高考数学一轮复习：9统计与概率-专题2练习（题型归纳与重难专题突破提升）

这是一份高考数学一轮复习：9统计与概率-专题2练习（题型归纳与重难专题突破提升），文件包含专题92二项式定理原卷版docx、专题92二项式定理解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc154053864" 题型二： 求形如(a＋b)m(c＋d)n形式的指定项 PAGEREF _Tc154053864 \h 5
\l "_Tc154053865" 题型三： 三项式的展开式 PAGEREF _Tc154053865 \h 7
\l "_Tc154053866" 题型四： “二项式系数”与“项的系数”的最值问题 PAGEREF _Tc154053866 \h 8
\l "_Tc154053867" 题型五： “二项式系数”与“项的系数”的和 PAGEREF _Tc154053867 \h 10
知识点总结
二项式定理
二项式系数的性质
(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这一性质可直接由eq \a\vs4\al(C\\al(m,n)＝C\\al(n－m,n))得到. 直线r＝eq \f(n,2)将函数f(r)＝Ceq \\al(r,n)的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.
(2)增减性与最大值：当keq \f(n＋1,2)时，Ceq \\al(k,n)随k的增加而减少. 如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项，即T eq \s\d8(eq \a\vs4\al(\f(n,2)＋1)) 的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项T eq \s\d8(eq \a\vs4\al(\f(n＋1,2))) 与T eq \s\d8(eq \a\vs4\al(\f(n＋1,2)＋1)) 的二项式系数相等且最大.
(3)各二项式系数的和：Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1.
杨辉三角的性质
(1)最外层全是1，第二层(含1)是自然数列1,2,3,4，…，第三层(含1,3)是三角形数列1,3,6,10,15，….
(2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即Ceq \\al(r,n)＝Ceq \\al(n－r,n).
(3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即Ceq \\al(r,n)＝Ceq \\al(r－1,n－1)＋Ceq \\al(r,n－1).
(4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋….
(5)第n行所有数的和为2n，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
(6)自左(右)腰上的某个1开始平行于右(左)腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜左(右)下方的那个数．
例题精讲
求(a＋b)n形式的“特定项”
【要点讲解】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：①求展开式中的特定项，可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可；②已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数值，再由通项写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其系数. 注意“二项式系数”与“项的系数”的区别，不能混淆．
在的展开式中，的系数为 24 ．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为，，1，2，3，4，
令，解得，
所以的系数为．
故答案为：24．
若的展开式中共有个有理项，则的值是
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：的展开式通项公式为：，，1，2，3，4，5，6，7，8，
当，4，8时，，，为有理项，
故．
故选：．
“”是“的二项展开式中存在常数项”的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【解答】解：由题意，展开式的通项为：，
当时，，展开式的第五项为常数项，充分性成立；
当时，展开式中存在常数项，如，，故必要性不成立，
所以“”是“的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件．
故选：．
已知的展开式中各项系数之和为0，则展开式中的系数为
A．28B．C．45D．
【解答】解：令，则展开式中各项系数之和为，解得，
所以的展开式的通项公式为，
令，则，
所以展开式中的系数为．
故选：．
二项式的展开式中含项的系数是
A．6B．C．D．12
【解答】解：因为二项式的展开式通项为，
令，则，
所以二项式的展开式中含项的系数为．
故选：．
在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中项的系数
A．15B．54C．12D．
【解答】解：由于二项式系数的和是16，故，解得，
故，
当时，展开式中项的系数为．
故选：．
的展开式中项的系数是
A．B．C．D．
【解答】解：根据的展开式的通项公式为，
令，可得，故展开式中项的系数是．
故选：．
求形如(a＋b)m(c＋d)n形式的指定项
已知展开式中的系数为48，则实数
A．1B．C．2D．
【解答】解：展开式的通项公式为，，1，，
令，则，
令，则，
展开式中的系数为，解得．
故选：．
展开式中含的系数是
A．28B．C．84D．
【解答】解：展开式的通项为，，1，2，，9，
当选取时，由已知可得，应选取展开式中含的项，
由，可得；
当选取时，由已知可得，应选取展开式中含的项，
由，可得；
当选取1时，由已知可得，应选取展开式中含的项，
由，可得，
所以展开式中含的系数是．
故选：．
展开式中的系数为
A．56B．C．64D．
【解答】解：的二项展开式满足，
当时，系数为，
当时，系数为，
故展开式中的系数为．
故选：．
二项式展开式中的系数为
A．120B．135C．D．
【解答】解：二项式，
故它的展开式中的系数．
故选：．
已知的所有项的系数和为3，则的系数为
A．80B．40C．D．
【解答】解：由题意令中即可得到，解得，
此时变为了，若要得到这一项分以下两种情形：
情形一：第一步若取中的，则第二步只能取1个中的，取3个中的，
所以由分步乘法计数原理以及组合数可知情形一所对应的的系数为；
情形二：第一步若取中的，则第二步能取2个中的，取2个中的，
所以由分步乘法计数原理以及组合数可知情形二所对应的的系数为．
因此由分类加法计数原理可知的展开式中的系数为．
故选：．
三项式的展开式
【要点讲解】某些三项或三项以上的展开问题，根据式子的特点，可通过变形转化为二项式，再用二项式定理求解. 转化的方法通常为配方、因式分解.
在的展开式中，的系数为
A．60B．15C．120D．30
【解答】解：在的展开式中，含的项为，
故含的系数为，
故选：．
的展开式中，的系数为
A．B．60C．D．120
【解答】解：因为
，所以
的展开式通项为，
令，得，则的系数为．
故选：．
的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有
A．72项B．75项C．78项D．81项
【解答】解：由题设，多项式展开式各项形式为，
且，，，且都为整数），
故问题等价于将2个隔板和11个小球分成三组，
即．
故选：．
在的展开式中，的系数是
A．24B．32C．36D．40
【解答】解：根据题意，的项为：．
故的系数是40．
故选：．
“二项式系数”与“项的系数”的最值问题
【要点讲解】求二项式系数最大项，如果n是偶数，则中间一项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大；如果n是奇数，则中间两项（第eq \f(n＋1,2)项与第eq \f(n＋1,2)＋1项）的二项式系数相等并最大.
已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为
A．B．C．D．
【解答】解：展开式中只有第5项是二项式系数最大，则，
展开式的通项为，
则该展开式中各项系数，
若求系数的最小值，则为奇数且，解得，
系数的最小值为．
故选：．
的展开式中各项系数的最大值为
A．112B．448C．896D．1792
【解答】解：该二项式的通项公式为，
由，可得．
因为，
所以展开式中各项系数的最大值为．
故选：．
设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：由题知，
（2），
因为存在常数项，
所以，所以，
为正整数，
故时，最小，为3，
故选：．
已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，求的展开式中：
（1）所有二项式系数之和．
（2）系数绝对值最大的项．
【解答】解：的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，
则，解得，
（1）的展开式中所有二项式系数之和为；
（2）的展开式中系数的绝对值最大的项，即的展开式中系数的最大的项，
的展开式的通项公式为，
，即，解得，
，
，
系数绝对值最大的项为．
已知．
（1）若其展开式中第5项和第6项的二项式系数相等，求；
（2）若展开式中存在常数项，求的最小值．
【解答】解：（1）由题意，；
（2）展开式通项为，
令，可得，
时，有最小正整数值5．
“二项式系数”与“项的系数”的和
【要点讲解】(1)①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法. 对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可. ②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq \f(f1＋f－1,2)，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq \f(f1－f－1,2).
(2)对于展开式中含有(m＋x)因式的展开问题的一般策略是①“换元法”，即令(m＋x)＝t，则x＝t－m，再将x＝t－m代入，即可转化为关于t的二项式，进而求解；②“整体代入”法，实质是和“换元法”一致的，即将(m＋x)看成一个“因子”，左右两端都转化为有(m＋x)的因式即可求解．
已知．
（1）求的值；
（2）求的展开式中含项的系数．
【解答】解：（1）令得，①
令得，②，
①②得，
即；
（2）由题知展开式通项为，
则，，
所以的展开式中含项的系数．
已知，其中．
（1）求实数的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）根据二项展开式，
当时，，
解得；
（2）当时，，
当时，；
故．
已知在的展开式中，前3项的系数分别为，，，且满足．
（Ⅰ）求展开式中各项的二项式系数的和；
（Ⅱ）求展开式中系数最大的项；
（Ⅲ）求展开式中所有有理项．
【解答】解：的展开式通项公式为：，，1，2，，
则，，，
，解得，
（Ⅰ）展开式中各项的二项式系数的和；
（Ⅱ）记第项系数为，记第项系数最大，则有，且，
又，于是，解得，
所以系数最大项为第3项和第4项；
（Ⅲ）通项，
令，1，2，，所以只有当，6时，对应的项才为有理项，
有理项为，．
从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，再解决补充完整的题目．
已知，且的二项展开式中，____．
（1）求的值；
（2）①求二项展开式的中间项；
②求的值．
【解答】解：（1）若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是，则有，
化简可得，求得或（舍去）．
若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36，则有，
化简可得，求得或（舍去）．
（2）由（1）可得，①的二项展开式的中间项为．
②易知，、、、、为正数，、、、为负数．
在中，令，可得．
再令，可得，
．
在二项式的展开式中，_______，给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；
②所有偶数项的二项式系数的和为256；
③若展开式中第7项为常数项．
试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求展开式中系数最大的项；
（2）求展开式中的常数项．
（备注：如果多个条件分别解答，按第一个条件计分）
【解答】解：选择①：，即，
即，解得或（舍去）．
选择②：，即，解得．
选择③：，则有，所以．
因为展开式中第7项为常数项，即，所以．
（1）展开式中系数最大的项为第5项，，
（2）展开式的通项为，
令，
，
展开式中常数项为第7项，常数项为．
在二项式的展开式中，
（1）若，求展开式中的有理项；
（2）若第4项的系数与第6项的系数比为，求：
①二项展开式中的各项的二项式系数之和；
②二项展开式中的各项的系数之和．
【解答】解：（1）若，在二项式的展开式中，
通项公式为，令为整数，可得，3，6，
故展开式中的有理项为，，．
（2）第4项的系数与第6项的系数比为，
，二项式为，
二项展开式中的各项的二项式系数之和为．
令，可得二项展开式中的各项的系数之和为1．
二项式
定理
(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)
二项
展开式
Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b1＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二项展开式
通项
Ceq \\al(k,n)an－kbk叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1项，可记做Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－k·bk(k＝0,1,2，…，n)
二项式
系数
各项的系数Ceq \\al(k,n)(k＝0,1,2，…，n)