湖北省武汉市华宜寄宿学校2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份湖北省武汉市华宜寄宿学校2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在下列长度的组线段中，能组成三角形的是（ ）
A. 2、3、6B. 3、5、9C. 3、4、5D. 2、3、5
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．
【详解】解：A、，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、，能组成三角形，故此选项符合题意；
D、，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
2. 在中，如果，那么是（ ）
A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 斜三角形
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和是是解题的关键．
根据三角形内角和定理直接解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故是直角三角形．
故选：A．
3. 已知一个多边形的内角和等于，则这个多边形是（ ）
A. 九边形B. 十边形C. 十一边形D. 十二边形
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
根据n边形的内角和公式列方程进行计算即可求解．
【详解】设这个多边形是n边形，
则，
解得．
这个多边形是十一边形．
故选：C．
4. 已知等腰三角形两边长分别为，，则这个三角形的周长是( )
A. B. C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别讨论6，12为腰时，是否满足三角形三边关系，算出周长即可.
【详解】① 当6为腰时，则三边为6，6，12，不满足三角形三边关系；②当12为腰时，三边为12，12，6，满足三角形三边关系，则周长为12+12+6=30cm，故选B.
【点睛】本题是对等腰三角形的考查，分类讨论是解决本题的关键，但是要判断是否满足三角形三边关系.
5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，要判定，已知，是公共边，具备了两组边对应相等，结合判定全等的方法添加条件即可．解题的关键是掌握：判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【详解】解：A．添加，根据，能判定，故此选项不符合题意；
B．添加，根据，能判定，故此选项不符合题意；
C．添加，根据，能判定，故此选项不符合题意；
D．添加，不能判定，故此选项符合题意．
故选：D．
6. 如图，中，，，AD平分交于，于，且，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的性质与判定，熟记性质并准确识图是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，即可得出的周长．
【详解】解：平分，，，
，
在和中，
，
，
，
的周长，
，
，
，
，
，
，
的周长为．
故选：B
7. 如图，已知，点、分别在、上，与相交于点，欲使．甲、乙、丙三位同学分别添加下列条件：甲：；乙：；丙：．其中满足要求条件是（ ）

A. 仅甲B. 仅乙C. 甲和乙D. 甲、乙、丙均可
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形外角性质求出，根据全等三角形的判定推出即可；根据推出两三角形全等即可；求出，根据全等三角形判定推出即可．
【详解】解：，，，
，
和中
，甲正确；
在和中
，乙正确；

连接，
，，
，，
，
即，
在和中
，丙正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和等腰三角形性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，．
8. 如图，已知平分的外角，为上一点，，过点作于点，若，，则线段CB的长为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 5.5
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理等，灵活选择判定定理是解题的关键．
先作，根据角平分线的性质定理得，再根据证明≌，可得，然后根据三角形内角和定理得，再根据“”证明≌，得出，即可求出答案．
【详解】解：过点D作，于点G，
∵是的平分线，，，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
9. 如图，已知点为三条内角平分线的交点，过作于，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线定义，先根据三角形的外角性质得，再根据，可得，然后把用表示，再整理得出答案．
【详解】∵是三条角平分线，
∴．
∵，
∴．
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
10. 如图，四边形中，，对角线、相交于点，且分别平分和，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，在AB上截取，，连接，．根据题意易证，．即得出，，，．继而求出，再由题意可知，，即又可推出，．由OF平分，得，可推出．最后由平分，可得．即可求出的值．
【详解】解：如图，在AB上截取，，连接，．
根据题意可知，，
又∵，，
∴，．
∴，，，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴ 到、的距离相等，
∴，即，
∴，，
又∵，即平分．
同理可得：，即，
∴，
∴，
∵平分，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查角平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质．推理论证过程较难，作出辅助线，根据角平分线的性质得出三角形的角平分线分对边成两条线段，那么这两条线段的比等于对应相邻的两边的比是解答本题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 工程建筑中经常采用三角形的结构，如图的屋顶钢架，其中的数学道理是 _____________．
【答案】三角形具有稳定性
【解析】
【分析】根据三角形具有稳定性，即可求解．
【详解】解：工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的数学道理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点睛】本题主要考查了三角形，熟练掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
12. 一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为________．
【答案】8
【解析】
【分析】首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得3-2＜x＜3+2，然后再确定x的值，进而可得周长．
【详解】解：设第三边长为x，
∵两边长分别是2和3，
∴3-2＜x＜3+2，
即：1＜x＜5，
∵第三边长为奇数，
∴x=3，
∴这个三角形的周长为2+3+3=8，
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
13. 一个多边形外角和是内角和，则这个多边形的对角线共有______条．
【答案】44
【解析】
【分析】设这个多边形的边数为n，根据外角和是内角和的列方程求出n，再根据对角线的公式求出答案．
【详解】设这个多边形的边数为n，
则
解得
∴这个多边形的对角线共有条，
故答案为：44．
【点睛】此题考查了多边形内角和与外角和关系，多边形对角线公式，熟练掌握各计算公式是解题的关键．
14. 中，，，，，点为三条角平分线的交点，则点到边AB的距离为________．
【答案】2
【解析】
【分析】此题考查角平分线的性质，角平分线上的点到这个角两边的距离相等，等面积法的应用是解题的关键．
根据角平分线的性质得到，设，然后利用三角形面积公式得到，于是可得到关于的方程，从而可得到的长度．
【详解】解：如图，作，，
∵点为的三条角平分线的交点，
∴，

设，即
∵，在中，，，，，
∴，
∴，
∴x=2，
∴点到AB的距离等于2．
故答案为：2．
15. 如图，在中，，AD、是的高，AD与交于点，下列结论：；；；若于点，则．其中正确的是____（填序号）．
【答案】①②④
【解析】
【分析】先证出是等腰直角三角形，得出，证明，得出，，得出，②正确；由，得，①正确；由得，故③错误；作于，则，证明，得出，，由，即可得，④正确．
【详解】解：∵AD、是的高，
∴，
∴，；
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，是的高，
∴，，①②正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，故③错误；
作于，如图所示：
则四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∵，K，
∴，
∴，④正确．
综上所述：正确的结论有①②④．
故答案为①②④．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的性质和判定识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键
16. 如图，中，，，BD垂直于的角平分线AD于点，为的中点，连接交AD于，则、的面积之差的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．延长交于点，容易证明，可得，，从而得到，再根据，可得，，从而证明，根据的面积最大即可得出答案．
【详解】解：延长交于点H．

，
，
又，
，
，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
，
∴
∵当时，的面积最大，最大面积为．
图中两个阴影部分面积之差的最大值为，
故答案为：7．
三、解答题（共8题，共72分）
17. 在中，若，请判断这个三角形的形状，并说明理由．
【答案】等腰直角三角形，见解析
【解析】
【分析】本题主要考查三角形内角和定理和三角形的分类；利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数是解题关键．
由，以及，可求出、和的度数，从而判断三角形的形状．
【详解】解：设，则，
由于，即有．
解得．
故，，．
∴，
故是等腰直角三角形．
18. 如图，点在一条直线上，，，，求证：．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、平行线的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
先根据线段的和差可得，由可得，即可得出，然后根据全等三角形的性质可得，最后根据平行线的判定即可得证．
【详解】证明：，
，即，
∵，
∴
在和中，
，
，
，
．
19. 如图，三点在同一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）当满足__________时，？
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．
（1）根据证明，得出，即可证明；
（2）根据，得出，根据三角形全等性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出．
【小问1详解】
证明：在和中
，
∴；
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：当时，．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
20. 如图1，在中，两个内角和的平分线交于点，连接，于点，于点．
（1）求证：平分；
（2）如图2，延长至点，使，若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键．
（1）作于点M，由角平分线的性质得，从而，进而可证平分；
（2）设，则，证明得，从而，然后利用三角形内角和定理列式即可求解．
【小问1详解】
证明：作于点M，
∵两个内角和的平分线交于点， ，，
∴，
∴，
∴平分；
【小问2详解】
解：设，
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21. 如图1，在的长方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的每一个顶点叫做格点．线段和的顶点都在格点上．
（1）直接写出______．
（2）请仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
请画出的中线和高．
在线段右侧找到点，使得．
（3）要求在图2中仅用无刻度的直尺作图在轴上找点，使平分．
【答案】（1）8 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图应用与设计，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）利用分割法求解即可．
（2）①取的中点（BC与网格线的一个交点），连接，．取格点，连接交于点，线段即为所求．
②利用数形结合的思想，作出，即可．
（3）将顺时针旋转到位置，可得，再找到、对称轴与x轴交点，连接，可得，即是所求点F.
【小问1详解】
解：．
故答案为8．
【小问2详解】
①如图，线段，线段即为所求．
②如图，即为所求．
，
【小问3详解】
如图，点F为所求.
22. 如图，中，于点，，点在上，，连接．
（1）求证：；
（2）延长交于点，连接，求的度数；
（3）过点作，，连接交于点，若，，直接写出的面积．
【答案】（1）见解析；（2）∠CFD=135°；（3）△NBC的面积为21．
【解析】
【分析】（1）由“SAS”可证△BDE≌△CDA，可得BE=CA；
（2）过点D作DG⊥AC于G，DH⊥BF于H，由全等三角形的性质可得∠DBE=∠ACD，S△BDE=S△ADC，由面积关系可求DH=DG，由角平分线的性质可得∠DFG=∠DFH=45°，即可求解；
（3）在CD上截取DE=AD=5，连接BE，延长BE交AC于F，由△BEN≌△MCN，可得EN=CN，由三角形的面积公式可求解．
【详解】证明（1）在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE=CA；
（2）如图2，过点D作DG⊥AC于G，DH⊥BF于H，
∵△BDE≌△CDA，
∴∠DBE=∠DCA，S△BDE=S△ADC，
∵∠DBE+∠A=∠ACD+∠A=90°，
∴∠AFB=∠CFB=90°，
∵S△BDE=S△ADC，
∴，
∴DH=DG，
又∵DG⊥AC，DH⊥BF，
∴∠DFG=∠DFH=45°，
∴∠CFD=135°；
（3）如图3，在CD上截取DE=AD=5，连接BE，延长BE交AC于F，
由（1）、（2）可得BE=AC，BF⊥AC，BD=CD=12，
∵CM⊥CA，
∴BF∥CM，
∴∠M=∠FBN，
∵CM=CA，
∴CM=BE，
在△BEN和△MCN中，
，
∴△BEN≌△MCN（AAS），
∴EN=CN，
∵EC=CD-DE=12-5=7，
∴，
∴△NBC的面积，
故△NBC的面积为21．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
23. 如图1，在五边形中，，，连接，且，．
（1）求证：；
（2）如图2，若，为边上的中线，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，，，，则五边形的面积为______；点到直线AB的距离为______．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析； （3）20；
【解析】
【分析】（1）由已知可得，可得结论；
（2）延长 ，交于点G，连接，可得，可证明得：，可得，，可证明得，，可得结论；
（3）在（2）的条件下，根据五边形 的面积=直角梯形的面积+的面积，求解即可
【小问1详解】
证明：∵，
∴．
在 和 中，
∴，
∴
【小问2详解】
延长 ， 交于点G，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在 和 中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
在 和 中，
，
∴，
∴，
∵即：，
∴∠，
∴；
【小问3详解】
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴五边形 的面积=直角梯形的面积+的面积，
∴五边形 的面积，
∵，，，
∴五边形 的面积
由（2）得，
∴，即，
∴，
设点到直线AB的距离为，
又∵，即，
∴，
故答案为20；.
【点睛】本题主要考查三角形全等及性质，综合性大，灵活构造辅助线是解题的关键.
24. 平面直角坐标系中，已知Aa,0，，且满足．
（1）请直接写出两点的坐标；
（2）如图为1，点为延长线上的动点，点在轴负半轴上运动，且始终满足，过作的垂线交AB的延长线于，连接，探究线段之间的数量关系为__________，请证明你的结论；
（3）如图2，为内一点，，在的延长线上取点，连接，若，点，求点的坐标．
【答案】（1）点坐标，点坐标
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用非负数的性质求出a、b的值即可；
（2）过点作轴，交延长线于，先证明，进而可得，，再证明即可得，即可得出结论；
（3）作出如图所示的辅助线，证明为等腰直角三角形，利用证明， ，证明，得到，求出n的值，然后得出点G的坐标．
【小问1详解】
【小问1详解】
解：∵，
∴，，
解得：，；
点坐标，点坐标
【小问2详解】
结论：
理由如下：
过点作轴，交延长线于，
∴，，
又∵，
∴，
∵
∴，
∵点的坐标，点的坐标
∴，
∴，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴
【小问3详解】
过点G作y轴的平行线，分别过H，B作于E，于F，交x轴于Q，交y轴于K，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，即
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，即：，
∴
∵，
∴轴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，
∴
∴，
解得，即点G的坐标为，