吉林省长春市新解放学校初中部2024--2025学年上学期第二次月考九年级数学试题（解析版）-A4

这是一份吉林省长春市新解放学校初中部2024--2025学年上学期第二次月考九年级数学试题（解析版）-A4，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，羊二，置金十两；牛二等内容，欢迎下载使用。
满分：120分 时间：120分钟
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 在应用有理数减法法则计算时，其中需要把“－”变成“＋”的是（ ）

A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据有理数的减法运算法则：减去一个数等于加上这个数的相反数即可求得．
【详解】解：，
∴需要把“-”变成“+”的号的是②③．
故选：C．
2. 湖南自古就有“鱼米之乡”的美誉，明清时期更有“湖广熟，天下足”之说，如图①量某粮仓的实物图，图②是其抽离出来的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 主视图与左视图相同B. 左视图与俯视图相同
C 主视图与俯视图相同D. 三个视图完全相同
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图的知识点，根据主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形，可得答案，理解三视图的意义是正确判断的前提．
【详解】解：这个几何体的主视图与左视图相同，底层是一个矩形，上层是一个等腰三角形，俯视图是一个带圆心的圆；
故选：A．
3. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图，蝴蝶纸是一部轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点的坐标为 ，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了本题考查坐标与图形变化-对称，首先根据点与点关于轴对称，可知两点的纵坐标相等、横坐标互为相反数，所以可得：，整理得：．
【详解】解：点的坐标为 ，点的坐标为，
点与点关于轴对称，
与相等，
，
去括号得：，
移项得：；
故选：B．
4. 下列给出的单项式与 是同类项的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查同类项，根据字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项，进行判断即可．
【详解】解：观察可知，与 是同类项的是；
故选C．
5. 下列运算一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、合并同类项法则及幂的运算法则，熟练掌握运算法则或公式是解题的关键．
根据单项式乘单项式、合并同类项法则及幂的运算法则分别计算可得答案．
【详解】解：、，此选项不合题意；
B、，此选项不符合题意；
C、，此选项不合题意；
D、，此选项符合题意．
故选：．
6. 中国的车轮制选，自古就有完备的标准体系．《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸．田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸……”如图，某学习小组通过以下方式探究某个残缺车轮的半径：在车轮上取 两点，设弧所在圆的圆心为．经测量：弦，过弦的中点作交圆弧于点，，．设车轮的半径为，则下列等式错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形等知识，连接，根据勾股定理和解直角三角形逐项排除即可，熟练掌握知识点的应用及正确做出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵过弦的中点作交圆弧于点，
∴点三点共线，，
∴，
设车轮的半径为，则，
∴、由勾股定理得：，
∴，故此选项不符合题意；
、在中，，
∴，故此选项不符合题意；
、在中，，
∴，故此选项不符合题意；
、在中，，
∴，故此选项符合题意；
故选：．
7. 如图，在▱ABCD中，AD＞AB，用直尺和圆规在边AD上确定一点E，使AE＝AB，则下列作法错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由作图可知选项A，B，D中，可以证明AB=AE，由此判断即可．
【详解】A、由作图可知，AB＝AE，本选项不符合题意．
B、由作图可知，∠ABE＝∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，本选项不符合题意．
C、由作图可知，四边形ABCE是等腰梯形，
∴AB＝EC，
推不出AB＝AE，故本选项符合题意．
D、由作图可知，AF平分∠BAE，AF⊥BE，

∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
8. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，点的横坐标分别为1，3，则的面积为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，过点作轴，过点作轴，根据值的几何意义，将的面积转化为梯形的面积，进行求解即可．
【详解】解：∵直线与反比例函数的图象交于点，点的横坐标分别为1，3，
∴，
∴，解得：，
∴，
过点作轴，过点作轴，则：，，
∴，
∴；
故选B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 多项式是三次____项式．
【答案】四
【解析】
【分析】此题考查了多项式次数和项数的判断，根据多项式次数的定义和项数的定义即可得出结论，掌握多项式次数的定义和项数的定义是解题的关键．
【详解】解：多项式是三次四项式，
故答案为：四．
10. 我们知道等腰三角形的两个底角相等，简记为“等边对等角”，则它的逆命题是____命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【解析】
【分析】本题考查了命题及逆命题，先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题，继而也能判断出真假，掌握互逆命题的定义是解题的关键．
【详解】解：∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”，是真命题，
故答案为：真．
11. 如图，在中，，，，点是线段上的一个动点，点为圆心，为半径作圆．当与边相切时，则半径______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，当与相切时，则，由切线长定理可得，由勾股定理得，设半径为，则，再由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，当与相切时，
∴，
∴，
∴与相切，
∴，
中，由勾股定理得：，
∴，
设半径为，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得：，
故答案为：．
12. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与函数的图象交于点．若一次函数随的增大而增大，则的值可以是______（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查一次函数和反比例函数图象的交点问题，过点分别作轴与轴的垂线，分别交反比例函数图像于点和点，求出，，又一次函数的值随值的增大而增大，即可得到的取值范围，然后选取一个即可，找到两个临界点是解题的关键．
【详解】解：如图，过点分别作轴与轴的垂线，分别交反比例函数图像于点和点，
把代入中，得x=1；
把代入中，得；
∴，，
∵一次函数值随值的增大而增大，
∴点只能在点与点之间，
∴的取值范围是，
故答案为：（答案不唯一）．
13. 已知如图：ΔABC中，，以为直径的圆交于，若，则阴影部分的面积为__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据圆周角定理及等腰三角形“三线合一”的性质得到AD=DC=BD=8，得到弓形与弓形面积相等，根据即可求解．
【详解】∵AC为直径，
∴∠ADC=90，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC，∠C=90，
∴AD=DC=BD=8，
∴，
∴()，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算是解题的关键．
14. 如图，在中，，，点为斜边上的中点，点，分别在直角边，上（不与端点重合），且，连接、、．设，，．给出下面四个结论：①是等腰直角三角形②③④，上述结论中，正确结论的序号有______．
【答案】①④
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解此题的关键，由题意得出，由三角形三边关系得出，即可判断②；利用勾股定理即可判断③；连接，证明，推出是等腰直角三角形，判断①，设，由等腰直角三角形的性质可得，，由勾股定理得出，再由得出，再分和对④进行判断即可．
【详解】解：，，
，
点，分别在直角边，上（不与端点重合），
，即，故结论②错误；
，
在中，，，，
由勾股定理得：，即，故结论③错误；
连接，
∵，，点为斜边上的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
∴是等腰直角三角形，故①正确；
设，则：，
在中，由勾股定理得：，
，
，即，
，
，
当且仅当时，即点，分别为，的中点时，，
此时，即，
当时，即点，不是，的中点时，，
此时，即，
，且等号可以取到，故结论④正确．
故答案为：①④．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简求值和二次根式的性质，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【详解】解：
，
当时，原式．
16. 学校外的某个十字路口，每辆汽车来到十字路口后，都有三种选择，分别为左转，右转或直行．如果每种选择可能性的大小一致．若两辆汽车同时经过这个十字路口，请用画树状图或列表的方法，求两辆车行驶方向一致的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查概率的计算，列表法或画树状图法求概率；运用树状图将所有等可能结果表示出来是解题的关键．
用树状图工具列举所有等可能结果，共9种，满足要求的有3种，求得概率即可．
【详解】解：画出树状图如下：
∵总共有9种等可能结果，其中两辆车行驶方向一致的有3种等可能的情况，
∴两辆车行驶方向一致的概率为．
17. 《九章算术》中记载“今有牛五、羊二，置金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛、羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两，问：牛、羊每头各值金多少两．
【答案】牛、羊每头各值金两，两
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设牛、羊每头各值金两，两，根据牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两；列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设牛、羊每头各值金两，两，由题意，得：
，解得：，
答：牛、羊每头各值金两，两．
18. 如图，四边形中，对角线，BD相交于点，，BO=DO，且．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）过点作于点，若，，则的正弦值为______．
【答案】（1）证明过程见详解
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，勾股定理，正切值的计算方法，掌握矩形的判定和性质，正切值的计算方法是解题的关键．
（1）根据对角线相互平分可得四边形是平行四边形，，结合题意可得，，根据矩形的判定方法即可求证；
（2）在中，运用勾股定理可得，，运用等面积法可得，在中，再根据正弦值的计算即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
故答案为：．
19. 稳定的粮食产量是人民幸福生活的基本保障．为了解粮食产量情况，小明查阅相关资料得到如下信息：长春市2020年的粮食总产量达到960万吨，比上年增长约9%，其中玉米产量增长约12%，水稻产量下降约2%，其他农作物产量下降约10%．
（注：以上数据中粮食产量均精确到万吨）
根据以上信息回答下列问题：
（1）2020年玉米产量比2019年玉米产量多 万吨．
（2）扇形统计图中n的值为 ．
（3）计算2020年水稻的产量．
（4）小明发现如果这样计算2020年粮食总产量的年增长率：，就与2020年粮食总产量比上年增长约9%不符．请说明原因．
【答案】（1）85；（2）15；（3）144（万吨）；（4）理由见详解．
【解析】
【分析】（1）2020年玉米产量减去2019年玉米产量即可；
（2）1减去另外两个百分数即可求解；
（3）根据总产量960减去玉米产量和其他农作物产量，即可求得结果；
（4）因为式子中的几个百分数基数不同，所以不能这样计算．
【详解】解：（1）根据图表可知，2020年玉米产量是：792（万吨），
2019年玉米产量是：707（万吨），
∴2020年玉米产量比2019年玉米产量多：（万吨）；
（2）∵，
∴；
（3）∵长春市2020年的粮食总产量是960万吨，
根据图表可知，2020年玉米产量是：792万吨，其他农作物产量24万吨，
∴长春市2020年水稻产量是：（万吨）
（4）因为题中式子中的几个百分数基数不同，所以不能这样计算，
正确的计算方法为：，
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，了解和掌握两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
20. 图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作格点图形，保留作图痕迹．
（1）在图①中，以为中线作，使；
（2）在图②中，以为中线作，使；
（3）在图③中，以为中线作，使为钝角且．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查应用与设计作图，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据三角形中线的定义以及题意要求画出图形；
（2）根据直角三角形的判定三角形中线的定义画出图形；
（3）根据三角形中线的定义以及题意要求画出图形；
【小问1详解】
解：使，即让是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，过点作的垂线，使为中点即可；
【小问2详解】
解：在点正下方与点对齐的地方找到点，过点画直线使为中点即可得到点；
【小问3详解】
解：过点画斜线使为中点找到，连接起来即可使；
21. 从地面到高空，气温随离地面高度的变化而变化，当到达一定高度后，气温几乎不再变化．如图是气温与离地面高度之间函数的图象．根据图象解答下列问题：
（1）根据图象信息：地面的气温是____．
（2）当时，求与之间的函数关系式．
（3）若离地面不同高度的两处气温差为，直接写出这两处中较低处离地面高度的取值范围．
【答案】（1）20 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
（1）根据题意结合图象即可求解；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）把代入（2）的解析式可得，再根据题意把代入（2）的解析式即可求解．
【小问1详解】
解：由图象可得地面的气温为，
故答案为：20；
【小问2详解】
解：当时，设与之间的函数关系式为，
将点代入，得，
解得：，
∴y与之间的函数关系式为；
【小问3详解】
解：将代入，
得，
将代入，
得，
故这两处中较低处离地面高度的取值范围为．
22. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，点分别在边上，且，试探究线段长度的最小值．
【问题分析】小明通过证明三角形全等，将动线段交点问题转化为单动点绕定点旋转问题，再通过定角或老定长发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】请结合图①，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：
①；
②直接写出的大小为____度．
（2）如图②，取AD的中点，连结．
线段长度为____，线段长度的最小值为____．
【方法应用】如图③，在正方形中，对角线，点在边CD上，点在边AB上，且始终保持，连接，过点作交直线于点．线段的最小值为____．
【答案】（1）①见解析②（2）2，（3）
【解析】
【分析】（1）①证明，即可得出结论；②根据，得到，进而得到即可；
（2）斜边上的中线求出的长，勾股定理求出的长，根据，进行求解即可；
（3）设交于点，取的中点，连接，过点作，证明，得到，斜边上的中线得到，勾股定理求出的长，根据，求出的最小值即可．
【详解】解：（1）①∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）由（1）知：，
∵为的中点，
∴，
在中，，
∴，
∴的最小值为：；
（3）设交于点，取的中点，连接，过点作，
∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，有最小值为．
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线等知识点，解题的关键是确定动点的位置．
23. 如图，在中，，，．点是边上一个动点（点不与点、重合），过点作的垂线交边于点，以为底边作等腰直角，使顶点和边在直线的同侧．
（1）当点在边中点时，求的长；
（2）当时，点到直线的距离为____；
（3）当点落在高线上时，求的长；
（4）连接，直接写出与的一个内角相等时，线段的长．
【答案】（1）；
（2）；
（3）的长为或；
（4）的长为或或．
【解析】
【分析】（）先证明，利用相似三角形性质得，又点为边中点，则，最后代入即可求解；
（）过作于点，交于点，同（）理即可求解；
（）分当在边上高时，当在边时两种情况分析即可；
（）分当时，当时，当进行分析即可；
本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点为边中点，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，过作于点，交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点到直线的距离为，
故答案为：；
【小问3详解】
解：如图，当在边上高时，过作于点，于点，
∴四边形为矩形，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴，即，
∴，
∴，
设，则，，
∵等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，同理，
由（）得，
∴，
∴，解得：，
∴，
如图，当在边时，
同上理：，
设，则，，，
∴，
∴，解得：，
∴，
综上可知：的长为或；
【小问4详解】
解：当时，
同（）理：；
当时，
同（）理：；
如图，当，过作于点，于点，
同（）理设，则，，，
由勾股定理得：，同理，
由（）得，
∴，
∴，解得：，
∴，
综上可知：的长为或或．
24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点是该抛物线上的点，横坐标为，点的坐标，连结．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）当线段平行于轴时，求线段的长；
（3）当线段不与坐标轴平行时，以线段为对角线作矩形，且轴；
若矩形被抛物线对称轴分成两部分，求的值；
当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
（3）①或；②或
【解析】
【分析】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，坐标与图形，解一元二次方程，理解题意，作出相应图象，结合图象求解是解题关键．
（1）直接利用待定系数法代入求解即可；
（2）根据题意得出点的纵坐标为，得出方程求解即可；
（3）①矩形，中心点为C，过点C作对称轴于点D，确定，点的横坐标为，，再由题意及矩形的性质求解即可；
②根据题意得出抛物线与坐标轴的两个交点分别为，然后分两种情况，结合图形求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，
∴，解得：b=4，
∴该抛物线对应的函数表达式为；
【小问2详解】
∵点是该抛物线上的点，横坐标为，
∴点的纵坐标为，
∵线段平行于轴时，
∴，
解得：，
当时，，
当时，，
∴线段的长为或；
【小问3详解】
①如图所示，矩形，中心点为C，过点C作对称轴于点D，
由（2）得，
∴，点的横坐标为，
∵，
∵抛物线对应的函数表达式为，
∴对称轴为x=2，
∴，
∵轴，矩形被抛物线对称轴分成两部分，
∴或，
∴或，
解得：或或或,
当或时，点P、Q位于对称轴的同侧，不符合题意；
综上可得：或；
②由①得对称轴为x=2，
∴当x