精品解析：福建省莆田砺志学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份精品解析：福建省莆田砺志学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列数学图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2. 下列事件中，属于必然事件是（ ）
A. 在一个只装有黑球的箱子里摸到白球
B. 蒙上眼睛射击正中靶心
C. 打开电视机，正在播放综艺节目
D. 在1个标准大气压下，水加热到100摄氏度沸腾
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查随机事件，解题的关键是根据事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件判断即可．
【详解】解：A、在一只装有黑球的箱子里不可能摸到白球，故不符合题意；
B、蒙上眼睛射击正中靶心是随机事件，故不符合题意；
C、打开电视剧，正在播放综艺节目是随机事件，故不符合题意；
D、在1个标准大气压下，水加热到100摄氏度沸腾是必然事件，符合题意；
故选：D．
3. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，此题比较简单，需要同学们熟练掌握．
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解的一元一次方程．
【详解】解：把代入方程可得，
解得，
故选：A．
4. 将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知“上加下减，左加右减”的平移规律是解题的关键．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为，即，
故选B．
5. 如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据旋转的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，最后三角形内角和定理得出，即可得出答案．
【详解】解：∵绕顶点C逆时针旋转得到，且点B刚好落在上，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质；解题的关键是熟练掌握等边对等角．
6. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的内接四边形对角互补，圆心角是对弧的圆周角的2倍计算即可．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，而，
∴，
∴．
故选：B．
7. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，用列表法求出概率即可．
【详解】根据题意，设三个宣传队分别为列表如下：
总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，
则她们恰好选到同一个宣传队的概率是．
故选C
【点睛】本题考查了用列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．
8. 已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识点．过点A作于D，过点B作于E，根据同角的余角相等求出，然后证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，最后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可解答．
【详解】解：如图：过点A作于D，过点B作于E，

设 间的距离为，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在等腰直角中，，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故选：C．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点、均在反比例函数的图象上，若的面积为8，则k的值为（ ）．

A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是求解反比例函数的解析式，如图，过作轴于，过作轴于，证明，再利用面积公式列方程求解即可，熟记反比例函数比例系数的性质是解本题的关键.
【详解】：如图，过作轴于，过作轴于，

∵点、均在反比例函数的图象上，
∴，解得：，
∴，
∴,，，,
∵，
∴，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去）
∴，
故选B
10. 已知抛物线经过点．若，则t的值可以是（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线解析式求得对称轴为直线，结合、的坐标得出当时，随的增大而减小，得出抛物线开口向下，根据抛物线的对称性得出关于对称轴的对称点是，根据二次函数的性质即可判断或．
【详解】解：抛物线经过点，，
对称轴为直线，
，且，
当时，随的增大而减小，
抛物线开口向下，
对称轴为直线，
关于对称轴的对称点是，
，
，
或，
故的值可以是，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是根据题意得出抛物线的开口方向和对称轴．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 抛物线顶点坐标是 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求二次函数的性质，根据抛物线的顶点式直接求得顶点坐标．
【详解】抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
12. 已知扇形的面积为，圆心角为，则它的半径为_________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式，可得答案．
【详解】解：设半径为r，由题意，得
πr2× =12π，
解得r=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了扇形面积公式，利用扇形面积公式是解题关键．
13. 在中，，，，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求余弦，勾股定理，先根据余弦的定义求出，再根据勾股定理即可求解，掌握三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为_______________

【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是：根据垂径定理的推论得，再根据勾股定理得，即可求出答案．
【详解】解：，
，
在中，，
，
．
故答案为：4．
15. 如图，在直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，则不等式的解集是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题是一次函数和反比例函数综合题，利用数形结合的思想求解是解题的关键．只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵一次函数与反比例函数交于、两点，
∴由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为，
∴不等式的解集为或，
故答案为：或．
16. 如图，在矩形中，，，为中点，为边上一动点，将沿折叠，得到，则的最小值为_______________．

【答案】8
【解析】
【分析】首先根据题意得到点在以点M为圆心，以5为半径的圆上，连接交于点，得到当点M，，C三点共线时，有最小值，即的长度，然后利用勾股定理求出，进而求解即可．
【详解】如图所示，

∵为中点，，
∴，
∵将沿折叠，得到，
∴，
∴点在以点M为圆心，以5为半径的圆上，
连接交于点，
∴当点M，，C三点共线时，有最小值，即的长度，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∴的最小值为8．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，圆的概念，解题的关键是得出的轨迹是圆．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）
（2）
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力和二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值．
（1）利用因式分解法求解可得；
（2）根据三角函数的特殊值进行计算即可．
【详解】解：（1）
或
解得：，；
（2）
．
18. 已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】待定系数法求解析式即可．
【详解】解：抛物线过点和，
，
解得：，
抛物线的解析式为：．
【点睛】本题考查求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
19. 如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边的中点，连接AM．
（1）请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使得△DPA∽△ABM；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝4，求DP的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由点P在AM上，△DPA∽△ABM，即得出，即过点D作AM的垂线即可；
（2）根据正方形的性质和勾股定理结合题意可求出，再根据相似三角形的性质可得出，代入数据即可求出PD的长．
【小问1详解】
如图，△APD即为所求．
【小问2详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，AB＝BC＝AD＝4，
∵BM＝MC＝2，
∴．
∵△DPA∽△ABM，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查作图—做垂线，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质．利用数形结合的思想是解题关键．
20. 一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为______；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）
（2）2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出两个球颜色不同的结果数，进而求出概率．
小问1详解】
解：∵一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为： ．
故答案为：；
【小问2详解】
解： 画树状图，如图所示：
共有16种不同的结果数，其中两个球颜色不同的有6种，
∴2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为．
【点睛】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
21. 如图，是直径，点C在上，连接，使．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由直径得到，再结合等边对等角的性质，得到，进而得出，即可证明结论；
（2）先得出，再由圆周角定理，得到，进而得出，最后由阴影部分的面积，即可求出图中阴影部分的面积．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，求不规则图形面积等知识，掌握圆的相关性质和扇形面积公式是解题关键．
22. 为确保身体健康，自来水最好烧开（加热到）后再饮用．某款家用饮水机，具有加热、保温等功能．现将的自来水加入到饮水机中，先加热到．此后停止加热，水温开始下降，达到设置的饮用温度后开始保温．比如事先设置饮用温度为，则水温下降到后不再改变，此时可以正常饮用．整个过程中，水温与通电时间之间的函数关系如图所示．
（1）水温从加热到，需要______；请直接写出加热过程中水温与通电时间之间的函数关系式：______；
（2）观察判断：在水温下降过程中，与的函数关系是______函数，并尝试求该函数的解析式；
（3）已知冲泡奶粉的最佳温度在左右，某家庭为了给婴儿冲泡奶粉，将饮用温度设置为．现将的自来水加入到饮水机中，此后开始正常加热．则从加入自来水开始，需要等待多长时间才可以接水冲泡奶粉？
【答案】（1）4；；
（2）反，
（3）14分钟．
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式，反比例函数的应用，理解题意，正确求出解析式是解此题的关键．
（1）由图可得水温从加热到，需要，设加热过程中水温与通电时间之间的函数关系式为：，将，代入解析式得：，求出的值即可；
（2）观察判断：在水温下降过程中，与的函数关系是反函数，设在水温下降过程中，与的函数关系为，将代入解析式得：，求出的值即可；
（3）在中，当时，，解得：，再由题意列式计算即可．
【小问1详解】
解：由图可得：水温从加热到，需要，
设加热过程中水温与通电时间之间的函数关系式为：，
将，代入解析式得：，
解得：，
加热过程中水温与通电时间之间的函数关系式为：，
故答案为：4，；
【小问2详解】
解：观察判断：在水温下降过程中，与的函数关系是反函数，
设在水温下降过程中，与的函数关系为，
将代入解析式得：，
解得：，
在水温下降过程中，与的函数关系为：，
故答案为：反；
【小问3详解】
解：由题意得：在中，当时，，
解得：，
从加入自来水开始，需要等待的时间为：，
则从加入自来水开始，需要等待14分钟时间才可以接水冲泡奶粉．
23. 根据收集的素材，探索完成任务，展示成果与反思．
素材1：为了了解房屋南北楼间距对采光的影响，经查资料：南北楼间距是指南北向两幢房屋外墙之间水平距离，按国家规范设计必须保证北向房屋在冬至日房子最底层窗户获得不低于1小时的满窗日照而保持的最小间隔距离（即最小楼间距），最小楼间距（表示南面房屋顶部至地面高度，表示北面房屋最底层窗台至地面高度，表示某地冬至日正午时的太阳高度角，，单位为m）．
素材2：温州某小区一期有若干幢大厦，每幢最底层窗台到地面高度均为1.2m．其中有南北两幢大厦，位于南侧的大厦共有15层，每层高为2.8m，小明根据冬至日正午的太阳高度角，算得南北两幢大厦最小楼间距为51m．
素材3：小明住在一期某大厦，因该小区进行二期建房，在她家南向新建了一幢大厦，她在自家离地面32m高的窗台C处测得大厦顶部E的仰角为15.75°和大厦底部A的俯角为30°（如图所示）．

（参考数据：，）
【任务探究】
（1）任务1：该小区冬至日正午时的太阳高度角为，求的值．
（2）任务2：该小区二期新建的大厦高度约为多少m？（结果精确到0.1m）
【成果与反思】
（3）二期新建的大厦共有17层，每层高都相等．按国家规范设计冬至日房子窗户获得不低于1小时满窗日照的标准，请通过计算判断二期建房是否存在违规？如有违规，请提出至少需要拆除几层才能符合国家规范设计．
【答案】（1）
（2）
（3）违规，至少要拆除一个楼层
【解析】
【分析】（1）根据公式最小楼间距进行计算即可求解；
（2）由题意得，，进而求得，然后大厦高，即可求解；
（3）由最小楼间距，可得二期房屋存在违规建设．设应拆除x个楼层，而每个楼层高为，根据题意列出不等式，即可求解．
【小问1详解】
解：由公式得，
∴．
【小问2详解】
由题意得，
∴，
∴，
∴大厦高．
【小问3详解】
解：由最小楼间距，
∴二期房屋存在违规建设．
设应拆除x个楼层，而每个楼层高为，
则，化简得，
∵x为正整数，
∴x至少为1，所以至少要拆除一个楼层．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，不等式的应用，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
24. 如图，在正方形中，、分别为边、的中点，连接、交于点．
（1）求证：；
（2）如图，连接，，交于点．
①求证：；
②若，求三角形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质可得，，，由可证，可得，由余角的性质可得结论；
（2）①过点作于，由可证，可得，，由平行线分线段成比例可得，由勾股定理可得结论；
②由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由相似三角形的性质可求的长，由三角形的面积可求解．
【小问1详解】
证明：正方形，、分别为边、的中点，
，，，
，
和中，
，
，
；
【小问2详解】
解：①如图，过点作于，
，，，
，，
，
∴，
，且，
，
，
，
；
②，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
，且，
，
．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
25. 已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线过点P(0，﹣1)，求a与b的关系式，并求a+b的最大值；
（2）已知点P1(﹣2，﹣1)，P2(2，1)，P3(2，﹣1)中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：y＝kx﹣1与抛物线交于M，N两点，过MN中点C作x轴垂线交直线y＝1于点Q，求证MQ⊥NQ．
【答案】（1）a＝﹣，a+b有最大值为1
（2）①y＝﹣x2；②见解析
【解析】
【分析】（1）将点P的坐标代入解析式中，由抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点得出a和b的关系式，即可求出a+b的最大值；
（2）①由题意得出抛物线与x轴只有一个交点，所以抛物线上的点在x轴同一侧，即两点只能为P1，P3，即可求出抛物线的解析式；
②设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2＝﹣4k，x1•x2＝﹣4，MN＝4（k2+1），而MN中点点C，可得C（﹣2k，﹣2k2﹣1），QC＝2（k2+1），即得QC＝MN＝MC＝NC，从而∠CQM＝∠CMQ，∠CQN＝∠CNQ，故∠MQN＝90°，MQ⊥NQ．
小问1详解】
解：把P（0，﹣1）代入解析式得：c＝﹣1，
∴y＝ax2+bx﹣1，
又∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴∆＝b2+4a＝0，即a＝﹣，
∴a+b＝﹣+b＝﹣（b﹣2）2+1，
∴当b＝2时，a+b有最大值为1；
【小问2详解】
解：①∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴抛物线上的点在x轴的同一侧或x轴上，
∴抛物线上的点为P1，P3，
又∵P1（﹣2，﹣1），P3（2，﹣1）关于y轴对称，
∴顶点为原点（0，0），
设解析式为y＝ax2，
把P1（﹣2，﹣1）代入得：﹣1＝4a，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2；
②如图：
设M（x1，y1），N（x2，y2），
由得x2+kx﹣1＝0，
∴x1、x2是x2+kx﹣1＝0的二实数根，
∴x1+x2＝﹣4k，x1•x2＝﹣4，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝16k2+16，
（y1﹣y2）2＝[（kx1﹣1）﹣（kx2﹣1）]2＝k2（x1﹣x2）2＝16k4+16k2，
∴MN＝，
∵MN中点是点C，
∴C（），
而x1+x2＝﹣4k，y1+y2＝kx1﹣1+kx2﹣1＝k（x1+x2）﹣2＝﹣4k2﹣2，
∴C（﹣2k，﹣2k2﹣1），
∵过C作x轴垂线交直线y＝1于点Q，
∴Q（﹣2k，1），
∴QC＝1﹣（﹣2k2﹣1）＝2（k2+1），
∴QC＝MN＝MC＝NC，
∴∠CQM＝∠CMQ，∠CQN＝∠CNQ，
又∠CQM+∠CMQ+∠CQN+∠CNQ＝180°，
∴2∠CQM+2∠CQN＝180°，
∴∠CQM+∠CQN＝90°，即∠MQN＝90°，
∴MQ⊥NQ．
【点睛】此题考查了抛物线上点的坐标，抛物线与x轴交点问题，最值问题，求抛物线的解析式，抛物线的对称性，勾股定理，求直线与抛物线的交点，一元二次方程的根与系数的关系，是一道几何与代数部分的综合题，熟练掌握各知识点并应用是解题的关键．
小华\小丽