湖北省十一校2025届高三上学期第一次联考(一模)数学试题及参考答案

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【解答】集合 A={−1,−2,−3},B={x+y∣x∈A,y∈A}={−2,−3,−4,−5,−6} 故 A∩B={−2,−3} . 2.【答案】A
【解答】由 z+1−iz=1+2i ,则 1−iz=2i ,即 z=1−i2i=i⋅1−i2i⋅i=1+i−2=−12−12i
3.【答案】A
【解答】由题意 b⋅aa⋅aa=−4tt2a=2a ,解得 t=−2 .
4.【答案】C
【解答】由图可得 1−0.05×1=0.95,1−0.05+0.15×1=0.80,0.800 相切,因此直线 x=±m,y=±3 所围成矩形的外接圆 x2+y2=3+m 即为椭圆 x2m+y23=1 的蒙日圆,由 A、B 为椭圆 x2m+y23=1 上任意两个动点,动点 P 满足 ∠APB 为锐角,得点 P 在圆 x2+y2=3+m 外,又动点 P 在直线 x−2y−6=0 上,因此直线 x−2y−6=0 与圆 x2+y2=3+m 相离,则
−612+−22>3+m
得 m1−aa−1 ,
得 fa−1−fa>1−aa−1−2a−2a−1=−aa−1a−2>0 ,所以 fa−1>fa,D 正确.
11.【答案】 ACD
【解答】设 P 点坐标为(x, y),则曲线 C:x−22+y2⋅x+22+y2=4 , A 正确;
B 中,若 PF1=PF2 ,则 PF1=PF2=2 ,这样的 P 点只有 1 个,即为原点, B 错误;
C 中,由 x−22+y2⋅x+22+y2=4 得, x−22+y2⋅x+22+y2=16
整理得, x2+y22=8x2−y2 ,所以 x2+y2=8x2−y2x2+y2≤8,OP≤22,C 正确;
D 中,从双纽线的图形上,可以观察有四个点处切线的斜率为 0,
另外,由 x2+y22=8x2−y2 得 y2=4x2+1−x2+4 ,则 2y⋅yx′=4xx2+1−2x ,
令 yx′=0⇒x=±3 或 0,经计算曲线 C 在原点处的切线方程为 y=±2x,D 正确.
12.【答案】 1
【解答】由 S3=9,S6=36 得: a2=3,a3+a4=12 ,则 d=2 ,所以 a1=a2−d=1 .
13.【答案】 2e2
【解答】设 fx=eax+b ,则 f′x=aeax+b ,设切点为 x0,eax0+b ,则 f′x0=aeax0+b ,
可得切线方程为 y−eax0+b=aeax0+bx−x0 ,整理可得 y=aeax0+bx+1−ax0eax0+b ,
所以 1−ax0eax0+b=0aeax0+b=2 ,解得 x0=1a,aeax0+b=ae1+b=2 ,所以 a=2e1+b ,所以 ab=2be1+b ,
设 gx=2xe1+x ,则 g′x=21−xe1+x ,当 x∈−∞,1 时, g′x>0,gx 单调递增,
当 x∈1,+∞ 时, g′x0 ,则由 MB=2BN 得: Bm+2n3,3m−2n3 , (9 分)
由 B 在双曲线 C 上得: m+2n32−3m−2n323=1⇒mn=98 , (12 分)
而 ∠MON=120∘,MO=2m,NO=2n,∴S△MON=12MONOsin120∘=3mn=938 . (15 分 17.(15 分)
【解答】(1)若小明取到红色外观的模型,棕色内饰的有 12 个,米色内饰的有 2 个,则对应的概率 PA=12+225=1425 ,
若小明取到米色内饰的模型, 红色外观的有 2 个, 蓝色外观的有 3 个, 则对应的概率
PB=2+325=525=15.
(2 分)
同时取到红色外观、米色内饰的模型有 2 个,即 PAB=225 ,则 PB∣A=PABPA=2251425=214=17 . (4 分)
∵PAPB=1425×15=14125≠225,∴PAPB≠PAB ,即事件 A 和事件 B 不独立.(6 分)
(2)由题意知 X=600,300,150 ,
则外观和内饰均为同色的概率 P1=C122+C82+C32+C22C2s2=66+28+3+1300=98300=49150 ,(8 分)
外观和内饰都异色的概率 P2=C121C31+C21C81C252=52300=1375 , (10 分)
仅外观或仅内饰同色的概率 P3=1−49150−52300=12 ,
∵12>49150>1375,∴PX=150=12,PX=300=98300=49150,PX=600=1375 ,
则 X 的分布列为: (13 分)
则 EX=150×12+300×49150+600×1375=277 (元). (15 分)
18.(17 分)
【解答】(1)当 a=1 时, gx=ex−x2+1 ∴g′x=ex−2x , 1 分
令 mx=ex−2x ,则 m′x=ex−2
当 x0 ,即 mx 在 ln2,+∞ 为增函数, -3 分
所以 mx≥mln2=2−2ln2>0 ,即 g′x>0
所以 gx 在 R 上为增函数; -4 分
(2)因为 gx=ex−ax2+1 ,所以 g′x=ex−2ax
设 Fx=g′x−hx=ex−2ax−2x−csx,x≥0
则 F′x=ex−2a−2+sinx,x≥0 -5 分
令 nx=ex−2a−2+sinx x≥0 则 n′x=ex+csx≥1+csx≥0 ,
∴nx 在 [0,+∞) 为增函数,即 F′x 在 [0,+∞) 为增函数,
故 F′x≥F′0=1−2a−2=−2a−1 . 6 分
当 a≤−12 时, F′x≥F′0=−2a−1≥0 ,此时 Fx 在 [0,+∞) 为增函数,
故 Fx≥F0≥0 ,符合题意; 7 分
当 a>−12 时, F′0=−2a−10 满足 F′x0=0 ,则 Fx 在 0,x0 递减,
所以当 x∈0,x0 时, Fx≤F0=0 ,不符合题意.

综上所述, a 的取值范围为 a≤−12 .
(3) 证明: fx=2x−1πx2+csx,f′x=2−2πx−sinx .
由 fx1=fx2 ,得 2x1−x12π+csx1=2x2−x22π+csx2 ,
所以 2x1−x2−1πx1+x2x1−x2+csx1−csx2=0 , -11 分
两边同除以 x1−x2 ,得 2−1πx1+x2+csx1−csx2x1−x2=0 ,
所以 2−1πx1+x2+−2sinx1+x22sinx1−x22x1−x2=0 , 13 分
令 x0=x1+x22 ,得 2−2πx0−2sinx0sinx1−x22x1−x2=0 ,得 2−2πx0=2sinx0sinx1−x22x1−x2 .
因为 f′x=2−2xπ−sinx ,
所以 f′x0=2−2πx0−sinx0=2sinx0sinx1−x22x1−x2−sinx0=sinx0sinx1−x22x1−x22−1 , 15 分
因为 sinx1−x22x1−x22=sinx2−x12x2−x12 ,又 x2−x12∈0,π2 ,易知 0