内蒙古呼和浩特市第二十九中学2024--2025学年上学期九年级月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份内蒙古呼和浩特市第二十九中学2024--2025学年上学期九年级月考数学试卷（解析版）-A4，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若方程是关于的一元二次方程，则可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程即可求解．
【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，
故“”中是只含有一个未知数的次项，
故B选项符合题意，
故选：B．
2. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解．
【详解】解：
移项得，
两边同时加上，即
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．
3. 已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，整体代入法求代数式的值．依据抛物线与轴的一个交点坐标求出，整体代入计算即可求解．
【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点为，
∴，
∴，
故．
故选：D．
4. 二次函数的图象与两坐标轴的交点个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与轴和轴的交点问题．首先用判断图象与轴的交点情况；再结合解析式判断与轴交点的情况即可解答．
【详解】解：令，则，
∵Δ=b2−4ac=a2−4×−2×3=a2+24>0，
∴图象与轴有两个交点；
当时，，
∴函数图象与轴有一个交点，
∴二次函数与坐标轴有个交点．
故选：D．
5. 已知关于的一元二次方程有一个非零实数根，则的值为（ ）
A. 1B. C. 0D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由关于的一元二次方程有一个非零实数根，可得，然后移项变形即可得解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个非零实数根，
∴，即
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解答本题的关键．
6. 若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】观察抛物线和抛物线可以发现，它们通过平移得到，故点通过相同的平移落在抛物线上，从而得到结论．
【详解】∵抛物线是抛物线（）向左平移1个单位长度得到
∴抛物线上点向左平移1个单位长度后，会在抛物线上
∴点在抛物线上
故选：D
【点睛】本题考查函数图象与点的平移，通过函数解析式得到平移方式是解题的关键．
7. 已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．
【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵1>0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．
8. 如表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：
则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是( )
A. 图象的顶点在第一象限B. 有最小值-8
C. 图象与轴的一个交点是D. 图象开口向下
【答案】C
【解析】
【分析】由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质得到结果．
【详解】解：设二次函数的解析式为,
由题意知
，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∴函数的图象开口向上，顶点为，图象与x轴的一个交点是和，
∴顶点在第四象限，函数有最小值，
故A、B、D选项不正确，选项C正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是学会根据表格中的信息求得函数的解析式
9. 把一个足球垂直于水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度h（米）适用公式．若存在两个不同的t的值，使足球离地面的高度均为a米，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得方程，存在两个不同的的值，使足球离地面的高度均为，故，即可求出相应的范围．
【详解】解：由题意得方程，有两个不相等的实根
，即
又
∴当时，，
所以a的取值范围为：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意得到相应的方程及将实际问题转化为方程问题．
10. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象，分别得出a、b、c的符号，即可判断①；根据对称轴得出，再根据图象得出当时，，即可判断②；分别计算两点到对称轴的距离，再根据该抛物线开口向下，在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可判断③；将方程移项可得，根据该方程无实数根，得出抛物线与直线没有交点，即可判断④．
【详解】解：①∵该抛物线开口向下，
∴，
∵该抛物线的对称轴在y轴左侧，
∴，
∵该抛物线于y轴交于正半轴，
∴，
∴，
故①正确，符合题意；
②∵，
∴该抛物线的对称轴为直线，则，
当时，，
把得：当时，，
由图可知：当时，，
∴，
故②不正确，不符合题意；
③∵该抛物线的对称轴为直线，
∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，
∵该抛物线开口向下，
∴在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴，
故③正确，符合题意；
④将方程移项可得，
∵无实数根，
∴抛物线与直线没有交点，
∵，
∴．故④正确
综上：正确有：①③④，共三个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握根据二次函数图象判断各系数的方法，熟练掌握二次函数的图象和性质．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 抛物线与y轴的交点坐标是_________．
【答案】
【解析】
【分析】与轴的交点的特点为，令，求出的值，即可求出抛物线与轴的交点坐标．
【详解】令抛物线中，
即，
解得，
故与轴的交点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了抛物线与y轴的交点坐标，解题的关键是令，求出的值．
12. 已知二次函数的图象向下平移m个单位与x轴只有一个交点，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的平移，二次函数的图象与x轴的交点问题．根据二次函数的平移规律得，结合函数图象与x轴只有一个交点，可得，即可求解．
即可求解．
【详解】解：二次函数整理得，，
向下平移m个单位后，函数解析式为，
∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴，
解得：．
故答案为：4．
13. 已知关于的一元二次方程的常数项是，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义以及常数项为0，列出方程解答即可．
【详解】解：由题意可知：
∴解得：或，
又∵
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及相关概念，解题的关键是确定常数项，并注意二次项系数不为零的前提条件．
14. 已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，根据该方程一个根为，即可求出另一个根．
【详解】解：根据题意可得：，
∴，
∵该方程一个根为，令，
∴，解得：．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程有两根为，，则，．
15. 如图，四边形是边长为的正方形，点在轴上，点，在抛物线上，则的值为____________．
【答案】
【解析】
【详解】本题考查了正方形的性质，勾股定理，待定系数法求抛物线的解析式．先根据正方形的四条边都相等、四个角都是直角、对角线相等、对角线互相垂直且平分得出，，，，，根据勾股定理求出，求得，即可得出点的坐标，再将点的坐标代入，求出的值即可．
【点睛】解：连接，交轴于点，
∵四边形是边长为的正方形，
∴，，，，，
∴，
故，
∴点坐标为，
把代入，得：，
解得：，
故答案为：．
16. 若，是抛物线上的两点，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线的解析式得出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性得出，故，，将点的坐标代入解析式即可求解．
【详解】解：抛物线的对称轴为，
∵，是抛物线上的两点，
故，
即，
故，，
将代入，
得．
故答案为：．
三、解答题：本题共6小题，共52分．
17. 用合适的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了直接开方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程即可．
（1）先移项，然后直接开平方法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据公式法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
解得：，．
【小问2详解】
解：，
，，，
∵b2−4ac=−62−4×3×−8=36+96=132>0，
∴，
解得：，．
18. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C0,−3．
（1）求，的值；
（2）为第一象限抛物线上一点，的面积与的面积相等，求点的坐标．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数中的面积问题．
（1）根据待定系数法求抛物线的解析式，即可求出，的值；
（2）先求出的值，根据，得出点的纵坐标为，将代入解析式，即可求解．
【小问1详解】
解：因为抛物线与轴交于，与轴交于点C0,−3，
将，代入，得：，
解得：，
故，．
【小问2详解】
解：由（1）得抛物线的解析式为，
∵抛物线与轴交于点C0,−3，
∴，
∵，
∴点到轴的距离为，
∵点为第一象限抛物线上一点，
即点的纵坐标为，
将代入，得，
即，
解得：（舍去），，
故点的坐标为．
19. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售300个，2、3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到432个，设2、3两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2、3两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利2880元？
【答案】（1）2、3两个月的销售量月平均增长率为
（2）这种台灯售价定为36元时，商场4月销售这种台灯获利2880元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握增减率模型和总利润=单件利润×数量，是解题的关键．增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为．
（1）设2、3两个月的销售量月平均增长率为x，列出方程求解即可；
（2）根据总利润=单件利润×数量，列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：设2、3两个月的销售量月平均增长率为x，
，
解得：（舍去），
答：2、3两个月的销售量月平均增长率为．
【小问2详解】
解：设降价y元，
，
整理得：，
解得：（舍去），
∴这种台灯售价定为（元），
答：这种台灯售价定为36元时，商场4月销售这种台灯获利2880元．
20. 已知关于x的方程kx2﹣（k+8）x+8＝0．
（1）求证：无论k取任何数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好都是这个方程的两个根，求此时的k值和这个等腰三角形的周长；
（3）若方程有两个根分别是x1，x2，是否存在|x1﹣x2|＝2，若存在，请求k的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）k＝2，周长9；（3）存在，k＝或﹣8
【解析】
【分析】（1）先计算Δ＝（k+8）2﹣4×8k，整理得到Δ＝（k﹣8）2，根据非负数的性质得到△≥0，然后根据△的意义即可得到结论；
（2）先解出原方程的解为，x2＝1，然后分类讨论：腰长为1时，则k＝8；当底边为1时，则x1＝x2，得到k＝8，然后分别计算三角形的周长；
（3）解出原方程的解为，x2＝1，依据|x1﹣x2|＝2列出关于k的方程，解之可得k的值．
【详解】（1）证明：当k＝0时，方程化为﹣8x+8＝0，
解得：x＝1，方程有解；
当k≠0时，
∵Δ＝（8+k）2﹣4×8k
＝（k﹣8）2，
∵（k﹣8）2≥0，
∴△≥0，
∴无论k取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：解方程kx2﹣（k+8）x+8＝0得，x2＝1，
①当腰长为4，则k＝2，
周长＝4+4+1＝9，
②当底边为14，
∴x1＝x2，
∴k＝8，
1+1＜4，不符合题意．
故k＝2，周长为9；
（3）解：解方程kx2﹣（k+8）x+8＝0得，x2＝1，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴|﹣1|＝2，
解得k＝或﹣8．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形三边的关系，绝对值方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．
21. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．

（1）求点P的坐标和a的值．
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
【答案】（1），，
（2）选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近
【解析】
【分析】（1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值；
（2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近．
【小问1详解】
解：在一次函数，
令时，，
∴，
将代入中，可得：，
解得：；
【小问2详解】
∵，，
∴，
选择扣球，则令，即：，解得：，
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去），
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
∵，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．
22. 随某农场要建一个饲养区（长方形），饲养区一面靠墙（墙最大可用长度为15米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米，设饲养区（长方形）的宽为 米．
（1）饲养区的长＝ ．（用含的代数式表示）
（2）当为何值时，饲养区的面积最大，此时饲养区达到的最大面积为多少．
【答案】（1）米
（2）当时，饲养场的面积最大，最大面积为165
【解析】
【分析】（1）根据题意和图形，可以用含的代数式表示出的长；
（2）根据题意可以得到与的函数关系式，然后根据二次函数的性质和的取值范围，可以解答本题．
【小问1详解】
解：由图可得，的长为（米），
故答案为：米；
【小问2详解】
解：设饲养场面积是，
由题意得：，即，
解得：，
则，
该函数的对称轴为，
∵，
∴当时，随的增大而减小，
故当时，取得最大值为165，
答：当时，饲养场的面积最大，最大面积为165
【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
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