江苏省南京市2024-2025学年高二上学期10月六校联合调研数学试题

这是一份江苏省南京市2024-2025学年高二上学期10月六校联合调研数学试题，共9页。试卷主要包含了已知复数满足，则，设为实数，已知直线，若，则，已知，则，关于椭圆有如下结论等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知复数满足，则（ ）
A. B. C.3 D.5
2.设为实数，已知直线，若，则（ ）
A.6 B. C.6或 D.或3
3.已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ）
A. B. C.12 D.
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.3
5.设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（ ）
A. B. C.1 D.
6.已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（ ）
A. B. C. D.
8.关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.国庆期间，某校开展“弘扬中华传统文化，传承中华文明”主题活动知识竞赛.赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年级和高二年级学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（ ）
A.
B.高一年级抽测成绩的众数为75
C.高二年级抽测成绩的70百分位数为87
D.估计高一年级学生成绩的平均分低于高二年级学生成绩的平均分
10.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
11.已知圆C：，以下四个命题表述正确的是（ ）
A.若圆与圆C恰有3条公切线，则
B.圆与圆C的公共弦所在直线为
C.直线与圆C恒有两个公共点
D.点为轴上一个动点，过点作圆C的两条切线，切点分别为，且的中点为，若定点，则的最大值为6
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
12.从分别写有的五张卡片中任取两张，则抽到的两张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为__________.
13.已知为椭圆上的点，，则线段长度的最小值为__________.
14.已知，点是直线上的动点，若恒成立，则正整数的最小值是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
记的内角的对边分别为，且.
（1）求角；
（2）若的面积为，求的周长.
16.（本小题满分15分）
如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，是的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
17.（本小题满分15分）
某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为.
（1）求的值；
（2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率.
18.（本小题满分17分）
已知圆过点，圆心在直线上，且直线与圆相切.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线交圆于两点.若为线段的中点，求直线的方程.
19.（本小题满分17分）
已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右顶点，､分别为椭圆的左､右焦点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线，的斜率分别为.
（i）求的值；
（ii）若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，说明理由.
2024-2025学年第一学期10月六校联合调研参考答案及评分标准
高二数学
一､单项选择题
1.B 2.A 3.C 4.B 5.C 6.C 7.D 8.C
二.多项选择题
9.ABD 10.AC 11.BCD
三､填空题
12. 13. 14.4
四､解答题
15.解：（1）因为，所以.
根据正弦定理，得，
因为，所以.
又，所以.
（2）在中，由已知，
因为
由余弦定理可得，即7，
即，又所以.
所以的周长周长为.
16.解：
（1）证明：因为是一条母线，所以平面，
而平面则
因为是底面一条直径，C是的中点，所以，即，
又平面且，
所以平面，而平面，则平面平面.
（2）设，则，
因为C是的中点，为底面圆心，所以平面，
作，交于点连接，
由可知，是二面角的平面角.
则，即，在直角中，.
所以.
故二面角的余弦值为.
17.解：（1）由题意得，
解得.
（2）比赛结束后，甲､乙个人得分可能为.
记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，
相互独立，
记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E，
则，且彼此互斥.
易得.
，
所以
所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为.
18.解：（1）法1：（待定系数法）
设圆M的方程为，
因为圆过点，所以，
又因为圆心在直线上，所以②，
直线与圆M相切，得到③，
由①②③解得：因此圆的方程为
法2：（几何性质）
因为直线与直线垂直，
又因为圆心在直线上，联立方程，解得
设两直线的交点为，由圆的几何性质，点在圆上，且为直线与圆的切点，
又因为圆过点，且所以圆心在直线上，又圆心也在直线上，
联立方程，解得，故圆心，
所以半径，因此圆M的方程为
（2）设，因为A为线段BD的中点，所以，
因为在圆上，所以，解得或
当时，直线的方程为；
当时，故直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
19.解：（1）由于椭圆的离心率为，
故，又，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）设与轴交点为，由于直线交椭圆C于两点（在轴的两侧）
，故直线的的斜率不为0，直线的方程为，
联立，则，
则
设，则，
又
故，
（ii）由（i）得.
因为，则.
又直线交与轴不垂直可得，所以，即
所以，
于是
整理得，解得或，
因为在轴的两侧，所以，
又时，直线与椭圆有两个不同交点，
因此，直线恒过点.