2024-2025学年北京市东城区东直门中学高二上学期12月月考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市东城区东直门中学高二上学期12月月考数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线y=4x2的焦点坐标是( )
A. (1,0)B. (0,1)C. 116,0D. 0,116
2.已知双曲线的方程为x24−y22=1，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. y=± 22xB. y=± 2xC. y=± 33xD. y=± 3x
3.已知椭圆方程为：3x2+4y2=12，则该椭圆的长轴长为( )
A. 4B. 2C. 2 3D. 3
4.高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是( )
A. 100名学生是个体B. 样本容量是100
C. 每名学生的成绩是所抽取的一个样本D. 1000名学生是样本
5.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：
则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是( )
A. 8，8.5B. 8，8C. 9，8D. 8，9
6.已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现又加入一个数据6，此时这5个数据的方差为( )
A. 245B. 165C. 145D. 125
7.已知直线l1:a2x+y+1=0与直线l2:x−3ay+7=0，则“a=3”是“l1⊥l2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知圆C1：x2+y2+4x−4y+7=0与圆C2：(x−2)2+(y−5)2=16的公切线条数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
9.如图所示，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为1，E,F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E,F的平
面分别与棱BB′、DD′交于M,N，设BM=x，x∈(0,1)，给出以下四个命题：
①四边形MENF为平行四边形；
②若四边形MENF面积S=f(x),x∈(0,1)，则f(x)有最小值；
③若四棱锥A−MENF的体积V=p(x)，x∈(0,1)，则p(x)常函数；
④若多面体ABCD−MENF的体积V=ℎ(x)，x∈(12,1)，则ℎ(x)为单调函数．
其中假命题为( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
10.已知曲线C:x2+y22=9x2−y2是双纽线，则下列结论正确的是( )
A. 曲线C的图象不关于原点对称
B. 曲线C经过4个整点(横、纵坐标均为整数的点)
C. 曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3
D. 若直线y=kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为−∞,−1
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.若点A(−4,−2)，B(−2,2)，则以AB为直径的圆C的方程是 ．
12.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为y=−2x，则该双曲线的离心率为 ．
13.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为DB，A1C1的中点，则直线A1M和BN的夹角的余弦值为
14.已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，则平面A1BC1与平面ABCD所成的角的余弦值为 ．
15.若点M在直线l：y=−x−1上，则点M到点A2,1，B3,4的距离之和的最小值为 ．
16.已知曲线C的方程 x225+ y29=1，给出下列4个结论：
①曲线C是以点(−4,0)和(4,0)为焦点的椭圆的一部分；
②曲线C关于x轴、y轴、坐标原点O对称；
③若点P(x,y)在曲线C上，则|x|0)的离心率为 32，直线l1：y=x与椭圆C相交于A、B两点，且|AB|=4 105．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设平行于直线l1的直线l交椭圆C于E，F两点，且OE⋅OF=0，求直线l的方程．
(3)直线l2：y=kx与椭圆C相交于M、N两点，点P为椭圆C上不同于M、N的一动点，直线MP的斜率记作kMP，直线NP的斜率记作kNP，当kMP与kNP存在时，求证：kMP与kNP的乘积为定值．
22.(本小题12分)
已知集合Sn={X|X=(x1,x2,⋯,xn),xi∈{0,1},i=1,2,⋯,n}(n≥2)对于A=(a1,a2,⋯,an)，B=(b1,b2,⋯,bn)∈Sn，定义A与B的差为A−B=(|a1−b1|,|a2−b2|,⋯,|an−bn|)；A与B之间的距离为d(A,B)=i=1n|ai−bi|=|a1−b1|+|a2−b2|+⋯+|an−bn|．
(1)当n=5时，设A=(0,1,0,0,1)，B=(1,1,1,0,0)，求A−B，d(A,B)；
(2)证明：∀A,B,C∈Sn，有A−B∈Sn，且d(A−C,B−C)=d(A,B)；
(3)证明：∀A,B,C∈Sn，d(A,B)，d(A,C)，d(B,C)三个数中至少有一个是偶数．
参考答案
1.D
2.A
3.A
4.B
5.A
6.D
7.A
8.C
9.D
10.C
11.x+32+y2=5
12. 5
13.23
14. 63
15. 74
16.②④
17.(1)由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2+bc，
所以csA=−12，又00，得− 5