湖北省十一校2025届高三上学期12月第一次联考数学试题含答案

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1.【答案】C
【解答】集合 A={-1,-2,-3},B={x+y∣x∈A,y∈A}={-2,-3,-4,-5,-6} 故 A∩B={-2,-3} . 2.【答案】A
【解答】由 z+1-iz=1+2i ,则 1-iz=2i ,即 z=1-i2i=i⋅1-i2i⋅i=1+i-2=-12-12i
3.【答案】A
【解答】由题意 b⋅aa⋅aa=-4tt2a=2a ,解得 t=-2 .
4.【答案】C
【解答】由图可得 1-0.05×1=0.95,1-0.05+0.15×1=0.80,0.800 相切,因此直线 x=±m,y=±3 所围成矩形的外接圆 x2+y2=3+m 即为椭圆 x2m+y23=1 的蒙日圆,由 A、B 为椭圆 x2m+y23=1 上任意两个动点,动点 P 满足 ∠APB 为锐角,得点 P 在圆 x2+y2=3+m 外,又动点 P 在直线 x-2y-6=0 上,因此直线 x-2y-6=0 与圆 x2+y2=3+m 相离,则
-612+-22>3+m
得 m0 ,所以 fx 的单调递增区间为 0,1,1,+∞ ,
A 中,令 a=1e,b=e ,得 f1e=-2+2ee-1>0,fe=-2e-1fe ,所以 A 错误;
B 中,由已知得 f1x+fx=-2+2x-2x-1=0 ,充分性得证,所以 B 正确;
C 中, fx 有两个零点 x1,x2 ,方程 fx=x1 与 fx=x2 分别有两个实数解, C 正确;
D 中,由 fa-1>fa ,即 fa-1-fa=ln1-1a-2a-2a-1 ,
令 gx=lnx+1x-1,x∈0,1 ,可得 g'x=1x-1x2=x-1x2g1=0 ,即 lnx>1-1x ,
因为 a∈1,2 ,可得 1-1a∈0,12 ,所以 ln1-1a>1-aa-1 ,
得 fa-1-fa>1-aa-1-2a-2a-1=-aa-1a-2>0 ,所以 fa-1>fa,D 正确.
11.【答案】 ACD
【解答】设 P 点坐标为(x, y),则曲线 C:x-22+y2⋅x+22+y2=4 , A 正确;
B 中,若 PF1=PF2 ,则 PF1=PF2=2 ,这样的 P 点只有 1 个,即为原点, B 错误;
C 中,由 x-22+y2⋅x+22+y2=4 得, x-22+y2⋅x+22+y2=16
整理得, x2+y22=8x2-y2 ,所以 x2+y2=8x2-y2x2+y2≤8,OP≤22,C 正确;
D 中,从双纽线的图形上,可以观察有四个点处切线的斜率为 0,
另外,由 x2+y22=8x2-y2 得 y2=4x2+1-x2+4 ,则 2y⋅yx'=4xx2+1-2x ,
令 yx'=0⇒x=±3 或 0,经计算曲线 C 在原点处的切线方程为 y=±2x,D 正确.
12.【答案】 1
【解答】由 S3=9,S6=36 得: a2=3,a3+a4=12 ,则 d=2 ,所以 a1=a2-d=1 .
13.【答案】 2e2
【解答】设 fx=eax+b ,则 f'x=aeax+b ,设切点为 x0,eax0+b ,则 f'x0=aeax0+b ,
可得切线方程为 y-eax0+b=aeax0+bx-x0 ,整理可得 y=aeax0+bx+1-ax0eax0+b ,
所以 1-ax0eax0+b=0aeax0+b=2 ,解得 x0=1a,aeax0+b=ae1+b=2 ,所以 a=2e1+b ,所以 ab=2be1+b ,
设 gx=2xe1+x ,则 g'x=21-xe1+x ,当 x∈-∞,1 时, g'x>0,gx 单调递增,
当 x∈1,+∞ 时, g'x0 ,则由 MB=2BN 得: Bm+2n3,3m-2n3 , (9 分)
由 B 在双曲线 C 上得: m+2n32-3m-2n323=1⇒mn=98 , (12 分)
而 ∠MON=120∘,MO=2m,NO=2n,∴S△MON=12MONOsin120∘=3mn=938 . (15 分 17.(15 分)
【解答】(1)若小明取到红色外观的模型,棕色内饰的有 12 个,米色内饰的有 2 个,则对应的概率 PA=12+225=1425 ,
若小明取到米色内饰的模型, 红色外观的有 2 个, 蓝色外观的有 3 个, 则对应的概率
PB=2+325=525=15.
(2 分)
同时取到红色外观、米色内饰的模型有 2 个,即 PAB=225 ,则 PB∣A=PABPA=2251425=214=17 . (4 分)
∵PAPB=1425×15=14125≠225,∴PAPB≠PAB ,即事件 A 和事件 B 不独立.(6 分)
(2)由题意知 X=600,300,150 ,
则外观和内饰均为同色的概率 P1=C122+C82+C32+C22C2s2=66+28+3+1300=98300=49150 ,(8 分)
外观和内饰都异色的概率 P2=C121C31+C21C81C252=52300=1375 , (10 分)
仅外观或仅内饰同色的概率 P3=1-49150-52300=12 ,
∵12>49150>1375,∴PX=150=12,PX=300=98300=49150,PX=600=1375 ,
则 X 的分布列为: (13 分)
则 EX=150×12+300×49150+600×1375=277 (元). (15 分)
18.(17 分)
【解答】(1)当 a=1 时, gx=ex-x2+1 ∴g'x=ex-2x , 1 分
令 mx=ex-2x ,则 m'x=ex-2
当 x0 ,即 mx 在 ln2,+∞ 为增函数, -3 分
所以 mx≥mln2=2-2ln2>0 ,即 g'x>0
所以 gx 在 R 上为增函数; -4 分
(2)因为 gx=ex-ax2+1 ,所以 g'x=ex-2ax
设 Fx=g'x-hx=ex-2ax-2x-csx,x≥0
则 F'x=ex-2a-2+sinx,x≥0 -5 分
令 nx=ex-2a-2+sinx x≥0 则 n'x=ex+csx≥1+csx≥0 ,
∴nx 在 [0,+∞) 为增函数,即 F'x 在 [0,+∞) 为增函数,
故 F'x≥F'0=1-2a-2=-2a-1 . 6 分
当 a≤-12 时, F'x≥F'0=-2a-1≥0 ,此时 Fx 在 [0,+∞) 为增函数,
故 Fx≥F0≥0 ,符合题意; 7 分
当 a>-12 时, F'0=-2a-1