湖北省武汉市东西湖五中学区2023-2024学年八年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份湖北省武汉市东西湖五中学区2023-2024学年八年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的识别，掌握使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形是解题的关键．
【详解】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：A．
2. 若分式无意义，则x的取值等于（ ）
A. 0B. ﹣1C. ﹣2D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式无意义分母等于0列式计算即可．
【详解】解：∵分式无意义，
∴，解得，
故选：B．
【点睛】考查了分式无意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零，分式无意义的条件是分母等于零．
3. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A. AB=DEB. AC=DFC. ∠A=∠DD. BF=EC
【答案】C
【解析】
【详解】解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选不符合题意；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；
选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项不符合题意．
故选C．
4. 下列因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据因式分解的定义逐项分析即可．
【详解】A．，不是因式分解；
B．，不是因式分解；
C．是因式分解；
D．的右边不是积的形式，不是因式分解．
故选C．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．
5. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE=（ ）
A. 80°B. 60°C. 50°D. 40°
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质∠B，利用线段垂直平分线的性质易得AE=BE，∠BAE=∠B．
【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=（180°﹣100°）÷2=40°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠BAE=∠B=40°，
故选D．
6. 已知，则的值为（ ）
A. 16B. 25C. 32D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了幂的乘方和同底数幂相乘的法则，熟练掌握法则是解题的关键．利用幂的乘方和同底数幂相乘的法则把进行变形后，再整体代入即可．
【详解】解：∴，
∴，
故选：C．
7. 已知，则（ ）
A. B. 5C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】原始变形后，分解因式，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：∵，
∴，
原式
．
故选：A．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，利用了整体代入的思想，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8. 如图，在中，，将沿着直线折叠，点C落在点D的位置，则的度数是（ ）
A 80°B. 40°C. 90°D. 140°
【答案】A
【解析】
【分析】由轴对称的性质得出∠C=∠D，再由∠1=∠C+∠3，∠3=∠2+∠D，即可得到∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C，从而求出答案．
【详解】解：由题意得：∠C=∠D，
∵∠1=∠C+∠3，∠3=∠2+∠D，
∴∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C，
∴∠1－∠2=2∠C=80°．
故选：A．
【点睛】本题主要三角形外角的性质及轴对称的性质，运用三角形外角的性质及轴对称的性质找出角与角之间的关系是解题的关键．
9. ，为实数，整式的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分组，然后运用配方法得到，最后利用偶次方的非负性得到最小值．
【详解】解：，
∵，
∴当时，原式有最小值，最小值为．
故选：A．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用和偶次方的非负性，正确运用该完全平方公式是解答本题的关键．
10. 如图，∠AOB＝30°，M、N分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠AMP＝∠1，∠ONQ＝∠2，当MP＋PQ＋QN最小时，则关于∠1、∠2的数量关系正确的是（ ）

A. ∠1＋∠2＝90°B. 2∠2－∠1＝30°
C. 2∠1＋∠2＝180°D. ∠1－∠2＝90°
【答案】D
【解析】
【分析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，根据轴对称可得∠OPM=∠OPM′，根据对顶角相等可得∠OPM′=∠QPN，根据三角形的外角的性质可得∠OPM=∠1−∠O=∠1−30°，由此可得∠QPM=180°-(∠OPM+∠QPN)=180°-2(∠1−30°)，与此类似可得∠OQP=∠3=30°+∠2，在△MQP中，根据三角形的内角和定理可求得∠1−∠2=90°.
【详解】如图,作M关于OB的对称点M′,N关于OA的对称点N′,连接M′N′交OA于Q，交OB于P，

则MP+PQ+QN最小，
∵∠1=∠O+∠OPM，
∴∠OPM=∠1−∠O=∠1−30°，
∵∠OPM=∠OPM′，∠OPM′=∠QPN，
∴∠OPM=∠QPN=∠1−30°，
∴∠QPM=180°-(∠OPM+∠QPN)=180°-2(∠1−30°)
∵∠3=∠O+∠2=30°+∠2,
∵∠N′QA=∠3，∠OQP=∠N′QA
∴∠OQP==∠3=30°+∠2,
∴∠1−30°+∠2=2(30°+∠2)，
在△MQP 中，
∠1+∠OQP+∠QPM=180°，
即∠1+30°+∠2+180°-2(∠1−30°)=180°，
化简得∠1−∠2=90°.
故选D.
【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，三角形的外角的性质，三角形的内角和，轴对称的性质.在本题中能利用∠O，∠2,∠1分别表示△MQP的三个角是解决此题的关键.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 若分式的值为0，则x=______
【答案】x=1
【解析】
【详解】由分式的值为零的条件得
解得：
故答案为：1
12. 计算：________．
【答案】．
【解析】
【分析】根据单项式除以单项式的法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式除以单项式，掌握法则并熟练应用是解题关键．
13. 若x2＋bx＋c＝(x＋5)(x－3)，其中b，c为常数，则点P(b，c)关于y轴对称的点的坐标是________．
【答案】(－2，－15)
【解析】
【详解】分析：先利用多项式的乘法展开再根据对应项系数相等确定出b、c的值，然后根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
详解：∵(x+5)(x−3)=x2+2x−15，
∴b=2，c=−15，
∴点P的坐标为(2,−15)，
∴点P(2,−15)关于y轴对称点的坐标是(−2,−15).
故答案为(−2,−15).
点睛：：考查关于y轴对称的点的坐标特征，纵坐标不变，横坐标互为相反数.
14. 如图，平分，，，于点，，则__________．
【答案】5
【解析】
【分析】过点P作于E，根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，同位角相等可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，最后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得．
详解】解：如图，过点P作于E，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
15. 已知（x﹣2016）2+（x﹣2018）2＝34，则（x﹣2017）2的值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先把（x﹣2016）2+（x﹣2018）2＝34变形为（x﹣2017+1）2+（x﹣2017﹣1）2＝34，把（x﹣2017）看作一个整体，根据完全平方公式展开，得到关于（x﹣2017）2的方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵（x﹣2016）2+（x﹣2018）2＝34，
∴（x﹣2017+1）2+（x﹣2017﹣1）2＝34，
∴（x﹣2017）2+2（x﹣2017）+1+（x﹣2017）2﹣2（x﹣2017）+1＝34，
∴2（x﹣2017）2+2＝34，
∴2（x﹣2017）2＝32，
∴（x﹣2017）2＝16．
故答案：16．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是把（x﹣2016）2+（x﹣2018）2＝34变形为（x﹣2017+1）2+（x﹣2017﹣1）2＝34，注意整体思想的应用．
16. 如图，等边三角形ABC中， BD⊥AC于D，BC＝8，E在BD上一动点，以CE为边作等边三角形ECP，连DP，则DP的最小值为_________________．
【答案】2
【解析】
【分析】连接AP，由等边三角形的性质可得三角形全等的条件，从而可证△ACP≌△BCE，推出∠CBE=∠CAP=30°，再由垂线段最短可知当DP⊥AP时，DP值最小，利用含30°的直角三角形的性质定理可求DP的值．
【详解】解：如图，连接AP，
∵△ABC为等边三角形，BD⊥AC，BC=8，
∴BC=AC=AB=8，DA=DC=4，∠BCA=∠ABC=60°，∠CBE=30°，
∵△CEP为等边三角形，
∴CE=CP，∠PCE=60°，
∴∠PCE=∠ACB，
∴∠BCE=∠ACP，
∴在△BCE和△ACP中，
∴△BCE≌△ACP（SAS），
∴∠CBE=∠CAP=30°，AP=BE，
∴当DP⊥AP时，DP值最小，
此时∠APD=90°，∠CAP=30°，DA=4，
∴DP=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了构造全等三角形来求线段最小值，同时也考查了30°所对直角边等于斜边的一半及垂线段最短等几何知识点，具有较强的综合性．
三、解答题：（本大题共8个小题，共72分）
17 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先计算积的乘方，再根据多项式除以单项式的计算法则求解即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题主要考查了整式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
18. 因式分解．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法是解决此题关键．
（1）先提取公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可．
【小问1详解】
解：
，
【小问2详解】
．
19. （1）已知，，求，的值；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1），9；（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式的变形求值，熟记相关计算法则是解题的关键．
（1）利用完全平方公式的变形求出，，由此即可得到答案．
（2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可；
【详解】（1），
.
（2）原式
，
当时，原式．
20. 在中，是的中线，是的平分线， 交的延长线于F．
（1）若，求的度数；
（2）求证：是等腰三角形．
【答案】（1）60度 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质：
（1）根据等腰三角形的“三线合一”，即可作答．
（2）先由角平分线的定义得，结合，得，因为角的等量代换，即可作答．
【小问1详解】
解：∵是的中线，
∴；
【小问2详解】
证明：∵是的平分线
∴
∵
∴
∴，
∴
∴是等腰三角形．
21. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，和的顶点都是格点．
（1）请在直线m上找到点P，使得的值最小；
（2）和关于直线n对称，请画出直线n；
（3）作出的高；
（4）的面积为________．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）见详解 （4）
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，作轴对称图形、轴对称性质，三角形的面积公式：
（1）点E和点C关于直线m对称，故连接，与直线m相交于点P，即可作答．
（2）因为和关于直线n对称，所以连接，然后分别作出线段的垂直平分线，即可作答．
（3）结合勾股定理，因为，且，故作线段的垂直平分线与的交点，即为点H，即可作答．
（4）运用割补法进行列式计算，即可作答．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：如图所示：
【小问3详解】
解：如图所示：
【小问4详解】
解：依题意，；
的面积为．
22. 如图1，长方形的两边长分别为m+3，m+13；如图2的长方形的两边长分别为m+5，m+7．（其中m为正整数）
（1）写出两个长方形的面积S1，S2，并比较S1，S2的大小；
（2）现有一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等．试探究该正方形的面积与长方形的面积的差是否是一个常数，如果是，求出这个常数；如果不是，说明理由．
（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于S1，S2之间（不包括S1，S2）且面积为整数，这样的整数值有且只有19个，求m的值．
【答案】(1)
(2) 是常数；
(3)m=4.
【解析】
【分析】（1）根据矩形的面积公式计算即可；
（2）根据矩形和正方形的周长和面积公式即可得到结论；
（3）根据题意即可得到结论．
【详解】(1)图①中长方形的面积
图②中长方形的面积
比较：∵ m为正整数，m最小为1，
∴
∴
(2)
是常数；
(3)由(1)得,
∴当时，
∴
∵m为正整数，
∴ m=4.
【点睛】考查了整式的乘法以及完全平方公式，熟练掌握多项式的乘法法则是解题的关键.
23. 以△ABC的AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AE＝AB，AC＝AD，CE与BD相交于M，∠EAB＝∠CAD＝α．
（1）如图1，若α＝40°，求∠EMB的度数；
（2）如图2，若G、H分别是EC、BD的中点，求∠AHG的度数（用含α式子表示）
（3）如图3，连接AM，直接写出∠AMC与α的数量关系是 ．
【答案】（1）40°；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）由“”可证，可得，由外角的性质可得结论；
（2）由“”可证，可得，，即可求解；
（3）连接，过点作于，于，由全等三角形的性质可得，，由面积法可求，由角平分线的性质可求，即可求解．
【详解】解：（1），
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）连接，
由（1）可得：，，
、分别是、的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
；
（3）如图3，连接，过点作于，于，
，
，，
，
，
又，，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，已知点A（0，a），B（b，0），其中a，b满足：（x＋b）（x＋2）＝x2＋ax＋6（a，b为常数）．
（1）求点A，B的坐标；
（2）如图1，D为x轴负半轴上一点，C为第三象限内一点，且∠ABC＝∠ADC＝90°，AO＝DO，DB平分∠ADC．过点C作CE⊥DB于点E，求证：DE＝OB；
（3）如图2，P为y轴正半轴上一动点，连接BP，过点B在x轴下方作BQ⊥BP，且BQ＝BP，连接PC，PQ，QC．在（2）条件下，设P（0，p），求△PCQ的面积（用含p的式子表示）．
【答案】（1）A（0，5），B（3，0）；（2）证明见解析；（3）（p＞0且p≠5）.
【解析】
【分析】（1）根据（x＋b）（x＋2）＝x2＋ax＋6（a，b为常数），将等式左边展开，根据两个多项式相等对应项的系数也相等可得a和b的值，从而得出点A，B的坐标；
（2）过B作AD和DC的垂线，分别交AD和DC的延长线于F、G两点，证明△AFB≌△CGB可得AB=BC，再证明△AOB≌△BEC，可得OB=EC，证明△DEC为等腰直角三角形可得DE=CE，从而可得结论；
（3）证明△PAB≌△QCB可得AP=QC，再证明QC//x轴，根据三角形面积公式可求得△PCQ的面积．
【详解】解：（1）∵a，b满足：（x＋b）（x＋2）＝x2＋ax＋6（a，b为常数）．
∴，即，
解得，
故A（0，5），B（3，0）；
（2）过B作AD和DC的垂线，分别交AD和DC的延长线于F、G两点，
∴∠AFB=∠BFD=∠BGD=90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠FBG=90°，即∠FBC+∠CBG=90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠FBC+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠CBG，
∵DB平分∠ADC，
∴FB=BG，∠BDC=45°，
∴△DEC为等腰直角三角形，DE=CE，
在△AFB和△CGB中
∵，
∴△AFB≌△CGB（ASA），
∴AB=BC，
∵CE⊥DB，
∴∠AOB=∠CEB=90°，
∴∠OAB+∠ABO=∠ABO+∠CBD=90°，
∴∠OAB=∠CBD，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴DE=CE=OB；
（3）∵P（0，p），A（0，5），
∴AP=p-5，
∵BQ⊥BP，
∴∠PBQ=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABP=∠CBQ，
∵BQ＝BP，AB=BC，
∴△PAB≌△QCB（SAS）,
∴QC=AP=p-5，∠BQC=∠BPO，
∵∠BOP=∠PBQ=90°，
∴∠BPO+∠PBO=∠PBO +∠OBQ=90°，
∴∠BPO=∠OBQ，
∴∠BQC=∠OBQ，
∴QC//x轴，
由（2）可知，OE=OD-DE=5-3=2,CE=3，
∴C(-2,-3),
∴（p＞0且p≠5）.