六年级上册数学培优奥数讲义-第17讲 与圆有关的组合图形1

这是一份六年级上册数学培优奥数讲义-第17讲 与圆有关的组合图形1，共8页。
知识装备
由圆（或圆的部分）与多边形组合而成的图形，在进行面积计算时，除了计算几部分面积的和或计算图形中去掉某些部分的面积所得的差外，还可以根据图形特点，进行移补、比较或其他的处理，往往能使问题变得更加简便。
初级挑战1
下图半圆的直径是8厘米，正方形的边长是4厘米，求图中阴影部分的面积之和。

图中有两个阴影部分，左边是边长4厘米的正方形减去扇形，右边是圆的弧所成的弓形，但是把两部分移补到一起，如下图，求阴影部分的面积就转化为求三角形的面积了。
答案： 4×4÷2＝8（平方厘米）
能力探索1
求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
8
8
答案：阴影部分的面积：8×8÷2÷2＝16（平方厘米）
初级挑战2
下图正方形的边长是18厘米，图中的圆弧都是直径为18厘米的圆的一部分，求图中阴影部分的面积之和。
观察图形，看能否把阴影部分适当分割移补，使得问题易于解决。
如图所示把上面的阴影部分按虚线分成两块，分别按箭头方向移到下面，那么阴影部分刚好可以凑成一个长方形。
答案：18×18÷2＝162（平方厘米）
能力探索2
图中圆的半径为5厘米，求阴影部分的面积。（单位：厘米）
答案：5×5÷2＋10×10÷2÷2＝37.5（平方厘米）
中级挑战1
下图四个同样大小的圆的圆心，正好能连接成一个边长为12厘米的正方形，
图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
：
正方形中的空白部分是4个小扇形，每个扇形相当于一个圆的。把每个圆中的一个圆移入这4个扇形中，连同中心的阴影部分正好就是中间的正方形(如下图所示)。那么阴影部分的面积就转化为2个圆的面积与正方形的面积之和。
答案：阴影部分的面积等于4个半圆即2个圆的面积与正方形面积的和， 2×3.14×(12÷2)2＋12×12＝370.08（平方厘米）
答：图中阴影部分的面积是370.08平方厘米。
能力探索3
下图是六个半径为5厘米的圆，它们的圆心，正好能连接成一个长方形，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
答案：如图，把扇形移入中间空白部分，阴影部分变为长方形的面积加上2个圆的面积。面积为：（5×4）×（5×2）＋5×5×3.14×2＝357（平方厘米）
中级挑战2
下图中三个扇形所在圆的面积都是200平方分米，求阴影部分的面积。
思路：三个扇形所在圆的面积都是200平方分米，说明三个圆的半径都是相等的，而三角形三个内角的和是180°，如果将图中三处阴影部分拼在一起，正好是半个圆。
答案：200÷2＝100（平方分米）
能力探索4
图中每个圆的半径都是6分米，求阴影部分的面积。
答案：3.14×6×6＝113.04（平方分米）
聪明泉
数学家赵爽
赵爽，三国时期东吴的数学家。曾注《周髀算经》，他所作的《周髀算经》中有一篇《勾股圆方图注》，全文五百余字，并附有数幅插图（已失传），这篇注文，简练地总结了东汉时期勾股算术的重要成果，最早给出并证明了有关勾股弦三边及其和、差关系的二十多个命题，他的证明主要就是依据几何图形面积的换算关系。
拓展挑战
如图所示，求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
思路：
以两个扇形连接点为中心点，把图的右半部分顺时针旋转180度后，阴影部分的面积就变成从半径为10厘米的半圆面积中，减去直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。所以阴影部分的面积为：3.14×102× EQ \F(1,2) －102× EQ \F(1,2) ＝107（平方厘米）
能力探索5
如图所示，求阴影部分的面积。（单位：厘米）
答案：如图，作已知图形的对称图，使图形面积扩大到原来的2倍，所求阴影部分的面积为现在阴影部分面积的一半。
现在阴影部分为半径为6厘米的圆减去底、高都为6厘米的等腰直角三角形。
因此，所求部分的面积为：
（3.14×6×6÷4－6×6÷2）÷2＝5.13（平方厘米）
课堂小测
1、下图半圆的直径是10厘米，正方形的边长是5厘米，求阴影部分的面积之和。
答案： 5×5÷2＝12.5（平方厘米）
2、四个同样大小的圆的圆心正好连接成一个边长为14厘米的正方形（如下图），求图中的阴影部分的面积。
答案：（平方厘米）
3、如图，圆、圆、圆的半径都是2厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
答案：×3.14×2＝6.28（平方厘米）
4、下图大、中、小圆的直径分别是40厘米、30厘米、20厘米，大圆的两条直径垂直相交于三个圆的圆心，求图中阴影部分的面积。
答案：(平方厘米)
课后作业
1、右图在半径为20厘米的圆内有两个直径为20厘米的半圆，求图中阴影部分的面积。
答案:200平方厘米；提示：如右图连线后把两弓形旋转可得阴影部分正好相当于直角边长为20厘米的等腰直角三角形的面积，为20×20÷2=200（平方厘米）
2、如图，求阴影部分的面积。（单位：厘米）
答案：16×8－3.14×8×8÷2＝27.52（平方厘米）
3、如图，大圆的半径为6厘米，小圆的半径为4厘米，求阴影部分的面积。
答案：（π×6²－π×4²）＝31.4（平方厘米）