精品解析：山东省潍坊市青州市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4

这是一份精品解析：山东省潍坊市青州市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了11， 方程的解是， 在中，，，则， 下列命题错误的是等内容，欢迎下载使用。
2024.11
注意事项：
1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，44分；第Ⅱ卷为非选择题，106分；满分150分．考试时间为120分钟．
2．答卷前务必将试题密封线内及答题卡上面的项目填涂清楚．所有答案都必须涂、写在答题卡相应位置，答在本试卷上一律无效．
第Ⅰ卷（选择题44分）
一、单选题（本题共6小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 方程的解是（ ）
A. B. C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，选择合适的方法进行计算，将一元二次方程转化为一元一次方程是解此题的关键．由题意可得或，解方程即可得到答案．
【详解】解：根据题意：得或，
解得：或，
故选：D．
2. 在中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的表示是解题的关键，根据题意设，，根据勾股定理求出，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
设，，
由勾股定理得：，
∴，
故选：B．
3. 如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框变形为以A为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形的面积为（ ）
A. B. C. 25D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】根据扇形的半径为5，求得代入公式计算即可．
本题考查了正方形的性质，扇形的面积公式，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得扇形的半径为5，，
故扇形的面积为，
故选C．
4. 探索关于x的一元二次方程的一个解的过程如下表：
可以看出该方程的一个解应介于整数m和之间，则整数m，n分别是（ ）
A. ，0B. ，1C. 0，1D. 1，2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解．利用表中数据得到，于是可判断该方程的一个解应介于，即可求解．
【详解】解：∵当x=0时，当x=1时，
∴该方程的一个解应介于，
∴，．
故选：C．
5. 如图，一块直角三角板斜边与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为，则的度数为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了的圆周角所对的弦为直径，圆周角定理等知识．熟练掌握的圆周角所对的弦为直径，圆周角定理是解题的关键．
如图，记的中点为，连接，由题意知，，四点共圆，由圆周角定理可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，记中点为，连接，
由题意知，，
∵，
∴四点共圆，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
6. 如图，将菱形纸片沿过点C的直线折叠，使点D落在射线上的点E处，折痕交于点P．若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，作于，由菱形，，可得，，则，由折叠的性质可知，，则，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，作于，
∵菱形，，
∴，，
∴，
由折叠的性质可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质，余弦，正切等知识．熟练掌握菱形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质，余弦，正切是解题的关键．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，错选、多选均记0分）
7. 如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是（ ）
A B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据在直角三角形中一个角的正切值等于其所对的边与斜边的比值进行构造直角三角形求解判断即可．
【详解】解：A、如图所示，，
∴，故此选项符合题意；
B、如图所示，，
∴，故此选项不符合题意；
C、如图所示，，
∴，故此选项不符合题意；
D、如图所示，，，BD⊥AC，
∴，
∴，
∴
∴，故此选项符合题意；
故选AD．
【点睛】本题主要考查了求正切值和勾股定理，解题的关键在于能够构造直角三角形进行求解．
8. 已知关于x的方程，下列说法中正确的是（ ）
A. 当时，方程无解B. 当时，方程有两个不相等的实根
C. 当时，方程有一个实根D. 当时，方程有两个实根
【答案】BD
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据一元一次方程和一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：当时，方程为一元一次方程有唯一解，故A错误；
当时，方程为一元二次方程，解的情况由根的判别式确定：
，
∴当时，，方程有两个不相等的实数解，故B正确；
当时，，方程有两个相等的实数解，故C错误；
当时，方程有两个实数解，故D正确．
故选：BD．
9. 下列命题错误的是（ ）
A. 任意三点确定一个圆B. 三角形的外心都在三角形的外部
C. 同弧或等弧所对的圆周角相等D. 相等的圆周角所对的弧相等
【答案】ABD
【解析】
【分析】本题考查了圆的相关知识点，包括圆的确定条件、外心、弧弦角等的关系，熟记相关结论即可．
【详解】解：A、经过不在同一条直线上的三点可确定一个圆，故A错误，符合题意；
B、三角形的外心可能在三角形的外部，也可能在内部，还可能在边上，故B错误，符合题意；
C、同弧或等弧所对的圆周角相等，故C正确，不符合题意；
D、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故D错误，符合题意．
故选：ABD．
10. 如图，在中，是直径，是弦，D是弧的中点，于点G，交于点E，交于点F，下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】假设，则，再根据点是弧的中点得，则，即点，将半圆三等分，但是根据已知条件无法证明点，将半圆三等分，由此可对A进行判断；连接，根据圆周角定理结合三角形内角和定理可对B进行判断；延长交于，连接，由得，则，再根据垂径定理得，据此可对C进行判断；根据垂径定理得，则，即，推出，在中由，设，，则，则，则，进而得，证明得，据此可对D进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：假设，
则，
点是的中点，
，
，
点，将半圆三等分，
根据已知条件无法证明点，将半圆三等分，
假设是错误的，故选项A不正确；
连接，
为直径，，
，
又，
，
，
又，
，
，故选项B正确；
延长交于，连接，如图1所示：
，
，
，
为直径，，
，
，故选项C正确；
为直径，，
，
又，
，
，
即，
，
在中，，
可设，，
由勾股定理得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，是直径，
，
，
，
，故选项D正确．
故选：BCD．
【点睛】此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数的定义和勾股定理进行计算是解决问题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 106分）
三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只要求填写最后结果）
11. 若方程有一个根是a，则的值为________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解，代数式求值是解题的关键．
由方程有一个根是a，可得，即，根据，代值求解即可．
【详解】解：∵方程有一个根是a，
∴，即，
∴，
故答案为：6．
12. 如图，用一个半径为10厘米的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有相对滑动，则重物上升了___________厘米（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．利用弧长公式计算即可．
【详解】解：重物上升的高度为：（厘米），
故答案为：．
13. 如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=____．
【答案】
【解析】
【详解】解：作EF⊥BC于F，
如图，设DE=CE=a，
∵△CDE为等腰直角三角形，
∴CD=CE=a，∠DCE=45°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD=a，∠BCD=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴CF=EF=CE=a，
在Rt△BEF中，tan∠EBF===，
即∠EBC=．
故答案为．
14. 如图，是的直径，A，B，C是上的三点，，点B是弧的中点，点P是上一动点，若的半径为2，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，轴对称的性质，勾股定理等知识．确定线段和最小的情况是解题的关键．
如图，作关于的对称点，连接，则，，，由轴对称的性质可知，，，则，，可知当三点共线时，值最小为，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，
．
∵，
∴，
∴，
∵点B是弧的中点，
∴，
由轴对称的性质可知，，，
∴，，
∴当三点共线时，值最小为，
由勾股定理得，，
故答案为：．
四、解答题（共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 用适当的方法解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等．
（1）首先按照移项、二次项系数化为1的步骤将原方程整理为，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行配方，然后求解即可获得答案；
（2）将方程等号右边部分移动到左侧，再提公因式可得，利用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：，
，
，
或
∴，．
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊三角函数的值是解答本题的关键．
（1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答；
（2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
17. 已知关于x的一元二次方程．
（1）当是方程的一个根时，求方程的另一个根；
（2）若，是方程的两个不相等的实根，且，满足，求m的值．
【答案】（1）
（2）-2
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程解的定义，解一元二次方程等等，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
（1）直接根据根与系数的关系求出另一个根即可；
（2）根据根与系数的关系得到，再利用判别式求出，结合已知条件推出，即， 解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：设另一个根为，则，
解得
∴另一个根为；
【小问2详解】
解：由题意得：，
同时满足即，
∴，
∵，．
∴
∴，
解得，
∴的值为．
18. 如图，是的直径，点D在的延长线上，与相切于点C，连接，，过点B作于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求半径的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆的切线的性质等知识．
（1）连接，由是直径，与相切于C，得，，从而得出，再根据推出，即，即可证明结论；
（2）由题意易证，得，得到，根据，从而求出的长，即可得到半径．
【小问1详解】
证明：连接，
∵与相切于C，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
，
∴半径的长为．
19. 某超市计划购进一批单价为20元的洗衣液．经市场调查发现：该洗衣液以30元的价格出售时，平均每月售出500桶，且洗衣液的售价每提高1元，某月销售量就减少10桶．
（1）若售价定为35元，每月可售出多少桶？
（2）若洗衣液的月销售量为200桶，则每桶洗衣液的定价为多少元？
（3）当超市每月有8000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？
【答案】（1）每月可售出桶
（2）每桶洗衣液的定价为元
（3）销售价格应定为40元
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是分别表示出销量和单价，用销量乘以单价表示出利润即可．
（1）由“洗衣液的售价每提高1元，其销售量就减少10桶”进行解答；
（2）设销售价格应定为x元，根据“洗衣液的售价每提高1元，，其销售量就减少10桶”列出方程并解答；
（3）设销售价格应定为y元，根据“每月有8000元的销售利润”列出方程并解答结合“薄利多销”取合适的值即可．
【小问1详解】
解：当售价为35元时，
每月可以售出（桶）；
【小问2详解】
解：设销售价格应定为x元，则
，
解得，
答：销售量为200桶，则每桶洗衣液的定价为60元；
【小问3详解】
解：设销售价格应定为y元，则
，
整理得：，
解得：或，
为体现“薄利多销”的销售原则，
，
答：销售价格应定为40元．
20. 为美化市容，某广场用规格为的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．
【观察思考】
图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．
【规律总结】
（1）图5灰砖有________块，白砖有________块；图n灰砖有________块，白砖有________块；
【问题解决】
（2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少56的情形，请通过计算说明你的理由．
【答案】（1），；，；（2）存在白砖数恰好比灰砖数少56的情形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查数字规律和一元二次方程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析方法和一元二次方程的性质．
（1）根据图形算出图3白砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图5白砖和灰砖的数量，通过图1到图4的数字规律得出图n白砖和灰砖的数量；
（2）假设存在图n白砖数恰好比灰砖数少56的情形，根据白砖和灰砖的数量建立方程，方程有解证明假设成立．
【详解】解：（1）图3的灰砖数量应为，白砖数量为；
图4的灰砖数量应为，白砖应比图3上下各多一行得图4白砖的数量为：；
图5的灰砖数量应为，白砖应比图4上下各多一行得图5白砖的数量为：；
图1灰砖的数量为1
图2灰砖的数量为4
图3灰砖的数量为9
图4灰砖的数量为16
得图灰砖的数量为
图1白砖的数量为
图2白砖的数量为
图3白砖的数量为
图4白砖的数量为
得图白砖的数量为
故答案为：25，24；，．
（2）假设存在，设图n白砖数恰好比灰砖数少56，
白砖数量，灰砖数量为
∴
∴
∴
∴，或（舍去）
故当时，白砖的数量为，灰砖的数量为，白砖比灰砖少56，
∴存在白砖数恰好比灰砖数少56的情形．
21. 图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gā），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，．
（1）如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）；
（2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，）
【答案】（1）支点O到小竹竿的距离
（2）点A上升的高度为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）作于点G，由题意可知，，在中，应用特殊角三角函数值求即可；
（2）记交于点H，由题意推出，在中，求，在中求，则点A上升的高度可解．
【小问1详解】
解：作于点G（图1），
∵O为的中点，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
在中，
∴
∴支点O到小竹竿的距离．
【小问2详解】
解：记交于点H（图2），
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
在中，
，
在中，
m
∴点A上升的高度为．
22. “不倒翁”是我国一种古老的儿童玩具，一经触动就会左右摇摆．某款“不倒翁”的纵截面（沿顶端以垂直于水平面方向截取所得的截面）如图1，它由半圆O和等边三角形组成，直径，半圆O的中点为点C，为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动．
（1）如图1，若，则的长为________（结果保留根号）；
（2）如图2，连接，向右拨动“不倒翁”使，
①猜想与的位置关系并证明；
②点C到的距离为________（结果保留根号）；
（3）当或垂直于时“不倒翁”开始折返．求在一次摆动（由图2到图3）的过程中圆心O移动的距离．
【答案】（1）
（2）①；②
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意得当时，三点在一条直线上，则，得出，最后根据即可解答；
（2）①根据半圆与相切于点，得出，再根据半圆的中点为点，得出，从而得出，根据为等边三角形，得出，证明，即可证出．
②过点作于点于点，则，根据勾股定理求出，则，通过证明四边形为矩形，即可解答；
（3）从滚动到滚动过程中始终与桌面相切，得出圆心到桌面的距离总等于圆的半径，则从滚动到过程中，圆心移动的距离为的长度的2倍，结合，即可解答．
【小问1详解】
解：由题意得：当时，三点在一条直线上，
∵直径，
，
∵为等边三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①．
∵半圆与相切于点，
，
∵半圆的中点为点，
，
∵，
，
∵为等边三角形，
，
，
，
．
②过点作于点于点，如图，
，
，
，
，
∵，
∴四边形为矩形，
∴．
∴点到桌面的距离为，
故答案为：．
【小问3详解】
解：从滚动到（图2-图3）过程中，圆心移动的距离为．
∵拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动，
∴滚动过程中始终与桌面相切，
∴圆心到桌面的距离总等于圆的半径，
∴从滚动到过程中，圆心移动的距离为的长度的2倍，
由（2）①知：，
∴圆心移动的距离．
x
0
1
2
2.5
6.5