重难点12 与圆相关的6种模型-2025年中考数学一轮复习提高练习

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\l "_Tc157674849" 题型01 四点共圆
\l "_Tc157674850" 题型02 圆幂定理
\l "_Tc157674851" 题型03 垂径定理
\l "_Tc157674852" 题型04 定弦定角
\l "_Tc157674853" 题型05 定角定高模型（探照灯模型）
\l "_Tc157674854" 题型06 阿基米德折弦定理
题型01 四点共圆
1. 四点共圆的判定
【扩展】
托勒密定理：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.
证明:过点C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，
∴△ACD∽△BCP.∴ACBC=ADBP，则AC·BP=AD·BC ①.
∵∠1=∠2 ∴∠1+∠ACP=∠2+∠ACP 则∠ACB=∠DCP 而∠5=∠6
∴△ACB∽△DCP.∴ACCD=ABDP，则AC·DP=AB·CD ②.
①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC.即AC·BD=AB·CD+AD·BC

2. 四点共圆的性质
1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等（如下图1，∠BAC=∠BDC）；
2）圆内接四边形的对角互补（如下图2，∠1=∠2）；
3) 圆内接四边形的外角等于内对角（如下图3，∠1=∠3）.
1．（2020·山东东营·东营市实验中学校考三模）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），M在BC边上，且BM＝b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF．给出以下五个结论：①∠AND＝∠MPC；②CP=b−b2a；③△ABM≌△NGF；④S四边形AMFN=a2+b2；⑤A，M，P，D四点共圆．其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，Rt△ABC中，AB=AC=122，Rt△ADE中，AD=AE=62，直线BD与CE交于P，当∠EAD绕点A任意旋转的过程中，P到直线AB距离的最大值是 ．
3．（2019·浙江嘉兴·统考二模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA平分∠BED．
（1）CD的长是 ；
（2）当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是 ．
4．（2021上·山东烟台·九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sin∠BDC的值是 ．
5．（2023下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题提出 如图1，点E为等腰△ABC内一点，AB=AC，∠BAC=α，将AE绕着点A逆时针旋转α得到AD，求证：△ABE≌△ACD．
尝试应用 如图2，点D为等腰Rt△ABC外一点，AB=AC，BD⊥CD，过点A的直线分别交DB的延长线和CD的延长线于点N，M，求证：S△ABN+S△ACM=12AN⋅AM．
问题拓展 如图3，△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AC，BC上，∠BDA=∠BEA=60°，AE，BD交于点H．若CE=a，AH=b，直接写出BE的长度（用含a，b的式子）．
6．（2022上·江苏盐城·九年级校考期中）如图，以点P−1,0为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．
(1)求B、C两点的坐标；
(2)请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；
(3)动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．
7．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）射线AB与直线CD交于点E，∠AED＝60°，点F在直线CD上运动，连接AF，线段AF绕点A顺时针旋转60°得到AG，连接FG，EG，过点G作GH⊥AB于点H．
(1)如图1，点F和点G都在射线AB的同侧时，EG与GH的数量关系是______；
(2)如图2，点F和点G在射线AB的两侧时，线段EF，AE，GH之间有怎么样的数量关系？并证明你的结论；
(3)若点F和点G都在射线AB的同侧，AE=1，EF=2，请直接写出HG的长．
8．（2021·福建·校联考二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为E，CF⊥AB于点F，直线CF与直线BD于点G．
（1）若点G在⊙O内，如图1，求证：G和D关于直线AC对称；
（2）连接AG，若AG=BC，且AG与⊙O相切，如图2，求∠ABC的度数．
9．（2021上·上海徐汇·九年级统考期中）如图，已知Rt△ABC和Rt△CDE，∠ACB=∠CDE=90°，∠CAB=∠CED，AC=8，BC=6，点D在边AB上，射线CE交射线BA于点F．
（1）如图，当点F在边AB上时，联结AE．
①求证：AE∥BC；
②若EF=12CF，求BD的长；
设直线AE与直线CD交于点P，若△PCE为等腰三角形，求BF的长．
10．（2022·河南安阳·统考一模）阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：
(1)填空：
①依据1指的是中点的定义及________；
②依据2指的是________．
(2)请将证明过程补充完整．
(3)善于思考的小虎发现当点P是BC的中点时，BD=CF，请你利用图（2）证明该结论的正确性．
11．（2023·山东日照·统考中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（60°