四川省眉山市仁寿县2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题-A4

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数学试卷
第I卷（选择题）
1.
已知直线的倾斜角为60°，则实数a=（ ）
A. B. C. D.
2.
甲、乙、丙三位同学在学校举办的建党100周年党史知识竞赛活动中获得优胜奖，颁奖时甲、乙、丙三位同学随机站成一排，则甲乙两人恰好相邻而站的概率为（ ）
A．B．C．D．
3.
已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4.
设，则两圆与的位置关系不可能是（ ）
A．相切B．相交C．内切和内含D．外切和外离
5.
甲、乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（ ）
A. 0.02B. 0.28C. 0.72D. 0.98
6.
已知直线与直线平行，且在轴上的截距为，则的值为（ ）
A．－7B．－1C．1D．7
7.
已知向量，，则下列向量中，使能构成空间的一个基底的向量是（ ）
A. B. C. D.
8.
在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
9.已知事件，，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．如果，那么，
B．如果与互斥，那么，
C．如果与相互独立，那么，
D．如果与相互独立，那么，
10.
（多选题）下面四个结论正确的是（ ）
A. 向量，若，则．
B. 若空间四个点P、A、B、C，，则A、B、C三点共线．
C. 已知向量，，若，则为钝角．
D. 任意向量，，满足．
11.
（多选题）圆，直线，点M在圆C上，点N在直线上，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆C关于直线对称
B. |MN|的最大值是9
C. 从N点向圆C引切线，切线长的最小值是3
D. 直线被圆C截得的弦长取值范围为
第II卷（非选择题）
12.
某人投篮命中的概率为0.3，投篮15次，最有可能命中______次．
13.
直线xcsθ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是________．
14.
如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，，点M为的中点，．若，则实数_____
15.
已知直线和直线.
（1）若，求实数a的值；
（2）若，求实数a的值.
16.
从2名男生(记为和)和3名女生(记为，，和)组成的总体中，任意依次抽取2名学生.
（1）分别写出有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样的样本空间；
（2）在（1）中的两种抽样方式下，分别求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率.
17.
（本小题满分12分）已知长方体中，棱，棱，连接，过B点作的垂线交于E，交于F。
（1）求证：⊥平面EBD；
（2）求点A到平面的距离；
（3）求平面与直线DE所成角的正弦值。
18.
在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．
（1）求BC边上的中线AD的所在直线方程；
（2）求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长．
19.如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且．
(1)用向量表示向量；
(2)求证：共面；
(3)当为何值时，．
仁寿县2023级高二上学期半期联考
数学答案
1.
B
【详解】已知直线的倾斜角为60°，
则直线的斜率为，
则.
故选：B.
2.
D
解：甲、乙、丙三位同学随机站成一排，共有种排法，其中甲乙两人恰好相邻共有种排法．
所以甲乙两人恰好相邻的概率为．
故选：D．
3.
A
【详解】设向量与的夹角为，
因为，，且，
所以，得，
所以，
所以，
因为，所以，
故选：A
4.
D
圆的圆心为(0,0)，半径为4；
圆的圆心为，半径为．
两圆心之间的距离为，
又因为，所以两圆不可能外切和外离．
故选：D．
5.
D
【详解】设事件A表示“甲雷达发现飞行目标”，事件B表示“乙雷达发现飞行目标”，
因为甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，
所以，
所以飞行目标被雷达发现的概率为.
故选：D
6.
A
因为直线与直线平行，
所以，又直线在轴上的截距为，
所以，解得，所以，所以，故选A.
7.
D
【详解】因为，所以A中的向量不能与，构成基底；
因为，所以B中的向量不能与，构成基底；
对于，设，则，解得，，
所以，故，，为共面向量，所以C中的向量不能与，构成基底；
对于，设，则，此方程组无解，所以，，不共面，故D中的向量与，可以构成基底.
故选：D
8.
D
解：如图，分别取BC，B1C1的中点M，N．由正三棱柱ABC﹣A1B1C1易证，MN⊥平面ABC．
连接MA，易知MA，BC，MN两两垂直．
以M为原点直线MA，MB，MN分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系M﹣xyz：
由已知得：A（，0，0），C（0，−，0），C1（0，−，），B（0，，0）．
所以＝（，，0），＝（0，0，），＝（0，−1，），
设平面ACC1A1的法向量为＝（x，y，z），
所以，即，
令x＝1，则y＝﹣，z＝0，故＝（1，−，0）．
设BC1与侧面ACC1A1所成角为θ，则sinθ＝|cs＜＞|＝＝．
故选：D．
9.BD
A选项在前提下，计算出，，即可判断；B选项在与互斥前提下，计算出，，即可判断；C、D选项在与相互独立前提下，计算出，， ，，即可判断.
解：A选项：如果，那么，，故A选项错误；
B选项：如果与互斥，那么，，故B选项正确；
C选项：如果与相互独立，那么，，故C选项错误；
D选项：如果与相互独立，那么，，故D选项正确.
故选：BD.
【题文】甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为，则甲、乙丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别为________．
【答案】，，
记事件分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品，其概率分别为，进而结合独立事件的乘法公式列出方程组，解方程求解即可.
解：记事件分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品，其概率分别为，
由题设知，
解方程组并舍去不符合题意的根，得，，．
即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别为，，．
故答案为：，，
10.
AB
【分析】
由向量垂直的充要条件可判断A；由题意，即可判断B；举出反例可判断C；由向量的数量积运算不满足结合律可判断D.即可得解.
【详解】由向量垂直的充要条件可得A正确；
，即，
，，三点共线，故B正确；
当时，两个向量共线，夹角为，故C错误；
由于向量的数量积运算不满足结合律，故D错误．
故选：A、B
11.
CD
【详解】解：对于A选项，圆，∴圆心，半径，
∵，∴圆C不关于直线对称，故A选项错误；
对于B选项，由圆心C到直线的距离为：，
的最小值是，故，故B选项错误；
对于C选项，从点向圆C引切线，当时，切线长最小，最小值是，故C正确；
对于D选项，直线过定点(1,1)，该定点在圆C内，
所以直线被圆C截得的弦长最长时，所截弦长为过点(1,1)和圆心的圆C的直径，即弦长的最大值为8，
最短的弦长为垂直与该直径的弦长，(1,1)和圆心的距离为，最短弦长为，
故直线被圆C截得的弦长取值范围为，D正确．
故选：CD．
12.
4
法一：
记命中次数为X，则，
考虑，得
所以，则，
所以最有可能命中4次．
法二：
投篮命中次数，
设最有可能命中次，则
，，．
最有可能命中4次．
13.
【详解】由题知k＝－csθ，故k∈，结合正切函数的图象，当k∈时，直线倾斜角α∈，当k∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪.
14.
4
【分析】
连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数λ．
【详解】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PA＝AB＝2，则A（，0，0），D（0，，0），P（0，0，），M（，0，），B（0，，0），
（0，﹣2，0），设N（0，b，0），则（0，b，0），
∵λ，∴﹣2，∴b，
∴N（0，，0），（，，），（，0），
∵MN⊥AD，∴10，
解得实数λ＝4．
故答案为4．
15.
（1）若，则
，解得或2；
（2）若，则
，解得或1.
时，，满足，
时，，此时与重合，
所以.
16.
（1）见详解；（2）有放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为；不放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为.
【分析】
（1）用列举法，分别写出两种抽取方法对应的基本事件，即可得出结果；
（2）先列举出两种抽样方式下，“抽到的2人为1名男生和1名女生”所包含的基本事件，确定基本事件个数，再由古典概型的概率计算公式，即可求出结果.
【详解】（1）由题意，有放回简单随机抽样的样本空间为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；共包含个基本事件；
不放回简单随机抽样的样本空间为：，，，，，，，，，， ，，，，， ，，，，；共包含个基本事件；
（2）由（1）可得，两种抽样方式下，抽到的2人为1名男生和1名女生，所包含的基本事件都是： ，，，，，，，，，，，；共个，
有放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为；
不放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为.
17.
（1）证：以A为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，那么A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、D（0，1，0）、（0，0，2）、（1，0，2）、（1，1，2）、（0，1，2），，，
设，则： ＝0，，，
，又平面EBD。……4分
（2）连接到平面的距离，即三棱锥的高，设为h，
，由
得：，∴点A到平面的距离是。……8分
（3）连接DF，⊥⊥⊥平面是DE在平面上的射影，∠EDF是DE与平面所成的角，设，那么
① ∥ ②
由①、②得，
在Rt△FDE中，。∴sin∠EDF＝，因此，DE与平面所成的角的正弦值是 ………12分
18.
（1）∵，
∴BC边的中点D的坐标为，
∴中线AD的斜率为，
∴中线AD的直线方程为：，即
（2）设△ABC的外接圆O的方程为，
∵A、B、C三点在圆上，
∴
解得：
∴外接圆O的方程为，即，
其中圆心O为，半径,
又圆心O到直线l的距离为,
∴被截得的弦长的一半为,
∴被截得的弦长为.
19.(1)
(2)证明见解析
(3)1
（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）根据空间向量线性运算法则得到，即可证明共面；
（3）设，因为底面为菱形，则当时，，由，即可得出答案.
(1)
．
(2)
证明：，，
，共面．
(3)
当，，
证明：设，
底面为菱形，则当时，，
，，
，
，
．
一、选择题（本题共8道小题，每小题0分，共0分）
二、多选题（本题共3道小题，每小题0分，共0分）
三、填空题（本题共3道小题，每小题0分，共0分）
评卷人
得分
四、解答题（本题共5道小题,第1题0分,第2题0分,第3题0分,第4题0分,第5题0分,共0分）