中考数学二轮复习几何模拟专项讲练模型23 勾股定理——赵爽弦图模型（2份，原卷版+解析版）

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◎结论1：在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE＝CF＝GD＝AH，则四边形EHGF是正方形

【证明】在正方形中，BE=CF=GD=AH，∴AE=BF=CG=HD,
又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴Rt△BEF≌Rt△CFG≌Rt△DGH≌Rt△AHE，
∴EF＝FG＝GH＝HE,∠AHE＝∠BEF，
∵∠AEH＋∠AHE＝90°
∴∠AEH十∠BEF＝90°
∴∠FEH＝90°
∴四边形 EHGF是正方形.
◎结论2：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H,使得BE=CF=GD=AH,此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，
则四边形ORQP是正方形
【证明】∵EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB，且∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∴四边形 AHPE、四边形 EBFQ、四边形 FCGP、四边形 HOGD均为长方形，
∴△AEH≌△PHE≌△BFE≌△QEF≌△CGF≌△RFG≌△DHG≌△OGH,
∴HP=EQ=FR=GO,EP=FQ=GR=HO,
∴OP=PQ=QR=RO，且∠ROP=180°-∠HOG＝90°，
∴四边形 ORQP为正方形.
◎结论3：如图所示，在正方形ABCD的四边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，使得BE=CF=GD=AH，此外EQ∥BC，HP∥CD，GO∥DA，FR∥AB， 则（1）S正方形 =4S 十S正方形;
（2）S正方形 =4S十S正方形;
（3）S正方形－S正方形＝S正方形－S正方形.
（4）2S正方形=S正方形十S正方形
注：常见的勾股数组合
①3,4,5； ②5,12,13；③6,8,10；④8,15,17；⑤9,12,15;
1．（2022·福建·厦门双十中学思明分校八年级期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②④C．①②③D．①③
【答案】C
【分析】由题意知 ，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③得到，由此即可判断．
【详解】解：由题意知 ，
①﹣②可得2xy＝45记为③，
①+③得到，
∴，
∴ ．
∵x＞y，由②可得x-y=2
由③得2xy+4＝49
∴结论①②③正确，④错误．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理中弦图的有关计算，准确找出图中的线段关系，并利用完全平方公式求出各个式子的关系是解题的关键．
2．（2022·辽宁·丹东市第五中学七年级期末）如图是“赵爽弦图”，由个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理可以求得 等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据即可求解．
【详解】解：因为大正方形的面积是，小正方形的面积是，
所以一个小三角形的面积是，三角形的斜边为，
所以，，
所以，
所以．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得和ab的值是关键．
3．（2022·河南·郑州经开区外国语女子中学八年级期末）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如图是由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形进行的镶嵌，其中直角三角形的一个角等于，若小正方形的边长为，则大正方形的边长为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设BF=x，利用含30°角的直角三角形的三边关系可得AB=2x，AF=x，再根据EF=1，列出方程，从而解决问题．
【详解】解：设，
，，
，，
，
，
解得，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，勾股定理，含30°角的直角三角形的三边关系等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的三边关系是解题的关键．
小试牛刀
1．（2022·北京十一晋元中学八年级期中）用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若x，y表示直角三角形的两直角边长（x＞y），给出下列四个结论正确的是 _____．（填序号即可）
①x﹣y＝2；②；③2xy＝45；④x+y＝9．
【答案】①②③
【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．
【详解】解：如图，
∴，故①正确，
∵△ABC为直角三角形，
∴根据勾股定理：，
故②正确，
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
可得：4××xy+4=49，
即2xy=45；
故③正确；
由2xy=45①，
又∵②，
∴①+②得，，
整理得，，
x+y=≠9，
故④错误，
∴正确结论有①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，完全平方公式，算术平方根的应用，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．
2．（2022·河南南阳·八年级期末）把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②，③所示的正方形（图②中大正方形边长为5，图③中中间小正方形边长为1），则图①中菱形的面积为________．
【答案】12
【分析】设菱形较长对角线长为2a，较短对角线长为2b，根据两种拼图得到，计算a，b的值，后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可．
【详解】设菱形较长对角线长为2a，较短对角线长为2b，
根据两种拼图得到，
解得，
所以菱形的面积为：=12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了菱形的性质，方程组，熟练掌握菱形的性质，方程组是解题的关键．
3．（2022·山西吕梁·八年级期末）如图是一幅赵爽弦图，利用此图可以证明勾股定理．现连接BE，发现AB＝BE，若DE＝1，则正方形ABCD的面积为________．
【答案】5
【分析】根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图：由题意得，，
，，
，
，
正方形的面积，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
4．（2022·河南安阳·八年级期末）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．下图是3世纪我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．此图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则的值是____________．
【答案】49
【分析】根据题意和图形，可以得到，，然后变形即可得到ab的值，再将展开，将a2 + b2和ab的值代入计算即可．
【详解】解：由图可得，
，，
∴，
∵小正方形的面积是1，
∴，
∴，
∴，
∴
=
=
= 25+ 24
=49；
故答案为：49．
【点睛】本题考查勾股定理、完全平方公式，解答本题的关键是求出ab的值，利用数形结合的思想解答．
1．（2022·四川宜宾·中考真题）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______．
【答案】289
【分析】设直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于，即，根据小正方的面积为49，可得，进而计算即即可求解．
【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为，较长的直角边为较短的直角边为为斜边，
直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，
，
①，②，
，
③，
，
解得或（舍去），
大正方形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半径等于是解题的关键．
2．（2020·湖南娄底·中考真题）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积的和证明了勾股定理，还可以用来证明结论：若、且为定值，则当_______时，取得最大值．
【答案】=
【分析】设为定值，则，先根据“张爽弦图”得出，再利用平方数的非负性即可得．
【详解】设为定值，则
由“张爽弦图”可知，
即
要使的值最大，则需最小
又
当时，取得最小值，最小值为0
则当时，取得最大值，最大值为
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平方数的非负性，掌握勾股定理是解题关键．