四川省眉山市仁寿县 新科高级中学2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题（解析版）-A4

这是一份四川省眉山市仁寿县 新科高级中学2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题（解析版）-A4，共15页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本题共8道小题，每小题0分，共0分）
1. 已知直线的倾斜角为，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得直线的斜率为，解方程即可得出答案.
【详解】已知直线的倾斜角为，
则直线的斜率为，
则.
故选：B.
2. 甲、乙、丙三位同学在学校举办的建党100周年党史知识竞赛活动中获得优胜奖，颁奖时甲、乙、丙三位同学随机站成一排，则甲乙两人恰好相邻而站的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出甲、乙、丙三位同学随机站成一排的排法总数，再计算甲乙两人恰好相邻而站的排法数，利用古典概率公式即可求解.
【详解】甲、乙、丙三位同学随机站成一排有：
（甲、乙、丙），（甲、丙、乙），（乙、甲、丙），
（乙、丙、甲），（丙、甲、乙），（丙、乙、甲），共种
甲乙两人恰好相邻而站有：
（甲、乙、丙），（乙、甲、丙），（丙、甲、乙），（丙、乙、甲）共种，
所以甲乙两人恰好相邻而站的概率为，
故选：D.
3. 已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由求出，再利用空间向量的夹角公式求解即可
【详解】设向量与的夹角为，
因为，，且，
所以，得，
所以，
所以，
因为，所以，
故选：A
4. 设，则两圆与的位置关系不可能是（ ）
A. 相切B. 相交C. 内切和内含D. 外切和外离
【答案】D
【解析】
【分析】求出两圆圆心和半径，计算圆心距与半径比较即可求解.
【详解】圆的圆心为，半径为4；
圆的圆心为，半径为．
两圆心之间的距离为，
又因为，所以两圆不可能外切和外离．
故选：D．
5. 甲、乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（ ）
A. 0.02B. 0.28C. 0.72D. 0.98
【答案】D
【解析】
【分析】设事件表示“甲雷达发现飞行目标”，事件表示“乙雷达发现飞行目标”，飞行目标被雷达发现的概率为，从而即可求解.
【详解】设事件表示“甲雷达发现飞行目标”，事件表示“乙雷达发现飞行目标”，
因为甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标概率分别是和，
所以，
所以飞行目标被雷达发现的概率为.
故选：D
6. 已知直线与直线平行，且在轴上的截距为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：根据两条直线平行，得到的等量关系，根据直线在轴上的截距，可得所满足的等量关系式，联立方程组求得结果.
详解：因为直线与直线平行，
所以，又直线在轴上的截距为，
所以，解得，所以，
所以，故选A.
点睛：该题考查的是有关直线的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两条直线平行时系数所满足的条件，以及直线在y轴上的截距的求法，根据题中的条件，列出相应的等量关系式，求得结果.
7. 已知向量，，则下列向量中，使能构成空间的一个基底的向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量共面基本定理只需无解即可满足构成空间向量基底，据此检验各选项即可得解.
【详解】因为，所以A中的向量不能与，构成基底；
因为，所以B中的向量不能与，构成基底；
对于，设，则，解得，，
所以，故，，为共面向量，所以C中的向量不能与，构成基底；
对于，设，则，此方程组无解，所以，，不共面，故D中的向量与，可以构成基底.
故选：D
8. 在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形边长为1，则与侧面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作的中点，连接，，，根据题意可知与侧面所成角即为，根据已知条件求解即可.
【详解】作的中点，连接，，，
根据题意，易得平面，
故与侧面所成角即为，
因侧棱长为，底面三角形的边长为1，
所以，，
故，
即与侧面所成角的正弦值为.
故选：D.
二、多选题（本题共3道小题，每小题0分，共0分）
9. 已知事件，，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. 如果，那么，
B. 如果与互斥，那么，
C. 如果与相互独立，那么，
D. 如果与相互独立，那么，
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项在前提下，计算出，，即可判断；B选项在与互斥前提下，计算出，，即可判断；C、D选项在与相互独立前提下，计算出，， ，，即可判断.
【详解】解：A选项：如果，那么，，故A选项错误；
B选项：如果与互斥，那么，，故B选项正确；
C选项：如果与相互独立，那么，，故C选项错误；
D选项：如果与相互独立，那么，，故D选项正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立的前提下的和事件与积事件的概率，是基础题.
10. 下面四个结论正确的是（ ）
A. 空间向量，若，则
B. 若空间四个点，，则三点共线
C. 已知向量，若，则为钝角
D. 任意向量满足
【答案】AB
【解析】
【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断ACD，由空间向量的基本定理与共线定理可判断B
【详解】对于A：因为，，则，故A正确；
对于B：因为，则，即，
又与有公共点，所以三点共线，故B正确；
对于C：，
若为钝角：则，且与不共线，
由得，
当时，，即，由与不共线得，
于是得当且时，为钝角，故C错误；
对于D：是的共线向量，而是的共线向量，故D错误，
故选：AB
11. 圆，直线，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆关于直线对称
B. 的最大值是9
C. 从点向圆引切线，切线长的最小值是3
D. 直线被圆截得的弦长取值范围为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据不在直线上判断A；根据判断B；根据时，切线长最小求解判断C；根据直线过定点，再结合弦长公式判断D.
【详解】解：对于A选项，圆，∴圆心，半径，
∵，∴圆不关于直线对称，故A选项错误；
对于B选项，由圆心到直线的距离为：，
的最小值是，故，故B选项错误；
对于C选项，从点向圆引切线，当时，切线长最小，最小值是，故C正确；
对于D选项，直线过定点，该定点在圆C内，
所以直线被圆截得的弦长最长时，所截弦长为过点和圆心的圆的直径，即弦长的最大值为8，
最短的弦长为垂直与该直径的弦长，和圆心的距离为，最短弦长为，
故直线被圆截得的弦长取值范围为，D正确．
故选：CD．
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共3道小题，每小题0分，共0分）
12. 某人投篮命中的概率为0.3，投篮15次，最有可能命中______次．
【答案】4
【解析】
【分析】易知投篮命中次数服从二项分布，设最有可能命中m次，于是，解出不等式即可得到答案.
【详解】投篮命中次数，
设最有可能命中次，则
，，．
最有可能命中4次．
故答案为：4.
13. 直线xcsθ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是________．
【答案】
【解析】
【详解】由题知k＝－csθ，故k∈，结合正切函数的图象，当k∈时，直线倾斜角α∈，当k∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪.
14. 如图，在正四棱锥中，，点为的中点，．若，则实数_____
【答案】4
【解析】
【分析】连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数λ．
【详解】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PA＝AB＝2，则A（2，0，0），D（0，，0），P（0，0，2），M（，0，），B（0，2，0），
（0，﹣22，0），设N（0，b，0），则（0，b，0），
∵λ，∴﹣2，∴b，
∴N（0，，0），（，，），（，0），
∵MN⊥AD，∴10，
解得实数λ＝4．
故答案为4．
【点睛】本题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
四、解答题（本题共5道小题，第1题0分，第2题0分，第3题0分，第4题0分，第5题0分，共0分）
15. 已知直线和直线.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）0或2 （2）
【解析】
【分析】（1）根据两直线垂直的公式，即可求解；
（2）根据两直线平行，，求解，再代回直线验证.
【小问1详解】
若，则
，解得或2；
【小问2详解】
若，则
，解得或1.
时，，满足，
时，，此时与重合，
所以.
16. 从2名男生(记为和)和3名女生(记为，，和)组成的总体中，任意依次抽取2名学生.
（1）分别写出有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样的样本空间；
（2）在（1）中的两种抽样方式下，分别求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率.
【答案】（1）见详解；（2）有放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为；不放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为.
【解析】
【分析】
（1）用列举法，分别写出两种抽取方法对应基本事件，即可得出结果；
（2）先列举出两种抽样方式下，“抽到的2人为1名男生和1名女生”所包含的基本事件，确定基本事件个数，再由古典概型的概率计算公式，即可求出结果.
【详解】（1）由题意，有放回简单随机抽样的样本空间为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；共包含个基本事件；
不放回简单随机抽样的样本空间为：，，，，，，，，，， ，，，，， ，，，，；共包含个基本事件；
（2）由（1）可得，两种抽样方式下，抽到的2人为1名男生和1名女生，所包含的基本事件都是： ，，，，，，，，，，，；共个，
有放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为；
不放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为.
17. 如图，已知长方体中，，，连接，过点作的垂线交于，交于
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可；
（2）设平面的一个法向量为，求出法向量，利用向量法求解解．
（3）利用向量法求解即可．
【小问1详解】
如图，分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
，，
因为在上，故可设，又，
所以，解得，
所以，

，
，即
，平面．
所以平面．
【小问2详解】
设平面的一个法向量为，
，
则，
，
令，得，
，
所以所求的距离为；
【小问3详解】
由（2）知，，
，
与所成角为，
则
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．
（1）求BC边上的中线AD的所在直线方程；
（2）求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求BC边的中点D的坐标，再得AD的斜率即可求解；
（2）先求△ABC的外接圆O，再求圆心到直线.直线l的距离，再由勾股定理可求解.
小问1详解】
∵，
∴BC边的中点D的坐标为，
∴中线AD的斜率为，
∴中线AD的直线方程为：，即
【小问2详解】
设△ABC的外接圆O的方程为，
∵A、B、C三点在圆上，
∴
解得：
∴外接圆O的方程为，即，
其中圆心O为，半径,
又圆心O到直线l的距离为,
∴被截得的弦长的一半为,
∴被截得的弦长为.
19. 如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且．
（1）用向量表示向量；
（2）求证：共面；
（3）当为何值时，．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）1
【解析】
【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）根据空间向量线性运算法则得到，即可证明共面；
（3）设，因为底面为菱形，则当时，，由，即可得出答案.
【小问1详解】
．
【小问2详解】
证明：，，
，共面．
【小问3详解】
当，，
证明：设，
底面为菱形，则当时，，
，，
，
，