中考数学二轮复习几何模拟专项讲练模型18 轴对称——将军饮马模型（2份，原卷版+解析版）

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类型一：和两旁
模型1 如图，定点A，B分布在定直线l的两侧，在直线l上找一点P，使得
PA＋PB的值最小.

【作法】如图，连接 AB，与直线 l的交点即为所求点P.

模型2 如图，定点A，B分布在定直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得PA+PB的值最小

【作法】如图，作点B关于直线l的对称点B＇，连接AB＇，与直线
l的交点即为所求点P.

模型3 如图，点P为角内一点，在射线OA，OB上分别找点M，N，使得△PMN的周长最小.
【作法】如图，分别作点 P关于两射线OA，OB的对称点P₁和P₂，连接
P1P2 ，与两射线的交点即为所求点 M，N。

此图结论：
1.OP＝1＝OP2
PM＋PN＋MN＝P1M＋P2N＋MN≥P1P2
∠P1OA＝∠POA,∠P2OB＝∠POB,∠P1OP2＝2∠AOB
对称：△OMP≌△OMP1
模型4 ：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABDC周长最短．
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABDC即为所求．
模型5 在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．
点A是定点，OM，ON是定线，
点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点．
作法：作点A关于OM的对称点A’，过点A’作A’C⊥ON，
交OM于点B，B、C即为所求。
模型6（造桥选址）直线l1∥l2，在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得CD⊥l2, 且AC＋BD＋CD最短．
作法：将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A’，连接A’B，交l2于点D，过点D作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥CD即为所求．此时最小值为A’B+CD
模型7已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.
作法一：将点A向右平移长度d得到点A’， 作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。
作法二：作点A关于直线l的对称点A1，将点A1向右平移长度d得到点A2，连接A2 B，交直线l于点Q，将点Q向左平移长度d，得到点Q。
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,记) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,诀)
和两旁
【总结】研究几何最值：
⑴两点之间，线段最短 ⑵垂线段最短
类型二：差同旁
模型8在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即|PA-PB |最小.
作法：连接AB，作AB的中垂线与l的交点，即为所求 点P
此时|PA-PB |=0
模型9 在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB |最大
作法：延长BA交l于点C，点C即为所求，
即点B、A、C三点共线时，最大值为AB的长度。
模型10 ：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大
作法：作点B关于l的对称点B，连接AB，
交交l于点P即为所求，最大值为AB的长度。
1．（2021·湖南·宁远县上宜中学九年级阶段练习）A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·湖北黄石·七年级期末）如图，河道的同侧有、两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·云南昆明·八年级期末）如图，已知点、分别是等边三角形中、边的中点，，点是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
1．（2021·湖北荆门·八年级期中）如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是____．
2．（2020·海南三亚·八年级期末）如图，四边形ABCD中，，，E、F分别是AD、AB上的动点，当的周长最小时，的度数是______．
3．（2022·贵州省三穗中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，在坐标系中A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
(1)在图中画出关于x轴的对称图形，并分别写出对应点A1、B1、C1的坐标．
(2)求．
(3)在y轴上是否存在一点p，使得AP+CP最小，若存在，请在图中描出点P，若不存在请说明理由．
4．（2022·四川乐山·七年级期末）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；
（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；
（3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值．
1．（2018·广东广州·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；
②若CD＝2，AB＝4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．
2．（2017·江苏徐州·中考真题）如图，将边长为的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕（如图①），点为其交点.
（1）探求与的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若分别为上的动点.
①当的长度取得最小值时，求的长度；
②如图③，若点在线段上，，则的最小值=
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