2023-2024学年河北省秦皇岛市安丰高级中学高三（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年河北省秦皇岛市安丰高级中学高三（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={y|y=x,x>0}，B={x∈N||2x−3|≤1}，则A⋂B=( )
A. {0,1,2}B. {1,2}C. {1,2,3}D. {2,3}
2.复数z=2+i(i+1)2−i在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知圆台的轴截面为上底为4，下底为8的等腰梯形，且圆台的母线长为4，则圆台的高为( )
A. 3B. 3C. 2 3D. 4
4.在数列{an}中，已知a1=1，且an+1+an=2n，则其前31项和S31的值为( )
A. 361B. 423C. 481D. 523
5.现在流行网约车出行，已知某人习惯在A，B，C三个网约车平台打车，且根据以往经验，在A，B，C三个网约车平台能顺利打到车的概率分别为12，13，16.已知此人先选择A平台打车，若不能顺利打到车，则进而选择B平台，最后选择C平台．则此人在一次出行中，能顺利打到车的概率为( )
A. 34B. 56C. 1318D. 712
6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)单调递增，则f(ex−1)+f((1−e)x)0，圆C：(x−m)2+(y−3m−1)2=4m2与直线l：y=kx+b(k>0)恒相切，则直线l的斜率是( )
A. 2 6−33B. 2 6+33C. 2 3−23D. 2 3+23
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(x,2−x)，b=(−1,−x)，则( )
A. 若a//b，则x=−2或1
B. 若a⊥b，则x=0或−3
C. 若|a|=|b|，则x=1或3
D. 若x=−1，则向量a，b夹角的余弦值为 55
10.若a=20.01，c=lg3，且a>b>c.则b可能是( )
A. 2−0.5B. 2lg2C. ( 3)−1D. 30.02
11.刘女士的网店经营坚果类食品，2019年各月份的收入、支出(单位：百元)情况的统计如图所示，下列说法中正确的是( )
A. 4至5月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同
B. 支出最高值与支出最低值的比是5：1
C. 第三季度平均收入为5000元
D. 利润最高的月份是3月份和10月份
12.已知函数ft(x)=lnxxt(t∈R,t≠0)，则下列判断不正确的是( )
A. 直线y=ex−1与曲线y=ft(x)相切
B. 函数ft(x)只有极大值，无极小值
C. 若t1与t2互为相反数，则ft1(x)的极值与ft2(x)的极值互为相反数
D. 若t1与t2互为倒数，则ft1(x)的极值与ft2(x)的极值互为倒数
三、填空题：本题共4小题，共18分。
13.在(x−2 x)12的展开式中，有理项的个数为______．
14.已知三角函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(0,π2))的图象关于(φ,0)对称，且其相邻对称轴之间的距离为π2，则φ= ______．
15.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AB=2，AP= 5，则三棱锥P−ABC的外接球的体积为 ．
16.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 3，虚轴长为2 6，F1，F2为左、右焦点，则焦点F2
到渐近线的距离为______；设点B为⊙P：x2−2x+y2−4y+1=0上一点，动点A为双曲线左支上一点，
则|AF2|+|AB|的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
在等差数列{an}中，已知a1=1，公差d>0，其前n项和Sn满足4Sn=n(an+an+1).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{an⋅2an}的前n项和为Tn，求Tn的表达式．
18.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且满足S= 34(a2+b2−c2)．
(Ⅰ)求角C的大小；
(Ⅱ)求sinA⋅sinB的最大值．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AB⊥AD，PA⊥底面ABCD，且PA= 2AB= 2BC,AD=2BC,E,F分别为PB，PC中点．
(1)证明：EF//平面PAD；
(2)求平面AEF与平面PBC所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
甲、乙两人玩一个掷骰子游戏，游戏规则如下：两人轮流掷骰子，甲先掷，规定甲、乙各掷一次为一个回合.n个回合之后，先掷出点数之和为3的倍数的人获胜；若同时掷出3的倍数，则甲、乙平局.如：若甲第一次掷出2，乙第一次掷出3，则乙获胜；若甲第一次掷出2，第二次掷出4，乙第一次掷出1，第二次掷出5，则甲乙平局.若分出胜负或平局，则游戏结束．
(1)试计算恰好3个回合之后甲乙平局的概率；
(2)若两人约定最多只玩2个回合，2个回合之后，无论游戏结果如何，都结束游戏.试计算游戏回合数的数学期望．
21.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x29+y25=1的左焦点为F，E为椭圆C上的动点(异于左顶点)，定点D(−32,0)在x轴上，点P满足EP=2PD，直线FP与椭圆C交于A，B两点．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)证明：P为AB中点．
22.(本小题12分)
设函数f(x)=ex+ax+1−34a(x∈(−1,+∞))，其中e是自然对数的底数，e≈2.71828⋯．
(1)若a=1，求f(x)的最小值；
(2)若a∈(0,4e)，证明：f(x)>0恒成立．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.C
5.C
6.B
7.B
8.A
9.AC
10.ABC
11.ACD
12.ABD
13.7
14.π3
15.9π2
16. 6 2 5+2 3−2
17.解：(1)根据题意，当n=1时，4S1=4a1=a1+a2，
又a1=1，则4=1+a2，解得a2=3，
所以等差数列{an}的公差d=a2−a1=3−1=2，
所以an=1+2(n−1)=2n−1；
(2)由(1)可知an⋅2an=(2n−1)⋅22n−1=12[(2n−1)⋅4n]，
则Tn=12[1×41+3×42+…+(2n−1)⋅4n]，
所以4Tn=12[1×42+3×43+…+(2n−1)⋅4n+1]，
两式相减得−3Tn=12[4+2(42+43+…+4n)−(2n−1)⋅4n+1]，
则−3Tn=2+(42+43+…+4n)−2n−12⋅4n+1
=2+42(1−4n−1)1−4−2n−12⋅4n+1=−103−−2n+16⋅4n+1，
所以Tn=109+2n−118⋅4n+1．
18.解：(I)S=12absinC= 34(a2+b2−c2)，所以sinC= 3⋅a2+b2−c22ab= 3csC，
故tanC= 3，又因为C∈(0,π)，所以C=π3．
(II)sinAsinB=sinA⋅sin(A+C)=sinA⋅(12sinA+ 32csA)=12sin2A+ 32sinAcsA
=12⋅1−cs2A2+ 32⋅sin2A2= 34sin2A−14cs2A+14=12sin(2A−π6)+14，
当2A−π6=π2，A=π3时，sin(2A−π6)有最大值1，
故sinAsinB的最大值为34．
19.(1)证明：∵E，F分别为PB，PC的中点，
∴EF/​/BC．
在直角梯形ABCD中，∵AD/​/BC，∴AD//EB，
又AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
∴EF/​/平面PAD；
(2)解：由PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，得PA⊥AB，PA⊥AD，又AB⊥AD，
建立如图空间直角坐标系，设AB=2，
则B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2 2),D(0,4,0)，E(1,0, 2),F(1,1, 2)，
∴AE=(1,0, 2),AF=(1,1, 2),PC=(2,2,−2 2),PB=(2,0,−2 2)，
设平面AEF的法向量为m=(x1,y1,z1)，
则m⋅AE=x1+ 2z1=0m⋅AF=x1+y1+ 2z1=0，
取x1= 2，则z1=−1，y1=0，即m=( 2,0,−1)，
设平面PBC的法向量为n=(x2,y2,z2)，
则n⋅PC=2x2+2y2−2 2z1=0n⋅PD=2x2−2 2z2=0，
取z2= 2，则x2=2，y2=0，即n=(2,0, 2)，
设平面AEF与平面PBC所成角为θ，
则|csθ|=|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m|⋅|n|=|2 2− 2| 2+1⋅ 4+2=13，
∴sinθ= 1−cs2θ=2 23．
20.解：(1)设a∈{1,4}，b∈{2,5}，c∈{3,6}，
则3个回合之后，每人恰好第一次出现3的倍数的情况为三次都掷出a，
三次都掷出b，或者a，b，c各掷出一次，且c在第二次，
∴3个回合之后，每人恰好第一次出现3的倍数的概率为P=(13)3+(13)3+2×(13)3=427，
∴3个回合后恰好平局的概率P=(427)2=16729．
(2)设游戏回合数为随机变量X，则X的可取值为1，2，
则P(X=1)=13+23×13=59，
P(X=2)=1−59=49，
则E(X)=1×59+2×49=139．
21.解：(1)设P(x,y)，因为EP=2PD，D(−32,0)，
所以EP=2(−32−x,−y)，
所以E(3x+3,3y)，又E在椭圆上且异于椭圆左顶点，
所以3x+3≠−3，(3x+3)29+(3y)25=1，
所以点P的轨迹方程为(x+1)2+9y25=1(x≠−2)；
(2)证明：易知直线AB的斜率存在，设直线AB：y=k(x+2)，
联立y=k(x+2)x29+y25=1，化简得(9k2+5)x2+36k2x+36k2−45=0，
所以xA+xB=−36k29k2+5，
联立y=k(x+2)(x+1)2+9y25=1，
化简得(9k2+5)x2+(36k2+10)x+36k2=0，
即(x+2)[(9k2+5)x+18k2]=0，解得：xP=−18k29k2+5，
显然xP=xA+xB2，所以P为AB中点．
22.解：(1)当a=1时，f(x)=ex+1x+1−34，
所以f′(x)=ex−1(x+1)2，(x>−1)，
令p(x)=f′(x)=ex−1(x+1)2，(x>−1)，
p′(x)=ex+2(x+1)3>0，(x>−1)，
所以f′(x)单调递增，又f′(0)=0，
所以当x∈(−1,0)时，f′(x)0，f(x)单调递增，
所以f(x)min=f(0)=54．
(2)证明：设g(a)=f(x)=(1x+1−34)a+ex=1−3x4(x+1)a+ex，
若x∈(−1,13]，则1−3x4(x+1)a>0，
所以g(a)≥g(0)=ex>1，
若x∈(13,+∞)，则1−3x4(x+1)a>1−3x4(x+1)⋅4e，
所以g(a)≥g(4e)=ex+4ex+1−3e，
设ℎ(x)=ex+4ex+1−3e，
则ℎ′(x)=ex−4e(x+1)2，
令q(x)=ℎ′(x)=ex−4e(x+1)2，
q′(x)=ex+8e(x+1)3>0，
所以ℎ′(x)单调递增，又ℎ′(1)=0，
所以x∈(13,1)时，ℎ′(x)0，ℎ(x)单调递增，
所以ℎ(x)min=ℎ(1)=0，
所以x∈(−1,+∞)，g(a)>0，即f(x)>0．