河北省邢台市襄都区邢台英华教育集团2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份河北省邢台市襄都区邢台英华教育集团2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了1~下册30等内容，欢迎下载使用。
注意事项：共8页．总分120分，作答时间120分钟．
一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知的半径为，点到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系的判断方法求解即可得到答案．
【详解】解：∵的半径为，点到直线的距离为，
，
∴直线与的位置关系是相离，
故选：C．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系的判断方法是解决问题的关键．
2. 下列关于的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，从而完成求解．根据二次函数的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】解：当时，不是二次函数，故选项A错误；
，是二次函数，故选项B正确；
不是二次函数，故选项C错误；
不是二次函数，故选项D错误；
故选：B．
3. 在中，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意及三角函数直接进行求解即可．
【详解】解：如图，由题意得：
，
；
故选B．
【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握求一个角的三角函数值是解题的关键．
4. 在一次体育测试中，嘉琪所在小组人的成绩分别是：，，，，．．则这人体育测试成绩的中位数是（ ）
A. 47B. 48C. D. 49
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中位数的知识，解答本题的关键是掌握中位数的定义，注意在求解前观察：数据是否按大小顺序排列．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，由此计算即可．
【详解】解：将这组数据从小到大排序后，这组数据的中间两个数为，，
这组数据的中位数为．
故选：B．
5. 设一元二次方程两根分别是，，且满足，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而即可求解．
【详解】解：∵设一元二次方程的两根分别是，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
6. 在中，，用直尺和圆规在边上确定一点，使，根据作图痕迹判断，下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、尺规作图—作角平分线、尺规作图—作垂线、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握相似三角形的判定条件是解题的关键．
根据，可得，即是的垂线，根据作图痕迹判断即可获得答案．
【详解】解：当是的垂线时，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
根据作图痕迹可知，
A选项中，是的角平分线，不一定与垂直，不符合题意；
B选项中，是的中线，不一定与垂直，不符合题意；
C选项中，是的垂线，符合题意；
D选项中，不与垂直，不符合题意．
故选：C．
7. 如图，在中，弦、相交于点，，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了同弧所对的圆周角相等和三角形外角的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
先根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据三角形外角的性质得到的大小即可．
【详解】解：，
，
，
．
故选： C．
8. 如图，点在反比例函数图象上，轴，垂足为，轴，垂足为．为的中点，为的中点，若矩形的面积为3，则的值为（ ）

A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义．根据题意，由反比例函数系数的几何定义得，据此计算即可得出的值．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴，垂足为A，轴，
∴，
∵为的中点，为的中点，
∴，，
∵矩形的面积为3，即，
∴，
故选：D．
9. 如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①；②；③；，比较a，b，c，d的大小，用“”连接为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象，利用抛物线的开口越大，二次项系数的绝对值越小解题．
【详解】解：由抛物线的开口方向和大小可知，，，
，
故选：A．
10. 已知一个三角形的内心与外心重合，若它的内切圆的半径为2，则它的外接圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意判断三角形是等边三角形，作出图形，根据内切圆的半径为2求出外接圆的半径，利用圆面积公式即可求出答案．本题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵一个三角形的内心与外心重合，
∴该三角形是等边三角形，
根据题意，如图，是等边三角形，其内心外心均为点O，连接OB，过点O作于点D，则，
∵，平分，
∴，
在中，
，
∴的外接圆半径为4，
∴它的外接圆的面积为，
故选：D
11. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】连接，，根据圆周角定理得到，进一步即可得到结论．
【详解】解：连接，，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，为半径的同一个圆上，
∵，
∴，
∴这个正多边形的边数，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键．
12. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，得到抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先将化成顶点式，再按照“左加右减，上加下减”的原则即可得到平移后的抛物线的解析式．
熟练掌握配方法求抛物线的表达式及抛物线的平移规则是解题的关键．
【详解】
，
将向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，得
．
故选：A
13. 如图，的圆心在梯形的底边上，且与梯形的其他三边均相切，若，，则梯形的周长为（ ）
A. 8B. 10C. 14D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了切线的性质和等腰三角形的性质，解本题的关键是求出,
利用切线的性质得出，进而得出，即可得出，即：，同理：即可得出结论．
【详解】解：连接，，
∵AD，CD是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∴,
∵，
∴梯形的周长为，
故选：C．
14. 如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距和的长分别为（ ）
A. 3，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】连接，，根据，，推出是等边三角形，得到，根据，，正弦定义与的正弦值求出长，再由弧长公式求出的长．
本题主要考查了圆内接正六边形，等边三角形，三角函数，圆弧．熟练掌握正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，正弦定义，的正弦值，弧长公式，是解决问题的关键．
【详解】连接 ，，
∵正六边形内接于，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，．
故选：D．
15. 如图，四边形是菱形，边长为，．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度运动，同时点沿射线的方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点运动到达点时，点也立刻停止运动，连接．的面积为，点运动的时间为秒，则能大致反映与之间的函数关系的图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查函数的图象与解析之间的联系，解决问题的关键在于弄清图形的变化情况，结合勾股定理，给出面积的表达式，即可解题．
【详解】解：①当在上时，作，如图所示：
由题知，，
，
，
，则，解得，
故，
②当在上时，即时，，
③当在上不与重合，且Q在上时，作，如图所示：
，，
，
，
则，
④当Q在延长线上时，
．
故选：B．
16. 二次函数的图象如图所示，下列结论
①②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则
其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，则，
∵对称轴为直线，则，
∴，故②正确
抛物线与轴交于负半轴，则，
∴，故①错误；
∵当时，取得小值，
∴，
即m为任意实数，则故③正确，
④∵抛物线关于对称，
∴和的函数值相同，
即：，
由图象知，当时，函数值大于0，
∴；故④正确；
⑤当关于对称时：即：时，
对应的函数值相同，
即：，
∴
∴若，且，则；故⑤正确；
综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）
17. 如图，在中．、分别是、上的点，，且．则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．证明，列出比例式进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
18. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若抛物线与轴相交于，两点，则________．________．
【答案】 ①. -2 ②. 4
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题，先求得解析式，进而求得的值，令，进而得出的长．
【详解】解：∵中，，顶点坐标为，
∴抛物线解析式为，则，
令，则，
解得：
∴,
故答案为：-2，．
19. 如图，在中．，．是的内切圆．分别与，，相切于点，，．
（1）________．
（2）若，则________．
【答案】 ①. 60 ②. ##
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，圆周角定理，切线的性质．
（1）根据，得到，进而得到，连接，根据切线的性质，得到，圆周角定理得到，即可；
（2）连接，得到四边形为正方形，利用直角三角形内切圆的半径的计算方法，进行求解即可．
掌握特殊角的三角函数值，切线的性质，是解题的关键．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
连接，
∵是的内切圆，分别与，，相切于点，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵，，
∴，，
连接，则：，，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
设，
则：，
∴，
解得：；
即：；
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 已知抛物线．抛物线上，两点的横坐标满足．
（1）这条抛物线的对称轴是________，顶点坐标是_______．
（2）比较，的大小．
【答案】（1）直线，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质；
（1）化为顶点式，即可求解；
（2）根据，对称轴为直线，可得当时，随的增大而减小，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
【小问2详解】
，抛物线开口向上，对称轴是直线，
当时，随的增大而减小．
，
21. 年7月5日，星际荣耀“双曲线二号”验证火箭动力系统试车取得圆满成功．为了庆祝这个时刻，某县举办了科技知识活动，根据综合成绩择优参加市活动，进入前两名选手的各项成绩（单项满分分）如下表所示：
（1）如果把各项成绩的平均分作为综合成绩，应推选哪位选手？
（2）如果把征文、演讲、歌唱三项成绩按2∶5∶3的比例作为综合成绩，应推选哪位选手？
【答案】（1）应推选乙选手
（2）应推选甲选手
【解析】
【分析】本题考查了算术平均数，加权平均数，利用平均数作决策；
（1）分别计算甲乙的算术平均数，比较大小，然后作答即可；
（2）分别计算甲乙的加权平均数，比较大小，然后作答即可．
小问1详解】
解：由题意知，甲选手的平均分为（分），
乙选手的平均分为（分），
∵，
∴应推选乙选手；
【小问2详解】
解：由题意知，甲选手的综合成绩为（分）；
乙选手的综合成绩为（分）；
∵，
∴应推选甲选手．
22. 某电商在抖音平台上对红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可卖出160千克．通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．
（1）为保证每天利润为700元，商家想尽快销售完库存，每千克售价应为多少元？
（2）售价为多少元时，每天的销售利润最大，最大是多少？
【答案】（1）11元 （2）售价为12元时，每天的销售利润最大，最大是720元
【解析】
【分析】（1）设每千克售价应为x元，根据“如果按10元/千克销售，每天可卖出160千克，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克”列出方程，即可求解；
（2）设每千克售价应为m元，每天的销售利润为W元，根据题意，列出函数的关系式，结合二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：设每千克售价应为x元，根据题意得：
，
解得：，
∵商家想尽快销售完库存，
∴，
答：每千克售价应为11元；
【小问2详解】
解：设每千克售价应为m元，每天的销售利润为W元，根据题意得：
，
∵，
∴当时，W的值最大，最大值为720，
答：售价为12元时，每天的销售利润最大，最大是720元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程和二次函数的解析式，利用二次函数的性质求最值．
23. 如图，已知为的直径，是的中点，垂直于过点的直线于点．

（1）求证：是的切线．
（2）若，．求的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理：熟练的利用以上知识解题是关键.
（1）连接，推出，可得，从而推出，进而得到，再根据切线判定推出即可；
（2）连接，根据锐角三函数可得的长，即可得答案．
【小问1详解】
证明：如图，连接．

是的中点，
，
．
，
，
，
．
，
，
是的切线．
【小问2详解】
解：如图，连接．

为的直径，
．
，
．
，
，
．
24. 如图，正方形内接于，的半径为，是上的一个动点，连接，，分别交于点，．
（1）求的度数．
（2）若，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是正多边形与圆，正方形的性质、圆周角定理、圆心距、弦、弧之间的关系及相似三角形的性质和判定，掌握圆的相关性质定理是解题的关键．
（1）连接，，依据“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”即可求出的度数；
（2）连接，，交于点，延长交于点，由证明，，，求出相关线段的长度，再利用相似三角形的性质和判定即可求出的长．
【小问1详解】
如图1，连接，．
正方形内接于，
，
【小问2详解】
如图2，连接，，交于点，延长交于点．
，正方形内接于，
，，
，．
，
，
，．
，
，
，即，
．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，与双曲线在第一象限交于点，且．
（1）求的值．
（2）是轴上的一个动点，线段与双曲线交于点，连接，当平分的面积时，
①求点的坐标；
②求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）①点的坐标是；②四边形的面积为
【解析】
【分析】先根据直线与轴、轴的交点，求出交点坐标A−4,0，B0,3，由，，即可求出点的纵坐标，再代入一次函数解析式中求出，最后求出反比例函数解析式求出值；（2）设，根据平分面积可知，为中点，由此推出，再代入反比例函数解析式中求出，所以得出点的坐标是；由数形结合思想，可以看出，根据三角形面积即可求出四边形的面积.
【小问1详解】
解：与轴、轴分别交于、两点，
，B0,3，
，．
，

如图，过点作轴于点，则，
，
，
，
，，
，
．
双曲线过点，
【小问2详解】
解：①设点的坐标是．
平分的面积，
为的中点，
．
点在双曲线上，
，
解得，
点的坐标是．
②，A−4,0，，B0,3，
，
【点睛】本题主要考查了反比例函数解析式的求法，相似三角形的性质，三角形面积的计算等知识，学会数形结合思想去解决问题是本题的关键.
26. 抛物线：与轴交于点，，与轴交于点，顶点为．
（1）求抛物线的解析式和顶点的坐标．
（2）如图，在坐标平面上放置一透明矩形胶片，并在胶片上描画出抛物线在矩形胶片内部(含边界)的一段，记为，把该胶片绕点顺时针旋转，得到矩形胶片以及对应的图像．
①求旋转过程中扫过的面积；
②求图像所在的抛物线的解析式．
【答案】（1）抛物线的解析式为，顶点的坐标为
（2）①；②图像所在抛物线的解析式为
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解析式，再化为顶点式，从而得解；
（2）①旋转过程中扫过的部分是半圆，求出半径，从而得解；
②旋转后的点是顶点，设出顶点式，再将点B代入求出参数，从而得解．
【小问1详解】
把点，代入，
得
解得
抛物线的解析式为．
，
抛物线的顶点的坐标为．
小问2详解】
如图，①连接，．
由，，得，．
在中，．
由旋转性质可知，与围成的图形，和与围成的图形全等，二者面积相等，
旋转过程中扫过的面积，即图中，与半圆围成的图形面积，等于以为直径的半圆的面积，

②由旋转性质可知，，，
，
点的坐标为．
设图像所在抛物线的解析式为，
代入点，得，解得，
图像所在抛物线的解析式为．
选手
征文
演讲
歌唱
甲
75分
90分
87分
乙
84分
83分
88分