贵州省黔东南州从江县停洞中学2024-2025学年九年级上学期9月质量监测数学试题（解析版）-A4

这是一份贵州省黔东南州从江县停洞中学2024-2025学年九年级上学期9月质量监测数学试题（解析版）-A4，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分．
1. 将方程化成 的形式，则 a ， b ， c 的值分别为（ ）
A. 5，4，1B. 5，4， C. 5， ，1D. 5， ，
【答案】C
【解析】
【分析】将一元二次方程化为一般形式即可得出答案．
【详解】解：将化为一般形式为：，
∴，，，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键将一元二次方程化为一般形式，注意a ， b ， c 的值包括前面的符号．
2. 解方程，最适当的解法是（ ）
A. 直接开平方法B. 因式分解法C. 配方法D. 公式法
【答案】B
【解析】
【分析】根据有相同的公因式，进行提取公因式即可得出结论．
【详解】左边因式分解可得，
∴或，
解得：，，
故选：B．
【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，正确掌握方法是解题的关键．
3. 若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（ ）
A. 1，0B. ﹣1，0C. 1，﹣1D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论．
【详解】解：∵，
把代入得：，
即方程的一个解是，
把代入得：，
即方程的一个解是；
故选：C．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键．
4. 用配方法解方程，将方程变为 的形式，则的值为（ ）
A. 9B. －9C. 1D. －1
【答案】C
【解析】
【分析】根据配方法将化简，然后得出结果即可．
【详解】解：方程可化为：
则有，
∴，
则，
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5. 下列一元二次方程中，两根之和为2的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了韦达定理，熟记韦达定理是解题关键．
通过一元二次方程的两根之和，逐项判断即可，同时要注意方程是否有实数解．
【详解】解：A、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，方程无解，没有实数解，故不符合题意；
D、，不符合题意
故选：A．
6. 如果代数式3x2-6的值为21，则x的值为（ ）
A. 3B. ±3C. -3D. ±
【答案】B
【解析】
【详解】解：根据题意得：3x2﹣6=21，即x2=9，解得：x=±3，故选B．
点睛：此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．
7. 下列方程中，无实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式，可分别找出四个选项中方程的根的判别式△的值，取的选项即可得出结论．
【详解】解：A、，
方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、，
方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、，
方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
D、，
方程没有实数根，故本选项符合题意．
故选：D．
8. 已知是一元二次方程较大的根，则下列对值估计正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．
【详解】解方程得
∵是一元二次方程较大的根，
∴，
∵，
∴，
∴.
故选B
【点睛】此题考查估算无理数的大小、解一元二次方程-公式法，解题关键在于对无理数得估算.
9. 已知为等腰三角形，已知它的两条边的长度分别是方程的两个根，那么该三角形的周长是（ ）
A. 或6B. C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】先求得的两个根，根据等腰三角形分类计算即可．
【详解】∵，
解得，
∴为等腰三角形三边长为或（不存在，舍去），
∴为等腰三角形周长为，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，三角形的存在性，熟练掌握解方程，等腰三角形的分类是解题的关键．
10. 关于方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. 无法求解
【答案】A
【解析】
【分析】变号后将转换成利用整体思想解题即可．
【详解】解：∵可转化为，方程的解是，，
∴或，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的运用，能够熟练运用整体思想是解题关键．
11. 增删算法统宗中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”，其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门宽度比竿小尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长为尺，依题意可得方程是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设竿长为尺，则为尺，为尺，利用勾股定理，可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设竿长为尺，则为尺，为尺，
根据题意得：．
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12. 已知关于x的一元二次方程，下列说法正确的有（ ）
①若，则方程必有两个不相等的实根；
②若，则；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
A. 1个B. 2 个C. 3个D. 4 个
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解，一元二次方程的根的判别式等式的性质对各项进行判断即可．
【详解】解：①时，的值不确定正负，所以无法确定方程根的情况，故①不正确；
②当时，，即方程有两个相等的实数根或者两个不相等的实数根，此时，故②正确；
③若c是方程的一个根，则，当时，，当时，不一定等于0，故③不正确；
④由，得，由于是一元二次方程的根，则成立，故④正确，
综上所述，正确的有②④，共2个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的综合运用，熟练掌握根的判别式，等式的性质进行判定是解题的关键．
二、填空题：每小题4分，共16分．
13. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了解一元二次方程，以及根的定义．先把代入原方程，求出k的值，进而再将k的值代入原方程，然后解方程即可求出方程的另一个根．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
解得：，
将代入原方程得：，
解得：，
∴方程另一个根为．
故答案为：．
14. 贵阳市某鞋厂7月份的运动鞋产量为24万双，因销量较好，8月份、9月份均增大产量，使第三季度的总产量达到88万双，设该厂8，9月份运动鞋产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该厂8，9月份运动鞋产量的月平均增长率为x，则8月份的运动鞋产量为万双，9月份的运动鞋产量为万双，再根据第三季度总产量为88万双列出方程即可．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：．
15. 已知关于的方程根的判别式的值，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据根的判别式得出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：关于的方程根的判别式的值，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式，是解题的关键．
16. 已知实数a，b满足，若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为_____，的值为_____．
【答案】 ①. －6 ②.
【解析】
【分析】本题考查了绝对值，二次根式的基本性质以及韦达定理，先通过绝对值及二次根式的性质先求出a，b的值，再通过韦达定理即可解题．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
故一元二次方程为
∴
∴
故答案为：， ．
三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、因式分解法、配方法、直接开平方法，选择合适的方法是解此题的关键．
（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
即，
，
，
【小问2详解】
解：，
，
，
即，
，
18. 若方程没有实数根，试判断方程根的情况并说明理由．
【答案】方程有两个不相等的实数根，理由见解析
【解析】
【分析】由方程没有实数根，可求出，进而可得出方程的根的判别式，然后根据判别式的意义得出结论．
【详解】解：方程有两个不相等的实数根，
理由：∵方程没有实数根，
∴，
解得：，
∴方程的根的判别式，
∴方程有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式的意义，牢记“①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根”是解题的关键．
19. 如图，是平塘某校学生为庆祝“十一”而举行的升旗仪式的摄影作品（七寸照片），照片长7英寸，宽5英寸，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积与照片的面积之比为，求照片四周外露村纸的宽度．
【答案】1英寸
【解析】
【分析】设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则衬纸的长为英寸，宽为英寸，根据矩形衬纸的面积与照片的面积之比为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出照片四周外露衬纸的宽度．
【详解】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则衬纸的长为（）英寸，宽为英寸，
依题意得：
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：照片四周外露衬纸的宽度为1英寸．
【点睛】此题考查了一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找出等量关系式列出方程．
20. 已知关于的方程．
（1）求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若是整数，且方程总有两个整数根，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）为1或．
【解析】
【分析】（1）分和两种情况进行讨论，判断判别式的符号即可；
（2）利用求根公式求出两个根，再根据是整数，且方程总有两个整数根进行分析求解即可．
【小问1详解】
证明：当时，此方程为，解得．
即时此方程有一个实数根；
当时，此方程为一元二次方程，
∵，
∴方程总有两个实数根．
综上所述，无论取何值方程恒有实数根．
【小问2详解】
，
即，，
∵方程的两个实数根都是整数，
∴为整数，
∴整数为1或．
【点睛】本题考查根据方程的根的情况，求参数．熟练掌握一元二次方程判别式与根的个数的关系，以及公式法解一元二次方程是解题的关键．
21. 如图，在长、宽的矩形场地上，建有三条同样宽的人行道，其中一条与平行，另两条与平行．其余的部分为草坪．已知草坪的总面积为．

（1）求人行道的宽度；
（2）若人行道每平方米的硬化费用是120元，求人行道硬化的总费用？
【答案】（1）人行道的宽度为
（2）人行道硬化的总费用为2 880元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数乘法的实际应用：
（1）设人行道的宽度为，则种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形，根据矩形面积计算公式列出方程求解即可；
（2）先用大长方形面积减去草坪面积求出人行道的面积，再用人行道每平方米的造价乘以面积即可得到答案．
【小问1详解】
解：设人行道的宽度为，则种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形，
依题意得，
整理得，
解得 (不符合题意，舍去)．
答：人行道的宽度为．
【小问2详解】
解：元，
答：人行道硬化的总费用为2 880元．
22. 某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．
（1）降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
【答案】（1）1800元；（2）30元
【解析】
【分析】（1）根据总利润＝单件利润×销售数量解答；
（2）根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】解：（1）（280﹣220）×30＝1800 （元）．
∴降价前商场每天销售该商品的利润是1800元．
（2）设每件商品应降价x元，
由题意，得 （280﹣x﹣220）（30+3x）＝1800×2，
解得 x1＝20，x2＝30．
∵要更有利于减少库存，
∴x＝30．
答：每件商品应降价30元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
23. 已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22＝8﹣3x1x2，求m的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝2m﹣2，x1•x2＝m2，结合x12+x22＝8﹣3x1x2即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．
【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．
∴Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2＝4﹣8m≥0，
解得：．
（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝2m﹣2，x1•x2＝m2，
∵x12+x22＝8﹣3x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝8﹣3x1x2，即5m2﹣8m﹣4＝0，
解得：m1＝，m2＝2（舍去），
∴实数m的值为．
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的知识是解题的关键．
24. 如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2＋x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2＋x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断方程2x2﹣2x＋1＝0是否是“邻根方程”？
（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
【答案】（1）2x2﹣2x＋1＝0是“邻根方程”；（2）m＝0或−2
【解析】
【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”；
（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出m的方程，注意有两种情况
详解】解：（1）2x2﹣2x＋1＝0，
∵，
∴，
∴ ，
∵ ，
∴ 2x2﹣2x＋1＝0是“邻根方程”；
（2）解方程得：（x−m）（x＋1）＝0，
∴x＝m或x＝−1，
∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，
∴m＝−1＋1或m＝−1−1，
∴m＝0或−2．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．
25. 先阅读，后解题．
已知，求和的值．
解：将左边分组配方：即．
，，且和为，
且，，．
利用以上解法，解下列问题：
（1）已知：，求和的值．
（2）已知，，是的三边长，满足且为直角三角形，求．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】由题意把等式变形为非负数的和等于0的形式，利用非负数的性质即可求解；
由题意把等式变形为非负数的和等于0的形式，求得的值，然后根据勾股定理可求解．
【小问1详解】
解：∵，
，即，
∵，，且，
∴且，
，；
【小问2详解】
解：∵，
方程变形为，
∴，，
∴，，
为直角三角形，
∴当，是直角边时，则；
当是斜边，是直角边时，则；
或．