安徽省合肥市普通高中联盟2023-2024学年高二(上)1月期末联考数学试卷(解析版)

这是一份安徽省合肥市普通高中联盟2023-2024学年高二(上)1月期末联考数学试卷(解析版)，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得经过，两点的直线的斜率为，
而直线倾斜角范围为，
故经过，两点的直线的倾斜角为，
故选：C
2. 已知向量，，则向量（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，，
所以.
故选：C.
3. 在等差数列中，，，则的值是（ ）
A. 13B. 14C. 16D. 17
【答案】B
【解析】因为是等差数列，，，
所以，即，解得.故选：B.
4. 如果直线与互相垂直，那么a的值等于（ ）
A. －1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】因为直线与互相垂直，
所以，解得.
故选：C.
5. 直线被圆截得的弦长为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】由题意可得圆的圆心为O(0,0)，半径，
则圆心到直线的距离，
所以由直线和圆相交所得的弦长公式可得弦长为：.
故选：B.
6. 大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则该数列第18项为
A. 200B. 162C. 144D. 128
【答案】B
【解析】偶数项分别为2，8，18，32，50，
即，，，，，
即偶数项对应的通项公式为，则数列的第18项为第9个偶数
即，
故选B．
7. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】以D点为坐标原点，以DA、DC、所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（0，2，1）
∴ =（-2，0，1）， =（-2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．
∴．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
8. 如图，、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为( )
A B. C. D. 3
【答案】C
【解析】根据双曲线的定义，可得| 是等边三角形，
即 即 ，
又
∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°，
即
解之得
由此可得双曲线C的离心率
故选C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 满足下列条件的数列是递增数列的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】A．因为，所以是递减数列；
B．因为，所以是递增数列；
C．因为，所以是递减数列；
D．因为，所以是递增数列；
故选：BD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线必过定点
B. 直线在y轴上截距为1
C. 过点且垂直于直线的直线方程为
D. 直线的倾斜角为120°
【答案】AC
【解析】对于A，由直线方程，整理可得，当时，，故A正确；
对于B，将代入直线方程，可得，解得，故B错误；
对于C，由直线方程，则其垂线的方程可设为，将点代入上式，可得，解得，则方程为，故C正确；
对于D，由直线方程，可得其斜率为，设其倾斜角为，则，解得，故D错误.
故选：AC.
11. 已知曲线C：，则（ ）
A. 存在m，使C表示圆
B. 当时，则C的渐近线方程为
C. 当时，则C的焦点是，
D. 当C表示双曲线时，则或
【答案】AD
【解析】A选项，当，即时，为圆，故A正确；
B选项，当时，，故渐近线方程为，故B错误；
C选项，当时，则，显然C的焦点在轴上，故C错误；
D选项，当C表示双曲线时，，则或，故D正确.
故选：AD.
12. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，M、N分别为PC、PB的中点.则（ ）
A. B.
C. 平面ANMDD. BD与平面ANMD所在的角为30°
【答案】CD
【解析】对A，若，又，则面，与底面ABCD矛盾，故A错误；
对B，若，则平面，则，在题中给出的直角梯形中，显然不可能，故B错误；
对C，，，所以平面ANMD ，故C正确；
对D，连接DN，因为平面ADMN，所以是BD与平面ADMN所成的角在中，，所以BD与平面ADMN所成的角为，故D正确；
故选：CD.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知为坐标原点，，若，则的坐标是_______．
【答案】
【解析】为坐标原点，，则.
.
故答案为：.
14. 已知抛物线 上一点的距离到焦点的距离为5，则这点的坐标为_______．
【答案】
【解析】由抛物线定义得 ,即这点的坐标为
15. 已知等差数列的公差，若成等比数列，则的值为______.
【答案】
【解析】由得,所以,
故答案为：
16. 光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的方程为________．
【答案】
【解析】由得
即直线与直线交点为
在直线上取点
设点关于的对称点为
则即
则反射光线所在直线的方程为
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17. 已知数列的前n项和为，，其中．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
解：（1）因为，
当时，有，当时，有，
所以， 经检验，满足上式，所以，；
（2）因为，；所以，
因此.
18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.
（1）试用表示向量；
（2）求BM的长.
解：（1）
（2）
，所以，则BM的长为.
19. 已知双曲线的渐近线方程为，且双曲线C过点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线与双曲线C只有一个公共点，求实数k的值.
解：（1）由题意得，解得,所以双曲线方程为.
（2）由，得，
由题意得，解得.
当，即时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线l与双曲线C只有一个公共点，
所以或.
20. 如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1．

（1）求证：BE∥平面DCF；
（2）求点B到平面DCF的距离．
解：（1）∵得AB∥CD，平面DCF；平面DCF，∴AB∥平面DCF；
∵AE∥DF，平面DCF；平面DCF，∴AE∥平面DCF，
∵平面ABE, 平面ABE,
∴平面ABE∥平面DFC，
∵BE⊂平面ABE，∴BE∥平面DCF．
（2）如图，以D为原点，建立空间直角坐标系．

∵AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，则△ADB∽△BCD⇒，
∵CD＝1，BC＝2．∴BD＝，∴AD＝2，AB＝5，
∴F(0，0，1)，D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，，0)，C，
，．
设平面DCF的法向量为，
则，∴，
令x＝1，y＝2，z＝0．
∴.
∴．
∴B到平面DCF的距离为2．
21. 已知数列满足，
（1）证明是等比数列，并求的通项公式
（2）若，求数列的前项和．
解：（1）∵数列满足，，
∴，
又，
∴是首项为，公比为3的等比数列.
∴，
∴的通项公式.
（2）.
∴数列的前项和：
，①
，②
①-②，得：
，
∴.
22. 已知椭圆（）的离心率，椭圆过点
（1）求椭圆方程；
（2）直线的斜率为，直线与椭圆交于两点，已知，求面积的最大值.
解：（1）∵，∴
∵椭圆过点
∴
（2）
.