）（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E．求证：DE＝BD+CE；
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a，其中a为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，若a＝120°，且△ACF为等边三角形，试判断△DEF的形状，并说明理由．
2023-2024学年安徽省六安市裕安区青山路中学八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）。
1．（4分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）已知点P（x，y）在第四象限，且点P到x轴，y轴的距离分别为2，5．则点P的坐标为（ ）
A．（5，﹣2）B．（﹣2，5）C．（2，﹣5）D．（﹣5，2）
【分析】根据第四象限点的坐标符号和点P到x轴、y轴的距离可得答案．
【解答】解：点P（x，y）点在第四象限，且点P到x轴、y轴的距离分别为2、5，
则点P的坐标为（5，﹣2），
故选：A．
【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握到x轴的距离＝纵坐标的绝对值，到y轴的距离＝横坐标的绝对值．
3．（4分）一次函数y＝3x+2的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】一次函数y＝kx+b的图象经过第几象限，取决于k和b．当k＞0，b＞O时，图象过1，2，3象限，据此作答．
【解答】解：∵k＝3＞0，b＝2＞0，
∴直线y＝3x+2经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的k＞0，b＞0的图象性质．一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数和常数项．
4．（4分）一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝kbx，k，b是常数，且kb≠0的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y＝kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可得k•b的符号，从而判断y＝kbx的图象是否正确，进而比较可得答案．
【解答】解：根据一次函数的图象分析可得：
A、由一次函数y＝kx+b图象可知k＜0，b＞0；即kb＜0，与正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，矛盾，故此选项不可能；
B、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＜0；即kb＜0，与正比例函数y＝kbx的图象可知kb＞0，矛盾，故此选项不可能；
C、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＜0；即kb＜0，与正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，一致，故此选项有可能；
D、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0，b＞0；即kb＞0，与正比例函数y＝kbx的图象可知kb＜0，矛盾，故此选项不可能；
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象．
5．（4分）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．有两个锐角互余的三角形是直角三角形
C．全等三角形对应边相等
D．对顶角相等
【分析】根据平行线的判定与性质，可判断A；
根据直角三角形的判定与性质，可判断B；
根据全等三角形的判定与性质，可判断C；
对顶角的性质，可判断D．
【解答】解：A、“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”是真命题，故A不符合题意；
B、“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”的逆命题是“直角三角形两锐角互余”是真命题，故B不符合题意；
C、“全等三角形对应边相等”的逆命题是“三边对应相等的两个三角形全等”是真命题，故C不符合题意；
D、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．（4分）如图，为估计湖岸边A、B两点之间的距离，小华在湖的一侧选取一点O，测得OA＝150米，OB＝100米，则A、B间的距离可能是（ ）
A．50米B．150米C．250米D．300米
【分析】根据三角形的三边关系确定AB的范围，据此即可判断．
【解答】解：OA﹣OB＜AB＜OA+OB，
则150﹣100＜AB＜150+100，即50＜AB＜250．
则符合条件的只有B．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．已知两边确定第三边的范围时，第三边的长大于已知两边的差，且小于已知两边的和．
7．（4分）如图，下列条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AB＝DC，AC＝DBB．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB
C．BO＝CO，∠A＝∠DD．AC＝BD，∠A＝∠D
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容逐个判断即可．
【解答】解：A、AB＝DC，AC＝DB，BC＝BC，符合全等三角形的判定定理“SSS”，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
B、AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合全等三角形的判定定理“SAS”，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
C、在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴AB＝DC，∠ABO＝∠DCO，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠DCB，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
即能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
D、具备条件AC＝DB，BC＝BC，∠A＝∠D不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
8．（4分）如图所示，两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．72°B．60°C．58°D．50°
【分析】根据图形得出DE＝AB＝a，DF＝AC＝c，根据全等三角形的性质得出∠D＝∠A＝50°，即可得出选项．
【解答】解：
∵DE＝AB＝a，DF＝AC＝c，
又∵△ABC和△DEF全等，
∴∠D＝∠A＝50°，
∴∠α＝50°，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
9．（4分）直线l上有三个正方形A、B、C放置如图所示，若正方形A、C的面积分别为1和12，则正方形B的面积为（ ）
A．11B．12C．13D．
【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠EDF＝∠GFH，由AAS证明△DEF≌△FGH，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．
【解答】解：如图，
∵A、B、C都是正方形，
∴DF＝FH，∠DFH＝90°；
∵∠DFE+∠GFH＝∠EDF+∠DFE＝90°，
∴∠EDF＝∠GFH，
在△DEF和△FGH中，，
∴△DEF≌△FGH（AAS），
∴DE＝FG，EF＝HG；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：DF2＝DE2+EF2＝DE2+HG2，
即SB＝SA+SC＝1+12＝13，
故选：C．
【点评】此题主要考查对全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识；关键是证明△DEF≌△FGH．
10．（4分）在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝2，则AB的长度是（ ）
A．8B．6C．4D．2
【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质，以及直角三角形的两个锐角互余可得：AB＝2BC，∠B＝60°，再根据垂直定义可得：∠CDB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠BCD＝30°，从而利用含30度角的直角三角形的性质可得BC＝4，即可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠CBD＝30°，
∴BC＝2BD＝4，
∴AB＝2BC＝8，
故选：A．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）。
11．（5分）在电影票上将“10排8号”前记为（10，8），那么（25，11）表示的意义是 25排11号 ．
【分析】根据第一个数表示排数，第二个数表示号数，然后写出即可．
【解答】解：∵“10排8号”记为（10，8），
∴（25，11）表示的意义是25排11号．
故答案为：25排11号．
【点评】本题考查了坐标确定位置，理解有序数对的两个数的实际意义是解题的关键．
12．（5分）如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入的x值为6，则最后输出因变量y的值为 42 ．
【分析】把x＝6代入x（x+1），如果结果大于15就输出，如果结果不大于15，就再算一次．
【解答】解：当x＝6时，
x（x+1）＝6×（6+1）＝6×7＝42＞15，
∴输出因变量y＝42．
故答案为：42．
【点评】本题考查了函数值，已知自变量的值求函数值是本题的本质，看懂题意是关键．
13．（5分）如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠A+∠C的度数为 100° ．
【分析】根据全等三角形的判定定理SSS，可证得△ABC≌△ADC，再根据全等三角形的性质和三角形内角和定理，推出∠B＝∠D＝130°，∠A+∠C+∠B+∠D＝360°，计算即可求得∠A+∠C的度数．
【解答】解：如图，连接AC，
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠B＝∠D＝130°，
∵∠BAC+∠BCA+∠B＝180°，∠DAC+∠DCA+∠D＝180°，
∴∠BAC+∠DAC+∠BCA+∠DCA+∠B+∠D＝180°+180°＝360°，
即∠A+∠C+∠B+∠D＝360°，
∴∠A+∠C＝360°﹣∠B﹣∠D＝360°﹣130°﹣130°＝100°，
故答案为：100°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（5分）如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为Vp＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝ 1.5或2.4 s时，△PBQ为直角三角形．
【分析】分∠PQB＝90°、∠QPB＝90°两种情况，根据直角三角形的性质列式计算，得到答案．
【解答】解：由题意得，BQ＝t，AP＝2t，
则BP＝6﹣2t，
当∠PQB＝90°时，∠B＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
∴BQ＝BP，即t＝（6﹣2t），
解得，t＝1.5，
当∠QPB＝90°时，∠B＝60°，
∴∠BQP＝30°，
∴BP＝BQ，即t＝2（6﹣2t），
解得，t＝2.4，
综上所述，当t＝1.5或2.4s时，△PBQ为直角三角形，
故答案为：1.5或2.4．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分）。
15．（8分）已知平面直角坐标系中有一点M（m﹣1，2m+3）
（1）当m为何值时，点M到x轴的距离为1？
（2）当m为何值时，点M到y轴的距离为2？
【分析】（1）让纵坐标的绝对值为1列式求值即可；
（2）让横坐标的绝对值为2列式求值即可．
【解答】解：（1）∵|2m+3|＝1
2m+3＝1或2m+3＝﹣1
∴m＝﹣1或m＝﹣2；
（2）∵|m﹣1|＝2
m﹣1＝2或m﹣1＝﹣2
∴m＝3或m＝﹣1．
【点评】考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值；点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．
16．（8分）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．
（1）求AE的长度；
（2）求∠AED的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，
∴BE＝BC＝3，
∴AE＝AB﹣BE＝6﹣3＝3；
（2）∵△ABC≌△DEB，
∴∠A＝∠D＝25°，∠DBE＝∠C＝55°，
∴∠AED＝∠DBE+∠D＝55°+25°＝80°．
【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等分析．
17．（8分）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣5，2），B（﹣3，1），C（﹣1，5），请按要求解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标为（ ﹣5 ， ﹣2 ）；
（2）平行于y轴的直线l经过（1，0），画出△ABC关于直线l对称的图形△A2B2C2，并写出A2的坐标为（ 7 ， 2 ）．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，进而可以写出点A的对应点A1的坐标；
（2）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于直线l对称的图形△A2B2C2，进而写出A2的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
A1的坐标为（﹣5，﹣2）；
故答案为：﹣5，﹣2；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
A2的坐标为（7，2）．
故答案为：7，2．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
18．（8分）如图，已知直线y＝kx﹣3经过点M，求此直线与坐标轴围成的三角形的面积．
【分析】根据直线y＝kx﹣3经过点M（﹣2，1），可以求得k的值，然后即可写出该直线的解析式，然后求出该直线与x轴和y轴的交点，从而可以求得此直线与坐标轴围成的三角形的面积．
【解答】解：∵直线y＝kx﹣3经过点M（﹣2，1），
∴﹣2k﹣3＝1，
解得k＝﹣2，
∴直线y＝﹣2x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x＝﹣，
∴此直线与坐标轴围成的三角形的面积为：＝．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出该函数的解析式．
19．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E，已知∠ABE＝40°，求∠EBC的度数．
【分析】根据线段垂直平分线性质得出AE＝BE，推出∠A＝∠ABE＝40°，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠ABC，即可求出答案．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠A＝∠ABE，
∵∠ABE＝40°，
∴∠A＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝70°﹣40°＝30°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
20．（10分）已知一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，﹣2）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）画出此一次函数的图象；
（3）判断点（3，5）是否在此函数的图象上．
【分析】（1）把（﹣3，﹣2）代入解析式即可求得k的值；
（2）利用两点法画出图象即可；
（3）把（3，5）代入函数解析式，进行判断即可．
【解答】解：（1）把（﹣3，﹣2）代入解析式得：﹣3k+4＝﹣2，
解得：k＝2，
则解析式是：y＝2x+4；
（2）在y＝2x+4中，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣2，
画出一次函数的图象如图：
（3）在y＝2x+4中，当x＝3时，y＝10≠5，则（3，5）不在图象上．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及点与函数图象的关系，在函数图象上则满足函数解析式，不在图象上，则不满足函数解析式．
21．（12分）如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A＝40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．
（1）求∠E的度数．
（2）请猜想∠A与∠E之间的数量关系，不用说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABC＝2∠CBE，∠ACD＝2∠DCE，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠E+∠CBE，然后整理即可得到∠A＝2∠E，再求解即可；
（2）根据（1）的求解解答．
【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ABC＝2∠CBE，∠ACD＝2∠DCE，
由三角形的外角性质得，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠E+∠CBE，
∴∠A+∠ABC＝2（∠E+∠CBE），
∴∠A＝2∠E，
∵∠A＝40°，
∴∠E＝20°；
（2）∠A＝2∠E．
理由如下：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠ABC＝2∠CBE，∠ACD＝2∠DCE，
由三角形的外角性质得，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠E+∠CBE，
∴∠A+∠ABC＝2（∠E+∠CBE），
∴∠A＝2∠E．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
22．（12分）种植草莓大户张华现有22吨草莓等待出售，有两种销售渠道，一是运往省城直接批发给零售商，二是在本地市场零售，受客观因素影响，张华每天只能采用一种销售渠道，而且草莓必须在10天内售出（含10天）．经过调查分析，这两种销售渠道每天销量及每吨所获纯利润见下表：
（1）若一部分草莓运往省城批发给零售商，其余在本地市场零售，请写出销售22吨草莓所获纯利润y（元）与运往省城直接批发零售商的草莓量x（吨）之间的函数关系式；
（2）怎样安排这22吨草莓的销售渠道，才使张华所获纯利润最大？并求出最大纯利润．
【分析】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系式；
（2）根据题意可以得到关于x的不等式，从而可以求得x的取值范围，再结合（1）中的函数关系式，本题得以解决．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝1200x+2000（22﹣x）＝﹣800x+44000，
即销售22吨草莓所获纯利润y（元）与运往省城直接批发零售商的草莓量x（吨）之间的函数关系式是y＝﹣800x+44000；
（2）∵草莓必须在10天内售出（含10天），
∴，
解得，x≥16，
∵y＝﹣800x+44000，﹣800＜0，
∴在函数y＝﹣800x+44000中，y随x的增大而减小，
∴当x＝16时，y取得最大值，此时y＝﹣800×16+44000＝31200，
16÷4＝4，10﹣4＝6，
即用4天时间运往省城批发，6天在本地零售，可以使张华所获纯利润最大，最大利润为31200元．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
23．（14分）（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E．求证：DE＝BD+CE；
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a，其中a为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，若a＝120°，且△ACF为等边三角形，试判断△DEF的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）利用∠BDA＝∠BAC＝α，则∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，得出∠CAE＝∠ABD，进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案．
（3）证△BDF≌△AEF，得出DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，而得出∠DFE＝60°，即可推出△DEF为等边三角形．
【解答】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
∵，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
∵，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE．
（3）△DEF为等边三角形，理由如下：
由（2）知△ADB≌△CEA，BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，
∵△ACF为等边三角形，
∴∠CAF＝60°，AF＝AC，
又∵AB＝AC，
∴AB＝AF，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAF＝60°，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF＝60°，BF＝AF，
∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF＝∠EAF，
∵BF＝AF，
∴△BDF≌△AEF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
销售渠道
每日销量
（吨）
每吨所获纯
利润（元）
省城批发
4
1200
本地零售
1
2000
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
C
D
B
D
D
C
A
销售渠道
每日销量
（吨）
每吨所获纯
利润（元）
省城批发
4
1200
本地零售
1
2000