2024-2025学年辽宁省名校联盟高一(上)12月月考数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年辽宁省名校联盟高一(上)12月月考数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，，
故，A错误；
由于，故，，所以B正确，C错误；
，则不是A的子集，D错误.
故选：B.
2. 下列函数中是奇函数，且在定义域内单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A项，的定义域为，
在，上单调递减，但不能说在定义域内单调递减，故A项错误；
对于B项，的定义域为，且，
所以不是奇函数，故B项错误；
对于C项，的定义域为，故函数为非奇非偶函数，故C项错误；
对于D项，的定义域为，且，
所以为奇函数，又在上单调递减，故D项正确．
故选：D．
3. 已知某种污染物的浓度（单位：摩尔/升）与时间（单位：天）的关系满足指数裺型，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），是常数，第天（即）测得该污染物的浓度为摩尔/升，第天测得该污染物的浓度为摩尔/升，若第天测得该污染物的浓度变为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得则，解得．
令，即，所以，
所以，解得．
故选：B.
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由解析式，知的定义域为，
，
所以奇函数，
当时，，，
则，
所以，在上，
结合各项函数图象，知：C选项满足要求.
故选：C.
5. 已知函数为偶函数，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】若函数有意义，则，
当时，不等式解集为，即函数定义域为，
又函数为偶函数，则，解得；
当时，不等式的解集为，即函数定义域为，
此时函数不是偶函数，舍；
当时，不等式的解集为，即函数的定义域为，
又函数为偶函数，则，解得，不满足，舍；
当时，不等式的解集为，舍；
当时，不等式的解集为，即函数的定义域为，
又函数为偶函数，则，解得，不满足，舍；
综上所述，
此时函数，
设，则，
即函数为奇函数，
所以若使为偶函数，
则需函数为奇函数，
即，即，解得，
综上所述，
满足，即为偶函数，
综上所述，.
故选：D.
6. 已知，且函数在上有最小值，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当时，；
当时，，
若时，，且，
∴函数在上有最小值，
当时，，
此时，显然函数在上没有有最小值，最小值无限趋近于零；
综上：a的取值范围为.
故选：A.
7. 已知为偶函数，若对任意，，总有成立，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由可得，
即，也即，
当时，，当时，，
所以函数在单调递增，
又因为为偶函数，所以的图象关于对称，
所以在单调递减，且，
所以由得解得.
故选：A.
8. 已知函数，若关于的方程有8个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为函数定义域为，
，
所以为偶函数，当时，
令，则可作出的图象：
关于的方程有8个不同的实数根，
方程在区间内有两个不相等的实数根.
令，则.
.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题中，假命题为（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 与是同一个函数
C. 函数的增区间为
D. 函数的最小值是2
【答案】ACD
【解析】对于A选项，命题“，”的否定是“，
”，故A错误；
对于B选项，由，解得，故的定义域为，
由，解得，故的定义域为，
又，故B正确；
对于C选项，由，解得或，
其中在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递增，
由复合函数单调性可知，的增区间为，故C错误；
对于D选项，因为，
所以，
当且仅当时等号成立，无实数解，所以，
故D错误.
故选：ACD.
10. 若，，且，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】令，则由一次函数知，在上单调递增，
由对数函数知，在上单调递增，
所以在上单调递增，
由，得，即，
所以，故A正确；
由A知，，又，，，所以，
因为在上单调递减，所以，故B正确，
由B知，，令，，，
此时，故C错误；
由B知，，令，，，此时，故D错误.
故选：AB.
11. 某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中正确的有（ ）
A.
B. ，都有
C. 的值域为
D. ，，都有
【答案】ABD
【解析】对于A：，A正确；
对于B：当时，，因为单调递减，
所以单调递减，且，，
当时，，因为单调递减，
所以单调递减，且，
所以，则在R上单调递减，故B正确；
对于C：当时，，
当时，，综上的值域为，故C不正确；
对于D：当，时，
，仅当等号成立，
故，，都有，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，则___________.
【答案】
【解析】，
，
所以.
13. 甲说：已知是R上的减函数，乙说：存在，使得关于的不等式在时成立，若甲、乙两人说的话都不对，则的取值范围是___________．
【答案】或
【解析】若甲对，则，解得．
若乙对，由存在，使得关于的不等式在时成立．
可得，，
因在内单调递减，在内单调递增，
且，可知在内的最大值为，
可得，解得．
若甲说的话不对，则或，
若乙说的话不对，则，
若甲、乙说的话都不对，则或，
故的取值范围是或.
14. 已知函数（且）只有一个零点，则实数的取值范围为______．
【答案】或或
【解析】∵函数（a>0且）只有一个零点，
∴，
∴，
当时，方程有唯一根2，适合题意，
当时，x=2或，
显然符合题意的零点，
∴当时，，
当时，，即，
综上：实数的取值范围为或或.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，全集，集合，函数的定义域为.
（1）当时，求；
（2）若是成立的充分不必要条件，求a的取值范围.
解：（1），
即.
由，得，解得，即.
当时，.
∴.
（2）由是的充分不必要条件，可知集合是集合的真子集.
所以解得，
经检验符合集合是集合的真子集，所以a的取值范围是.
16. 已知函数，其中且．
（1）若函数的图象过点，求不等式的解集；
（2）若存在实数，使得，求的取值范围.
解：（1），则，，
，，，定义域为0,+∞，
要解不等式，则，
．
又在定义域内是严格增函数，
由，则，解得．
综上所述，不等式的解集为．
（2）的定义域为0,+∞，则在方程中，
应满足，
由，解得，问题转化为时，方程有实数解．
又，则，
即．
为严格单调函数，
，
，两边同除以得．
令，由，则，
在有解．
又在0,+∞上严格增函数，
，即，
又，则.
17. 已知函数.
（1）当时，求函数的零点；
（2）若函数为偶函数，求的值；
（3）当时，若关于的不等式在时恒成立，求的取值范围.
解：（1）当时，，
令，解得，
所以当时，函数的零点为0.
（2）因为函数为偶函数，所以，
即，所以，
又不恒为0，所以，即.
（3）当时，，
因为关于的不等式在时恒成立，
所以，
又因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即的取值范围是.
18. 已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，．
（1）判断的奇偶性；
（2）判断在上的单调性，并证明；
（3）若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围．
解：（1）函数为R上的奇函数.证明如下：
易知函数的定义域为R，令，则，
又，所以f-x=-fx，所以函数奇函数.
（2）在0,+∞上的单调递增，证明如下：
由（1）知，，
当时，，所以，
从而，
，则
，
因为，所以，又当时，，
所以，所以，所以，
故在0,+∞上的单调递增.
（3）由（1）知，函数为R上的奇函数，所以，
由（2）知，当时，，且在0,+∞上的单调递增，
所以在上的单调递增，
所以当时，函数的最大值为，最小值为，
又任意，总有恒成立，
所以，即，
由题意，对恒成立，
令，则，
所以，解得或，
故实数的取值范围是.
19. 我们知道，函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
（1）判断函数的奇偶性，求函数的图像的对称中心，并说明理由；
（2）已知函数，问是否有对称中心？若有，求出对称中心；若没有，请说明理由；
（3）对于不同的函数与，若的图像都是有且仅有一个对称中心，分别记为和．
（i）求证：当时，的图像仍有对称中心；
（ii）问：当时，的图像是否仍一定有对称中心？若一定有，请说明理由；若不一定有，请举出具体的反例．
解：（1）为奇函数，证明如下：
首先的定义域为R，关于原点对称，
又，故为奇函数，
，
所以，于是是奇函数，
由题意知图像的对称中心是．
（2）根据题意
，
取，上式计算得，此时，
所以有对称中心，对称中心为.
（3）根据题意，，．
（i）证明：当时，，
所以此时的图像仍有对称中心，对称中心为．
（ii）当时，不一定有对称重心．
设，易知函数的图像关于对称，得，，
设，易知函数的图像关于对称．得，，
此时，，其图像不关于某一点对称，即没有对称中心．