2024-2025学年上学期初中数学北师大版（2024）七年级期末必刷常考题之多边形和圆的初步认识练习

这是一份2024-2025学年上学期初中数学北师大版（2024）七年级期末必刷常考题之多边形和圆的初步认识练习，共18页。试卷主要包含了如图等内容，欢迎下载使用。
1．（2024•桥西区校级三模）如图是被撕掉一块的正多边形纸片，若直线a⊥b，则该正多边形是（ ）
A．正五边形B．正六边形C．正八边形D．正十边形
2．（2024秋•和静县校级期中）一个多边形自一个顶点引对角线把它分割为六个三角形，那么它是（ ）
A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形
3．（2023秋•永善县期末）已知⊙O中最长的弦为8，则⊙O的半径是（ ）
A．4B．8C．12D．16
4．（2023秋•赣县区期末）
如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝5m，OB＝3m，则阴影部分的面积是（ ）
A．43πB．83πC．4πD．163π
5．（2024春•淮安区期末）若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多边形是（ ）
A．六边形B．八边形C．九边形D．十边形
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•宝山区期中）如图，把一个圆平均分成两个半圆，再把左半圆平均分成3份，右半圆平均分成2份．如果阴影部分的面积为10，那么该圆的面积是 ．
7．（2024秋•凉州区校级期中）过n边形的一个顶点可以画出5条对角线，则n的值是 ．
8．（2024秋•南京期中）已知扇形的圆心角为120°，半径是10，则扇形的面积为 ．
9．（2024春•沛县校级期末）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以2cm为半径画圆，当n＝2024时，则图中阴影部分的面积之和为 cm2．（注：结果用含π的式子表示）
10．（2023秋•浦东新区期末）如图：一把折扇的骨架长是30厘米，扇面宽为20厘米，完全展开时圆心角为135°，扇面的面积为 平方厘米．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•溧阳市期中）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点P是AB上一点，AP=15BP=2．
（1）求扇形AOB的面积；
（2）过点P作PQ⊥AB交弧AB于点Q，求PQ的长．
12．（2023秋•新化县期末）如图，第一个图形是一个六边形，第二个图形是两个六边形组成，依此类推：
（1）写出第n个图形的顶点数（n是正整数）；
（2）第12个图有几个顶点？
（3）若有122个顶点，那么它是第几个图形
13．（2024春•海淀区期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度、需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示．
（1）圆形团扇的半径为 厘米，正方形团扇的边长为 厘米；
（2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
14．（2023秋•北林区校级期末）按要求计算阴影部分的面积：
（1）图1中的大圆半径等于小圆的直径，请你求出阴影部分的面积（结果保留π）．
（2）如图2，已知图中长方形ABCD的面积与圆A的面积相等，且圆A的半径是3厘米，求阴影部分面积（结果保留π）．
15．（2023秋•浦东新区期末）如图，下面的爱心图案是由一个正方形和两个半圆组成，其中正方形的边长为20，请计算图中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）
2024-2025学年上学期初中数学北师大版（2024）七年级期末必刷常考题之多边形和圆的初步认识
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024•桥西区校级三模）如图是被撕掉一块的正多边形纸片，若直线a⊥b，则该正多边形是（ ）
A．正五边形B．正六边形C．正八边形D．正十边形
【考点】多边形．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】C
【分析】先延长DA，EB交于点C，再根据已知条件求出∠C，然后根据正多边形的定义求出∠DAB＝∠ABE，从而根据邻补角定义求出正多边形的一个外角，最后根据多边形外角和求出边数即可．
【解答】解：如图所示：延长DA，EB交于点C，
∵直线a⊥b，
∴∠C＝90°，
∵此多边形是正多边形，
∴∠DAB＝∠ABE，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵正多边形外角和为360°，
∴正多边形的边数为360°÷45°＝8，
故选：C．
【点评】本题主要考查了正多边形的定义，解题关键是添加辅助线构造三角形．
2．（2024秋•和静县校级期中）一个多边形自一个顶点引对角线把它分割为六个三角形，那么它是（ ）
A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形
【考点】多边形的对角线．
【答案】C
【分析】根据n边形过一个顶点有（n﹣3）条对角线，它们把n边形分割成了（n﹣2）个三角形．
【解答】解：设多边形有n条边，
则n﹣2＝6，n＝8，
故多边形是八边形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了多边形的对角线，熟悉多边形中的公式：n边形过一个顶点有（n﹣3）条对角线，它们把n边形分割成了（n﹣2）个三角形．
3．（2023秋•永善县期末）已知⊙O中最长的弦为8，则⊙O的半径是（ ）
A．4B．8C．12D．16
【考点】圆的认识．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】A
【分析】⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．
【解答】解：∵⊙O中最长的弦为8，即直径为8，
∴⊙O的半径为4．
故选：A．
【点评】本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键．
4．（2023秋•赣县区期末）
如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝5m，OB＝3m，则阴影部分的面积是（ ）
A．43πB．83πC．4πD．163π
【考点】扇形面积的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】D
【分析】利用扇形面积公式，根据S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC即可求解．
【解答】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC
=120π⋅OA2360−120π⋅OB2360
=120π(OA2−OB2)360
=π(52−32)3
=16π3（m2），
故选：D．
【点评】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
5．（2024春•淮安区期末）若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多边形是（ ）
A．六边形B．八边形C．九边形D．十边形
【考点】多边形的对角线；多边形．
【专题】多边形与平行四边形；几何直观．
【答案】B
【分析】根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n﹣3）求出边数即可得解．
【解答】解：∵从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，设多边形边数为n，
∴n﹣3＝5，
解得n＝8．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•宝山区期中）如图，把一个圆平均分成两个半圆，再把左半圆平均分成3份，右半圆平均分成2份．如果阴影部分的面积为10，那么该圆的面积是 24 ．
【考点】扇形面积的计算．
【专题】运算能力．
【答案】24．
【分析】根据所给阴影部分的面积，得出圆的半径，据此可解决问题．
【解答】解：由题知，
180°÷3＝60°，180°÷2＝90°，
则60°+90°＝150°，
所以图中阴影部分扇形的圆心角度数为150°．
设圆的半径为r，
则150⋅π⋅r2360=10，
所以r2=24π，
则圆的面积为：πr2=π⋅24π=24．
故答案为：24．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．
7．（2024秋•凉州区校级期中）过n边形的一个顶点可以画出5条对角线，则n的值是 8 ．
【考点】多边形的对角线．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】8．
【分析】由过n边形的一个顶点可以画出（n﹣3）条对角线，根据题意，得n﹣3＝5，解答即可．
【解答】解：根据题意得：n﹣3＝5，
解得：n＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了多边形的性质，解方程，熟练掌握性质，灵活解方程是解题的关键．
8．（2024秋•南京期中）已知扇形的圆心角为120°，半径是10，则扇形的面积为 100π3 ．
【考点】扇形面积的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】100π3．
【分析】根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：扇形的圆心角为120°，半径是10，则扇形的面积为120π×102360=100π3，
故答案为：100π3．
【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
9．（2024春•沛县校级期末）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以2cm为半径画圆，当n＝2024时，则图中阴影部分的面积之和为 4π cm2．（注：结果用含π的式子表示）
【考点】扇形面积的计算．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】4π．
【分析】由题意得到各顶点的扇形圆心角之和即为n边形外角和，利用扇形面积公式计算即可求出阴影部分面积．
【解答】解：∵n边形的外角和为360°，半径为2cm，
∴S阴影=360π×22360=4πcm2，
故答案为：4π．
【点评】此题考查了扇形面积的计算，以及多边形的内角和与外角和，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．
10．（2023秋•浦东新区期末）如图：一把折扇的骨架长是30厘米，扇面宽为20厘米，完全展开时圆心角为135°，扇面的面积为 300π 平方厘米．
【考点】扇形面积的计算．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】300π．
【分析】利用扇形的面积公式代入数据计算即可解答问题．
【解答】解：30﹣20＝10（厘米）
135π×302360−135π×102360
=135π(30+10)×(30−10)360
＝300π（平方厘米），
扇面的面积是300π平方厘米，
故答案为：300π．
【点评】此题考查了扇形的面积公式的实际应用，熟记公式即可解答问题．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•溧阳市期中）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点P是AB上一点，AP=15BP=2．
（1）求扇形AOB的面积；
（2）过点P作PQ⊥AB交弧AB于点Q，求PQ的长．
【考点】扇形面积的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】（1）9π；
（2）27−32．
【分析】（1）依题意得AB=62，OA＝OB，∠AOB＝90°，则△OAB是等腰直角三角形，再由勾股定理求出OA＝6，进而可得扇形AOB的面积；
（2）过O作OC⊥AB于C，OD⊥PQ交QP的延长线于D，QD交OA于E，证明四边形OCPD为矩形，再根据△OAB是等腰直角三角形得AC＝BC＝OC=32，OQ＝OA＝6，则OD＝PC=22，PD＝OC=32，然后由勾股定理求出DQ=27，进而可得PQ的长．
【解答】解：（1）∵AP=15BP=2，
∴AP=2，BP=52，
∴AB＝AP+BP=62，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴△OAB是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB=OA2+OB2=2OA，
∴2OA=62，
∴OA＝6，
∴扇形AOB的面积为：90π×62360=9π；
（2）过点O作OC⊥AB于C，作OD⊥PQ交QP的延长线于D，QD交OA于点E，连接OQ，如图所示：
∵PQ⊥AB，
∴四边形OCPD为矩形，
∴OC＝DP，OD＝PC，
由（1）知：△OAB是等腰直角三角形，且OA＝OB＝6，AB=62，AP=2，
∴AC＝BC＝OC=12AB=32，OQ＝OA＝6，
∴OD＝PC＝AC﹣AP=32−2=22，PD＝OC=32，
在Rt△ODQ中，由勾股定理得：DQ=OQ2−OD2=62−(22)2=27，
∴PQ＝DQ﹣PD=27−32．
【点评】此题主要考查了扇形面积，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键．
12．（2023秋•新化县期末）如图，第一个图形是一个六边形，第二个图形是两个六边形组成，依此类推：
（1）写出第n个图形的顶点数（n是正整数）；
（2）第12个图有几个顶点？
（3）若有122个顶点，那么它是第几个图形
【考点】多边形；列代数式；代数式求值；规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；一次方程（组）及应用；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由第1个图形的顶点数为4+2，第2个图形的顶点数为2×4+2，第3个图形的顶点数为3×4+2，…，得出第n个图形的顶点数为4n+2；
（2）将12代入4n+2，即可得出结果；
（3）由4n+2＝122，即可得出结果．
【解答】解：（1）第1个图形的顶点数为：4+2，
第2个图形的顶点数为：2×4+2，
第3个图形的顶点数为：3×4+2，
…，
第n个图形的顶点数为：n×4+2＝4n+2；
（2）第12个图的顶点数为：4×12+2＝50，
∴第12个图有50个顶点；
（3）4n+2＝122，
解得：n＝30，
∴若有122个顶点，那么它是第30个图形．
【点评】本题考查了图形的变化规律、解一元一次方程等知识；认真观察得出规律是解题的关键．
13．（2024春•海淀区期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度、需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示．
（1）圆形团扇的半径为 103ππ 厘米，正方形团扇的边长为 103 厘米；
（2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
【考点】扇形面积的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】（1）103ππ，103；
（2）圆形团扇所用的包边长度更短．
【分析】（1）分别根据圆和正方形的面积公式解答即可；
（2）根据圆和正方形的周长公式解答即可．
【解答】解：（1）由题意得：
圆形团扇的半径为：300π=103ππ（厘米），正方形团扇的边长为：300=103（厘米），
故答案为：103ππ，103；
（2）∵圆形团扇的半径为103ππ厘米，
∴圆形团扇的周长为：2π×103ππ=203π（厘米），
∵正方形团扇的边长为103厘米，
∴正方形团扇的周长为：103×4=403（厘米），
∵403=20×3×22=2012，3＜π＜4，
∴203π＜403，
∴圆形团扇所用的包边长度更短．
【点评】本题考查了扇形的面积，掌握圆和正方形的面积和周长公式是解答本题的关键．
14．（2023秋•北林区校级期末）按要求计算阴影部分的面积：
（1）图1中的大圆半径等于小圆的直径，请你求出阴影部分的面积（结果保留π）．
（2）如图2，已知图中长方形ABCD的面积与圆A的面积相等，且圆A的半径是3厘米，求阴影部分面积（结果保留π）．
【考点】扇形面积的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】（1）27π平方厘米；
（2）是274π 平方厘米．
【分析】（1）用大圆面积减去小圆面积即可；
（2）用长方形的面积减去扇形面积即可．
【解答】解：（1）π×62﹣π×（62）2
＝36π﹣9π
＝27π（平方厘米），
答：阴影部分的面积是27π平方厘米；
（2）∵长方形面积与圆面积相等，扇形的圆心角为90°，
∴S阴影部分＝S矩形﹣S扇形
＝S圆﹣S扇形
=34S圆
=π×32×34
=π×9×34
=274π （平方厘米），
答：阴影部分的面积是 274π 平方厘米．
【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
15．（2023秋•浦东新区期末）如图，下面的爱心图案是由一个正方形和两个半圆组成，其中正方形的边长为20，请计算图中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）
【考点】扇形面积的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】400．
【分析】根据阴影的面积等于正方形面积减去扇形ABC的面积再加上一个圆的面积，计算即可．
【解答】解：202−90π×202360+π×102＝400﹣100π+100π＝400，
答：阴影部分的面积是400．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，关键是熟记扇形的面积公式和准确计算．
考点卡片
1．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
2．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
3．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
4．多边形
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．
（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心．
常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形．
5．多边形的对角线
（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数）
（3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．
（4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
6．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
7．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．