高考数学一轮复习：1集合与常用逻辑用语-专题1练习（题型归纳与重难专题突破提升）

这是一份高考数学一轮复习：1集合与常用逻辑用语-专题1练习（题型归纳与重难专题突破提升），文件包含专题01集合解析版-学案docx、专题01集合原卷版-学案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc136299850" 题型二： 集合间的基本关系 PAGEREF _Tc136299850 \h 10
\l "_Tc136299851" 题型三： 集合的运算 PAGEREF _Tc136299851 \h 16
\l "_Tc136299852" 题型四： 求参数的取值范围 PAGEREF _Tc136299852 \h 21
\l "_Tc136299853" 题型五： 集合中的新定义问题 PAGEREF _Tc136299853 \h 24
知识点总结
集合的概念
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
注意
N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.
集合间的基本关系
集合的基本运算
区分下列集合的表示含义
【常用结论与知识拓展】
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
(2)A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)．
(3)(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B.
(4)A∩B＝A∪B⇔A＝B.
(5)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔(∁UA)⊇(∁UB)⇔A∩(∁UB)＝∅.
(6)如图所示，用集合A，B表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A∩B，A∩(∁UB)，B∩(∁UA)，∁U(A∪B)．
(7)用card(A)表示有限集合A中元素的个数．对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B).
例题精讲
集合的基本概念
【要点讲解】
用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合。集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性。分类讨论的思想方法常用于解决集合问题
（2022•长沙模拟）已知集合，，下列选项中均为的元素的是
（1）；
（2）；
（3）；
（4），．
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（2）（4）
【解答】解：集合，，
则，，，，，
故选：．
（2022秋•宜阳县校级月考）集合的元素个数为
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：由题意知，，都是16的正整数因数，
故的取值有：1，2，4，8，16，
故集合，2，4，8，，
故共有5个元素．
故选：．
（2022秋•南昌期末）已知集合，，，则中元素的个数为
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：因为集合，，，
所以当时，，
即集合，
所以集合中元素个数为1个，
故选：．
（2022•道里区校级四模）已知集合，则中元素的个数为
A．9B．10C．11D．12
【解答】解：由椭圆的性质得，
又，，
所以集合，，，，，，，，，，共有11个元素．
故选：．
（2022•河北模拟）已知集合，2，，，，，则中所含元素的个数为
A．2B．4C．6D．8
【解答】解：由，2，，，，，
当时，，2，满足集合．
当时，，3；满足集合．
当时，，3；满足集合．
共有6个元素．
故选：．
（2022秋•西安）集合，2，，，3，，，，，则中的元素个数为
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：因为集合，2，，，3，，，，，
所以的值可能为：、、、、、、、、，
所以中元素只有：3，4，5，6，7，共5个，
故选：．
（2022秋•汉滨区）已知集合，0，1，，，，，则集合中所有的元素之和为
A．0B．2C．D．
【解答】解：，0，1，，，，，
①当时，，时，，；时，，满足条件；
②当时，，，满足条件；
③当时，，，满足条件；
④当时，，，满足条件．
从而得到，，，，
集合中所有元素之和为．
故选：．
（2023•潍坊模拟）已知集合，0，，，，则集合中所有元素之和为
A．0B．1C．D．
【解答】解：根据条件分别令，0，1，解得，
又，所以，，
所以集合中所有元素之和是，
故选：．
（2022秋•武陵区）若关于的方程的解集中有且仅有一个元素，则实数的值组成的集合中的元素个数为
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：若，则，解集中有且仅有一个元素，成立；
若，△，则．
故实数的值组成的集合中的元素个数为2．
故选：．
（2021•江西模拟）已知集合，只有一个元素，则的取值集合为
A．B．C．，，D．，
【解答】解：只有一个元素，
方程只有一个解，
①时满足题意；
②时，△，解得，
的取值集合为，．
故选：．
（2023•延边州二模）已知集合的元素只有一个，则实数的值为
A．B．0C．或0D．无解
【解答】解：集合有一个元素，即方程有一解，
当时，，符合题意，
当时，有一解，
则△，解得：，
综上可得：或，
故选：．
（2022秋•山西）已知集合中元素满足，且，，则
A．B．C．D．
【解答】解：，
，解得，
又，
，解得，
．
故选：．
（2022•聊城二模）已知集合，1，，，，则集合中元素个数为
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：集合，1，，，，
当，，1，2时，，
当，，1，2时，，1，2，
当，，1，2时，，2，4，
集合，1，2，，
集合中元素个数为4．
故选：．
（2021•麒麟区校级模拟）设集合，0，1，，，，，，，则集合中元素的个数为
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：当，时，，当，时，，
当，时，，当，时，，
当，时，，当，时，，
当，时，，当，时，，、
故，，0，1，2，，即中元素的个数为6个．
故选：．
（2022•全国一模）已知集合，3，4，5，，，，，则中所含元素的个数为
A．2B．3C．4D．6
【解答】解：由，3，4，5，，，，，
当时，，5，6，
当时，，6，
当时，，
所以，，，，，，，
所以中所含元素个数为6个．
故选：．
（2022•全国一模）已知集合，3，4，5，，，，，则中所含元素的个数为
A．3B．6C．8D．10
【解答】解：，，，，3，4，5，，
当时，，3，2；
当时，，2；
当时，；
故中所含元素的个数为6，
故选：．
（2022秋•川汇区校级期末）已知集合，2，，，，中所含元素的个数为
A．2B．4C．6D．8
【解答】解：由，2，，，，，
当时，，2，满足集合，
当时，，3；满足集合，
当时，，3；满足集合，
共有6个元素．
故选：．
集合间的基本关系
【要点讲解】
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系。常用数轴、Venn图来直观解决这类问题。
（2023•咸阳模拟）设集合，则集合的真子集个数是
A．6B．7C．8D．15
【解答】解：因为，
所以，2，，
所以集合的真子集个数是．
故选：．
（2023•黄埔区校级模拟）设集合，，则集合的真子集个数为
A．8B．7C．4D．3
【解答】解：集合，，，1，，
则集合中元素个数为3个，
故集合的真子集个数为．
故选：．
（2023•乌鲁木齐模拟）已知集合满足，，2，3，，那么这样的集合的个数为
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：，，2，3，，
要确定集合，只需确定1和4是否放置在其中，
共有4种情况，，，，2，，，3，，，2，3，．
故选：．
（2023•全国二模）下列集合关系中错误的是
A．，B．，C．D．，，
【解答】解：对于：集合为点集，含有元素，集合，含有两个元素，，
所以不包含于，，故错误；
对于，，故正确；
对于，故正确；
对于：因为，，，所以，，，故正确；
故选：．
（2022秋•阜南县校级月考）已知集合，，则下列说法正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：集合，，
，
故选：．
（2022•全国四模）已知，，则集合、之间的关系为
A．B．C．D．
【解答】解：，
且，
则，
故选：．
（2023•重庆模拟）已知集合，，则下列关系正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：，，，，．
故选：．
（2022•河南模拟）已知集合，，则
A．B．C．D．
【解答】解：，，当时，是奇数，是整数，．
故选．
（2023•延庆区一模）已知集合，，，0，，且，则等于
A．1B．0C．D．
【解答】解：集合，，，0，，且，
，
．
故选：．
（2023•香坊区校级一模）已知集合，，，若，则实数的取值集合为
A．，，B．C．D．，，0，
【解答】解：集合，，，
若，则实数的取值集合为，
又集合元素具有互异性，的取值集合为．
故选：．
（2023•湖南模拟）已知集合，，且，则实数的取值范围为
A．B．，C．，D．，
【解答】解：，，，
，，
则实数的取值范围为，．
故选：．
（2023•北碚区校级模拟）已知集合，4，，，，若，则实数组成的集合为
A．B．，C．，0，D．，0，1，
【解答】解：集合，4，，，，，
则，解得或，满足题意，
，解得或1，
当时，符合题意，
当时，集合不满足集合元素的互异性，舍去，
故实数组成的集合为，0，．
故选：．
（2023•大荔县一模）设三元集合，则 1 ．
【解答】解：依题意，，
则，解得，，
此时两个集合都是，0，，符合题意，
故．
故答案为：1．
（2022秋•新北区校级月考）已知集合，，，，，，若，则 ．
【解答】解：由题意可知，或，
当时，无意义，
则，
故，0，，，，，
，
，解得或，
当时，，0，，，1，，不符合集合的互异性，
故，
．
故答案为：．
（2022•海口模拟）已知集合，0，，，若，则实数
A．2B．1C．0D．
【解答】解：对于集合，因为△，
所以中有两个元素，且乘积为，
又因为，所以，，所以．即．
故选：．
（2023•铁岭模拟）设，，若，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：，
，，
．
故选：．
（2023•2月份模拟）设集合，3，，，，，．若，，则
A．B．C．1D．3
【解答】解：集合，3，，，，，，，，
，
解得．
故选：．
（2022•攀枝花模拟）设集合，，若，则实数的取值范围是
A．B．，C．D．，
【解答】解：或，
，若，
，则实数的取值范围是，．
故选：．
（2022•朝阳区校级三模）已知集合，，若，则实数的取值组成的集合是
A．B．C．，D．，0，
【解答】解：集合，，集合中至多有一个元素，
若集合为空集，即时，显然满足条件，故成立，
若集合非空集，即，此时，
若，则，若，则，
故的取值集合为，，．
故选：．
集合的运算
【要点讲解】
集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成人手是解决集合运算问题的前提。有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决。集合之间的运算要注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图。
（2023•乌鲁木齐三模）设集合，0，1，，，则的子集个数为
A．2B．4C．8D．16
【解答】解：因为，所以，，，
则集合的元素个数为2，因此，的子集个数为．
故选：．
（2023•全国卷模拟）已知集合，，则
A．B．
C．或D．或
【解答】解：解得或，故或，
解不等式得，故，
所以或．
故选：．
（2023•天津一模）设全集，，0，1，，集合，，，1，，则
A．B．，，C．，D．，1，
【解答】解：因为全集，，0，1，，，1，，则，，
又因为集合，，因此，，．
故选：．
（2023•全国三模）设集合，则
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：，，
，．
故选：．
（2023•合肥三模）已知集合，集合，则集合的元素个数为
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由，消去得，即，
解得或（舍去），
所以或，
即函数与有两个交点，
又集合，集合，
所以，
即集合的元素个数为2个．
故选：．
（2023•毕节市模拟）已知集合，，则如图中阴影部分表示的集合为
A．B．，C．，2，D．
【解答】解：依题意，，0，1，2，，而阴影部分表示的集合是，
又，则，
所以，2，．
故选：．
（2023•吉林模拟）已知全集，集合，，，则下图阴影部分所对应的集合为
A．B．C．或D．
【解答】解：由题意知，，
则，，
由图可知阴影部分所对应的集合为，．
故选：．
（2022春•下期末）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为
A．，B．，C．D．，
【解答】解：，，
，
．
故选：．
（2023•商洛二模）设集合，，，．若，则
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：因为，
所以，解得，
则的解为或，
所以，．
故选：．
（2023•宜章县模拟）已知集合，，若，则
A．B．C．2D．6
【解答】解：因为集合，，且，
则有，所以．
故选：．
（2023•济宁二模）已知集合，5，，，，若，则
A．B．C．2D．3
【解答】解：因为，
所以或，
当时，即，
则，5，，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，或，
当时，，5，，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，，5，，，满足题意，
所以．
故选：．
（2013•武昌区校级模拟）若集合，，且，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得，
，，
，则
故选：．
（2010•项城市校级模拟）已知：，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【解答】解：（1），（2分）
若，则，，解得：（5分）
（2）若，则
①若为空集，则△
则；（8分）
②若为单元集，则△
解得：，将代入方程得：得：即符合要求；（11分）
③若，，则（13分）
综上所述，或．（14分）
求参数的取值范围
【要点讲解】
根据集合的运算结果求参数时，可先把符号语言转化为文字语言，然后应用数形结合法求解。
（2023•郴州模拟）已知集合，，，若，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．
【解答】解：，，，，
，，
的取值范围是：，．
故选：．
（2023•山西模拟）已知集合，若，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：因为，
所以，2，3，4，，即，2，3，4，，
因为，所以，又，
所以，
故实数的取值范围是，．
故选：．
（2023•怀仁市校级四模）已知集合，若，则实数的取值范围为
A．，B．，C．D．，
【解答】解：，，，
因为，所以的取值范围为．
故选：．
（2023•茂名二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是
A．B．，C．D．，
【解答】解：由已知可得，
，
因为，所以，
即，
故选：．
（2023•黄山模拟）已知集合，，且，则实数的取值范围为
A．，B．，C．D．，
【解答】解：因为，所以，
又，所以，
又，所以，解得，
即实数的取值范围为，．
故选：．
（2023•乐山三模）已知集合，，且，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：集合，
，且，
，
则实数的取值范围是，．
故选：．
（2023•四川模拟）设集合，，集合中恰好含有2个元素，则实数的取值范围为
A．B．，C．，D．，
【解答】解：，2，，
，
因为集合中恰好含有2个元素，
所以．
故选：．
（2023•铁岭模拟）设，，若，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：，
，，
．
故选：．
（2023•湖北模拟）已知集合，，若中有且仅有三个整数，则正数的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得，，
若中有且仅有三个整数，则只能是，0，1，
故，解得．
故选：．
集合中的新定义问题
【要点讲解】
集合新定义问题的“三定”：一定元素，确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素；二定运算，根据要求及新定义，将所求集合的运算转化为集合的交集、并集与补集的基本运算，或转化为数的有关运算；三定结果，根据新定义，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素。
（2023•五河县模拟）对于数集，，定义，，，，，若集合，，则集合中所有元素之和为
A．B．C．D．
【解答】解：，，
或2，
，，，3，，
，3，4，1，，
元素之和为，
故选：．
（2023•湖北模拟）用（A）表示非空集合中的元素个数，定义若，，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是，则等于
A．7B．5C．3D．1
【解答】解：由题意知，（A），
，
，
（B）或（B），
即方程有1个根或3个根，
若，
则或，
若，则或，
当时，，（B），符合题意；
当时，对应的根为0和，
若（B），则有以下两种情况，
①当有两个相等的实数根时，
△，
解得，
当时，，，，
（B），符合题意；
当时，，，，
（B），符合题意；
②当有两个不相等的实数根时，
则是的一个根，
即，
无解；
综上所述，，，；
故，
故选：．
（2022•长丰县校级模拟）若，，定义且，则
A．或B．或
C．D．
【解答】解：根据题意可化简两集合为，，，，
且，又，，，，
，，
故选：．
课后练习
一．选择题（共12小题）
1．（2023•南通二模）已知，为的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是
A．，B．，
C．，D．，
【解答】解：，
，
，，错误；时，，错误；，，错误．
故选：．
2．（2022•渭滨区校级模拟）设集合，，，若，则
A．或或2B．或C．或2D．或2
【解答】解：若，则，
，
，4，；
若，则或，
时，，
，，；
时，（舍，
故选：．
3．（2023•江西模拟）已知集合，，，，，，若，则
A．B．0C．1D．2
【解答】解：，
或，解得，，
．
故选：．
4．（2023•定西模拟）已知集合，，则
A．B．C．D．
【解答】解：集合，，
，，，
因此选项正确，选项，，错误；
故选：．
5．（2023•河南模拟）已知集合为英文单词“”的字母组成的集合，集合为英文单词“”的字母组成的集合，则集合的子集个数为
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：，，，，，，，
，，
子集的个数为：．
故选：．
6．（2023•西宁一模）已知集合，，，则中元素的个数为
A．3B．4C．8D．9
【解答】解：集合，，元素：
，，，共四个元素，
故选：．
7．（2021•江西模拟）已知集合，，，若，则符合条件的实数的值组成的集合为
A．，B．，C．，0，D．，
【解答】解：
当时，满足要求；
当时，
或
或
综上，，0，．
故选：．
8．（2023•渝中区校级一模）已知集合，，，则
A．，B．C．D．
【解答】解：，，
而，满足，
，
故，
故选：．
9．（2023•福建二模）是正整数集的子集，满足：，，，并有如下性质：若，，则，则的非空子集数为
A．2022B．2023C．D．
【解答】解：由题意可知：若，，则，，，均属于，
而事实上，若，，中，
所以，
故，中有正整数，
从而中相邻两数不可能大于等于2，
故2，3，，，
若，，则有，与矛盾，
故，2，，，
所以非空子集有个．
故选：．
10．（2021•石家庄模拟）已知集合，，，，，，，若，则
A．B．2C．D．1
【解答】解：，
①当时，解得，，
②当时，解得，此时，1，，与互异性矛盾，
综上，．
故选：．
11．（2023•桃城区校级模拟）已知集合，，则下列结论中正确的是
A．B．
C．D．
【解答】解：集合，或，
项，集合不是集合的子集，错误；
项，，错误；
项，，，不是的子集，错误；
项，，不为空集，正确．
故选：．
12．（2023•南京二模）集合的子集个数为
A．2B．4C．8D．16
【解答】解：，，
的子集个数为．
故选：．
二．多选题（共2小题）
13．（2022•泉州模拟）已知集合，均为的子集，若，则
A．B．
C．D．
【解答】解：根据条件画出图如下：
则：，，．
故选：．
14．（2021•武汉模拟）图中矩形表示集合，，是的两个子集，则阴影部分可以表示为
A．B．C．D．
【解答】解：由图知，阴影部分中的元素在集合中但不在集合中，
所以阴影部分所表示的集合是，，，
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．（2010•南通模拟）记集合，1，2，3，4，5，，，将中的元素按从大到小的顺序排列，则第2009个数是 ．
【解答】解：解法一：中的元素为
，故从大到小排列第2009个数是．
解法二：根据题意，发现是关于类似7进制的转换问题，从大到小排序的第一个是
6666（7）（7）
所以第2009个数就是：
6666（7）（7）
即1100（7）
故本题的答案即为；
故答案为：．
16．（2022•宝山区模拟）已知集合，，，是虚数单位，对任意，，可以相等）均有，则符合条件的元素个数最多的集合 ，，， ．
【解答】解：因为，对任意，，有，所以，，，
假设中有不为1的元素，不妨设其为：，且，不同时为0，有，
则，
其中，，且，不同时为0，
因此，，，且，
又，，
，
同理，，
或，即或，
时，，，，此时，或；
时，，，又不为1，故，此时，，
因此，符合条件的元素个数最多的集合，，，，
故答案为：，，，．
17．（2012•南通模拟）已知数集，0，中有3个元素，则实数不能取的值构成的集合为 ， ．
【解答】解：由集合中元素的互异性可得，，解得，且，
故实数不能取的值构成的集合为，．
18．（2018•武清区校级模拟）用列举法表示集合 ，，6，3，2，
【解答】解：根据，且可得：
时，；时，；时，；
时，；时，；时，；
，，6，3，2，．
故答案为：，，6，3，2，．
21．（2023•沛县校级模拟）设，，若，求实数的取值范围．
【解答】解：由，得，
，
由，得，
，
，
，
．
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
关系
文字语言
符号语言
Venn图
集合间的基本关系
相等
构成两个集合的元素是一样的
A⊆B且B⊆A⇔A＝B
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且x∉A
AB或BA
结论
任何一个集合是它本身的子集
A⊆A
若A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集
A⊆B，B⊆C⇒
A⊆C
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
∅⊆A
∅B
(B≠∅)
并集
交集
补集
图形
表示
符号
表示
A∪B＝
{x|x∈A，或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
性质
A∪∅＝A；
A∪A＝A；
A∪B＝B∪A；
A∪B＝A⇔B⊆A
A∩∅＝∅；
A∩A＝A；
A∩B＝B∩A；
A∩B＝A⇔A⊆B
A∪(∁UA)＝U；
A∩(∁UA)＝∅；
∁U(∁UA)＝A；
∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；
∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)
集合
{x|f(x)＝0}
{x|f(x)>0}
{x|y＝f(x)}
{y|y＝f(x)}
{(x，y)|y＝f(x)}
含义
方程f(x)＝0的解集
不等式f(x)>0的解集
函数y＝f(x)的定义域
函数y＝f(x)的值域
函数y＝f(x)图象上的点