人教版数学九上期末考点训练专题08锐角三角函数（11个考点）（2份，原卷版+解析版）

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一．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边＝．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作csA．
即csA＝∠A的邻边除以斜边＝．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
二．锐角三角函数的增减性
（1）锐角三角函数值都是正值． （2）当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥csA≥0．
当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．
三．同角三角函数的关系
（1）平方关系：sin2A+cs2A＝1；
（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•csA．
四．互余两角三角函数的关系
在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为：
①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cs（90°﹣∠A）；
②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即csA＝sin（90°﹣∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝csB或sinB＝csA．
五．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cs30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cs45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cs60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
六．计算器—三角函数
（1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．
（2）求锐角三角函数值的方法：
如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果．
注意：不同型号的计算器使用方法不同．
（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：
如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果．
注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
七．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，csA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
八．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
十一．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
【专题过关】
一．锐角三角函数的定义（共5小题）
1．（2021秋•遵化市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，sinA的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据勾股定理求出BC，再根据锐角三角函数的定义求出sinA即可．
【解答】解：由勾股定理得：BC＝＝＝4，
所以sinA＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
2．（2021秋•南宫市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝6，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据勾股定理求出AC，根据锐角三角函数的定义计算，判断即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝6，
则BC＝＝＝4，
∴sinA＝＝＝，csB＝＝＝，tanA＝＝＝2，tanB＝＝＝，
则选项B结论正确，符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．（2022•沈阳模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，∠ADC＝30°，则tan∠CAB的值为（ ）
A．B．1C．D．
【分析】根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝30°，进而求出∠CAB，再根据特殊锐角的三角函数值进行计算即可．
【解答】解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠B＝∠ADC＝30°，
∴∠CAB＝90°﹣30°＝60°，
∴tan∠CAB＝tan60°＝，
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理，特殊锐角的三角函数值，掌握圆周角定理以及特殊锐角三角函数值是正确解答的关键．
4．（2022•莲湖区二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为（0，3），tan∠ABO＝，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．6B．6C．12D．8
【分析】根据点A的坐标为（0，3），可以得到AO＝3，根据tan∠ABO＝，可以求出BO，根据勾股定理可以求出AB，最后由菱形的性质可以求出菱形的周长．
【解答】解：∵点A的坐标为（0，3），
∴AO＝3，
∵tan∠ABO＝，
∴＝，
∴＝，
∴BO＝，
∵△AOB是直角三角形，
∴AB＝＝＝＝2，
∵菱形的四条边相等，
∴菱形ABCD的周长为2×4＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理和菱形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义、勾股定理和菱形的性质是解题的关键．
5．（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（ ）
A．B．C．D．3
【分析】根据OP∥AB，证明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根据P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，根据正切的定义即可得到tan∠OAP的值．
【解答】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
∵OP∥AB，
∴∠CAB＝∠CPO，∠ABC＝∠COP，
∴△OCP∽△BCA，
∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，
∵∠AOC＝∠AQP＝90°，
∴CO∥PQ，
∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，
∵P（1，1），
∴PQ＝OQ＝1，
∴AO＝2，
∴tan∠OAP＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2是解题的关键．
二．锐角三角函数的增减性（共3小题）
6．（2022•五通桥区模拟）若锐角α满足csα＜且tanα＜，则α的范围是（ ）
A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°
【分析】先由特殊角的三角函数值及余弦函数随锐角的增大而减小，得出45°＜α＜90°；再由特殊角的三角函数值及正切函数随锐角的增大而增大，得出0＜α＜60°；从而得出45°＜α＜60°．
【解答】解：∵α是锐角，
∴csα＞0，
∵csα＜，
∴0＜csα＜，
又∵cs90°＝0，cs45°＝，
∴45°＜α＜90°；
∵α是锐角，
∴tanα＞0，
∵tanα＜，
∴0＜tanα＜，
又∵tan0°＝0，tan60°＝，
0＜α＜60°；
故45°＜α＜60°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
7．（2022春•连山区月考）若∠A为锐角，且csA＝，则∠A的取值范围是 60°＜∠A＜90° ．
【分析】由cs60°＝，cs90°＝0，再根据锐角余弦函数值随角度的增大而减小进行分析即可．
【解答】解：∵0＜＜，
又cs60°＝，cs90°＝0，锐角余弦函数值随角度的增大而减小，
∴当csA＝时，60°＜∠A＜90°．
故答案为：60°＜∠A＜90°．
【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性．熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
8．（2021秋•泗县期末）如图，半径为13的⊙O内有一点A，OA＝5，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，S△OPA等于（ ）
A．40B．45C．30D．65
【分析】当OA⊥PA时，∠P最大，由勾股定理求出PA长即可求解．
【解答】解：作OH⊥AP于H，
∵sinP＝，
∴sinP＝，
∵∠P是锐角，当OH最大时，sinP最大，此时∠P最大，
∴当OA与OH重合时，即OA⊥PA时，∠P最大，
当OA⊥PA时，
∵PA2＝OP2﹣OA2，
∴PA2＝132﹣52，
∴PA＝12，
∴S△POA＝OA•PA＝×12×5＝30，
故选：C．
【点评】本题考查几何中的最值问题，关键是明白当OA⊥PA时，∠P最大．
三．同角三角函数的关系（共3小题）
9．（2021秋•海淀区校级期末）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinA的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先利用正切的定义得到tanA＝＝2，则设AC＝x，BC＝2x，利用勾股定理表示出AB＝x，然后利用正弦的定义求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴tanA＝＝2，
设AC＝x，则BC＝2x，
∴AB＝＝x，
∴sinA＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系：利用一个锐角的一个三角函数值表示出边之间的关系，再利用勾股定理表示出第三边，然后根据三角函数的定义求这个角的另两个三角函数值．
10．（2022•海曙区校级开学）已知∠A是锐角tanA＝，则sinA＝ ． ．
【分析】根据已知设∠A的对边为a，则邻边为2a，然后利用勾股定理求出斜边长，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：∵tanA＝，
∴设∠A的对边为a，则邻边为2a，
∴斜边长＝＝a，
∴sinA＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，同角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
11．（2022•娄星区一模）规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cs（﹣x）＝csx，sin（x+y）＝sinx•csy+csx•siny．
据此判断下列等式成立的是 ②③ （写出所有正确的序号）
①cs（﹣60°）＝﹣；
②sin75°＝；
③sin2x＝2sinx•csx；
④sin（x﹣y）＝sinx﹣siny．
【分析】利用cs（﹣x）＝csx和特殊角的三角函数值对①进行判断；把75°化为30°+45°，再利用sin（x+y）＝sinx•csy+csx•siny对②进行判断；利用题中的规定对③④进行判断．
【解答】解：①cs（﹣60°）＝cs60°＝，所以①错误；
②sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°•cs45°+cs30°•sin45°＝×+×＝，所以②正确；
③sin2x＝sin（x+x）＝sinx•csx+csx•sinx＝2sinx•csx，所以③正确；
④sin（x﹣y）＝sinx•cs（﹣y）+csx•sin（﹣y）＝sinx•csy﹣csx•siny，所以④错误．
故答案为：②③．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系：理解题目的公式是解决问题的关键．也考查了特殊角的三角函数值．
四．互余两角三角函数的关系（共2小题）
12．（2022•鹿城区校级模拟）已知＜csA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（ ）
A．60°＜A＜80°B．30°＜A＜80°C．10°＜A＜60°D．10°＜A＜30°
【分析】首先把所有的三角函数都化成余弦函数，然后利用余弦函数的增减性即可求解．
【解答】解：∵＝cs60°，sin80°＝cs10°，
∴cs60°＜csA＜cs10°，
∴10°＜A＜60°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了余弦函数的增减性及互余三角函数之间的关系，尤其余弦函数的增减性容易出错．
13．（2022•西湖区校级二模）已知△ABC中，∠A＝90°，tanB＝，则sinC＝ ．
【分析】根据三角函数值的定义以及勾股定理的定义解决此题．
【解答】解：如图．
∵∠A＝90°，tanB＝，
∴设AC＝x，则AB＝2x．
∴BC＝＝．
∴sinC＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的定义、勾股定理，熟练掌握三角函数的定义以及勾股定理是解决本题的关键．
五．特殊角的三角函数值（共3小题）
14．（2021秋•八步区期末）计算：．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值、有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝
＝﹣﹣1﹣1
＝﹣2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
15．（2022•石家庄模拟）下列说法中正确的是（ ）
A．在Rt△ABC中，若，则a＝4，b＝3
B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则
C．tan30°+tan60°＝1
D．tan75°＝tan（45°+30°）＝tan45°+tan30°＝1+
【分析】根据锐角三角函数的定义及相关角的三角函数之间的关系，逐一判断即可．
【解答】解：A、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则a＝3x，b＝4x，x≠0，故A不符合题意；
B、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则，故B符合题意；
C、tan30°+tan60°＝+＝，故C不符合题意；
D、tan75°＝tan（45°+30°）＝＝2+，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
16．（2021秋•南宫市期末）已知α是锐角，，则α＝ 60 ；csα＝ ．
【分析】求出tanα的值，根据特殊角的三角函数值即可得出答案．
【解答】解：∵tanα﹣＝0，
∴tanα＝，
∵α是锐角，
∴α＝60°，
∴cs60°＝，
故答案为：60°；．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握tan60°＝是解题的关键．
六．计算器—三角函数（共2小题）
17．（2022•文登区一模）利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据计算器计算的输入顺序计算即可．
【解答】解：根据科学计算器计算知，计算按键顺序为：
故选：A．
【点评】本题主要考查用计算器计算的知识，熟练掌握科学计算器的使用方法是解题的关键．
18．（2021秋•梧州期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tanB＝0.75，求AC的长．
【分析】根据正切的概念即可得答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴tanB＝，
又∵tanB＝0.75，BC＝6，
∴AC＝BC•tanB＝6×0.75＝4.5．
【点评】本题考查三角函数，掌握正切的概念是解题关键．
七．解直角三角形（共4小题）
19．（2021秋•德保县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的3倍，则∠A的正弦值（ ）
A．扩大3倍B．缩小3倍C．扩大6倍D．不变
【分析】设Rt△ABC的三边长为a，b，c，则sinA＝，如果各边长都扩大3倍，则sinA＝＝，即可得出答案．
【解答】解：设Rt△ABC的三边长为a，b，c，则sinA＝，
如果各边长都扩大3倍，
∴sinA＝＝，
故∠A的正弦值大小不变．
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．
20．（2022•湖里区二模）如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先利用等面积法求出AD，在△ABD中，再利用勾股定理求出BD，利用正弦的定义求出sin∠BAD即可．
【解答】解：法一：如图，连接AC，
在Rt△BEC中，BC＝＝5，
∵AD⊥BC，
∴＝8，
即，
解得AD＝，
在Rt△ADB中，BD＝，
∴sin∠BAD＝．
法二：在Rt△BEC中，BC＝＝5，
∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠ABD+∠CBE＝90°，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴sin∠BAD＝sin∠CBE＝．
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键熟记三角函数的定义并灵活运用．
21．（2022•固原校级一模）阅读以下材料，并解决相应问题：
在学习了直角三角形的边角关系后，我们可以继续探究任意锐角三角形的边角关系，在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．如图1，过点A作AD⊥BC于点D，则根据定义得sinB＝，sinC＝，于是AD＝csinB，AD＝bsinC，也就是csinB＝bsinC，即．同理有，，即最终得到．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．
（1）在锐角△ABC中，若∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，求AB．
（2）仿照证明过程，借助图2或图3，证明和中的其中一个．
【分析】（1）根据在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等列出式子，即可求解；
（2）借助图3，再连接AD，根据正弦的定义证明即可．
【解答】解：（1）根据阅读材料可知，，
∵∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，
∴＝，
∴AB＝＝2；
（2）证明．理由如下：
如图，连接CO并延长交⊙O于D，连接AD、BD，则
∠DAC＝∠DBC＝90°，∠BAC＝∠BDC，∠ABC＝∠ADC．
在Rt△ADC中，sin∠ADC＝，
∴CD＝．
在Rt△BDC中，sin∠BDC＝，
∴CD＝，
∴＝，
∴＝，
即在△ABC中，．
【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数，学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．（2021秋•定安县期末）如图，在4×4的正方形网格中，每格小正方形的边长C都是1，则tan∠ACB的值为（ ）
A．B．C．2D．3
【分析】利用勾股定理的逆定理证明∠ABC＝90°，可得结论．
【解答】解：∵AB＝＝2，BC＝＝，AC＝＝，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴tan∠ACB＝＝2，
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明∠ABC＝90°．
八．解直角三角形的应用（共7小题）
23．（2022春•历城区校级月考）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上．图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当∠ABC＝130°，∠BCD＝70°时，则托板顶点A到底座CD所在平面的距离为（ ）（结果精确到1mm）．
（参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）
A．246 mmB．247mmC．248mmD．249mm
【分析】延长DC，过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，过点B作BG⊥CD，垂足为G，根据题意可得：EF＝BG，BF∥ED，从而可得∠FBC＝∠BCD＝70°，进而可得∠ABF＝60°，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，再在Rt△BCG中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：延长DC，过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，过点B作BG⊥CD，垂足为G，
由题意得：EF＝BG，BF∥ED，
∴∠FBC＝∠BCD＝70°，
∵∠ABC＝130°，
∴∠ABF＝∠ABC﹣∠FBC＝60°，
在Rt△ABF中，AB＝200mm，
∴AF＝AB•sin60°＝200×＝100（mm），
在Rt△BCG中，BC＝80mm，
∴BG＝BC•sin70°≈80×0.94≈75.2（mm），
∴EF＝BG＝75.2（mm），
∴AE＝AF+EF＝100+75.2≈248（mm），
∴托板顶点A到底座CD所在平面的距离约为248mm，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24．（2022•长春模拟）如图，数学探究活动中要测量河的宽度，小明在河一侧岸边选定点P和点B，在河对岸选定一点A，使PB⊥PA，测得PB＝40米，∠PBA＝36°，根据测量数据可计算小河宽度PA为（ ）
A．40tan36°米B．40cs36°米C．40sin36°米D．米
【分析】在Rt△ABP中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：∵PB⊥PA，
∴∠APB＝90°，
在Rt△ABP中，PB＝40米，∠PBA＝36°，
∴AP＝PB•tan∠PBA＝40tan36°（米），
∴小河宽度PA为40tan36°米，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
25．（2021秋•义乌市期末）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是其侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂）．已知基座高度MN为0.5米，主臂MP长为3米，主臂伸展角α的范围是：0°＜α≤60°，伸展臂伸展角β的范围是：45°≤β≤135°．当α＝45°时（如图3），伸展臂PQ恰好垂直并接触地面．
（1）伸展臂PQ长为 （16+0.5） 米；
（2）挖掘机能挖的最远处距点N的距离为 米．
【分析】（1）过点M作MH⊥PQ，垂足为Q，根据题意可得HQ＝MN＝0.5米，然后在Rt△PHM中，利用锐角三角函数的定义求出PH的长，从而求出PQ的长，即可解答；
（2）当∠QPM＝135°时，过点Q作QA⊥PM，交MP的延长线于点A，连接QM，利用平角定义可求出∠APQ＝45°，然后在Rt△APQ中，利用锐角三角函数的定义求出AP，AQ的长，从而求出AM的长，再在Rt△AQM中，利用勾股定理求出QM的长，最后在Rt△QMN中，利用勾股定理求出QN的长，即可解答．
【解答】解：（1）过点M作MH⊥PQ，垂足为Q，
则HQ＝MN＝0.5米，
在Rt△PHM中，∠PMH＝45°，PM＝32米，
∴PH＝PM•sin45°＝32×＝（米），
∴PQ＝PH+HQ＝（16+0.50）米，
∴伸展臂PQ长为（16+0.5）米，
故答案为：（16+0.5）；
（2）当∠QPM＝135°时，过点Q作QA⊥PM，交MP的延长线于点A，连接QM，
∴∠APQ＝180°﹣∠QPM＝45°，
在Rt△APQ中，PQ＝（16+0.5）米，
∴AQ＝PQ•sin45°＝（16+0.5）×＝（16+）（米），
∵PM＝3米，
∴AM＝AP+PM＝16（米），
在Rt△AQM中，QM＝＝＝（米），
在Rt△QMN中，QN＝＝＝（米），
∴挖掘机能挖的最远处距点N的距离为米，
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
26．（2021秋•殷都区期末）某校数学社团利用自制测角仪和皮尺测量河宽（把河两岸看作平行线）．如图，他们在河岸MN一侧的A处，观察到对岸P点处有一棵树，测得∠PAN＝31°，向前走45m到达B处，测得∠PBN＝45°．（sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60，）
（1）求河的宽度（精确到1m）；
（2）据河道建造碑文记载，该河实际宽70m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
【分析】（1）过点P作PC⊥MN于点C，设PC＝xm，先在Rt△PBC中，利用锐角三角函数的定义求出BC＝xm，从而可得AC＝（x+45）m，然后在Rt△APC中，利用锐角三角函数的定义，列出方程，进行计算即可解答；
（2）利用（1）的结论可求出误差，再根据多次测量求平均值可以减小误差，即可解答．
【解答】解：（1）过点P作PC⊥MN于点C，
设PC＝xm，
在Rt△PBC中，∠PBN＝45°，
∴BC＝＝x（m），
∵AB＝45m，
∴AC＝AB+BC＝（45+x）m，
在Rt△APC中，∠PAC＝31°，
∴tan31°＝＝≈0.6，
解得：x≈68，
经检验：x≈68是原方程的根，
答：河的宽度约为68m；
（2）∵70﹣68＝2（m），
∴本次测量结果的误差是2m，
减小误差的建议：多次测量求平均值．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
27．（2022•普兰店区二模）如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝40cm，CE：CD＝1：4，∠DCF＝45°，∠CDF＝37°．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求滑竿DE的长度；
（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果精确到0.1）．参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈，≈1.414．
【分析】（1）过点F作FG⊥CD，垂足为G，在Rt△DFG中，利用锐角三角函数的定义求出FG，DG的长，再在Rt△CFG中，利用锐角三角函数的定义求出CG的长，从而求出CD的长，然后根据已知CE：CD＝1：4，求出CE的长，最后利用线段的和差关系求出DE的长，即可解答；
（2）过点A作AH⊥CD，交CD的延长线于点H，利用（1）的结论和已知可得AC＝140cm，然后在Rt△ACH中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，即可解答．
【解答】解：（1）过点F作FG⊥CD，垂足为G，
在Rt△DFG中，∠CDF＝37°．DF＝40cm，
∴FG＝DF•sin37°≈40×＝24（cm），
DG＝DF•cs37°≈40×＝32（cm），
在Rt△CFG中，∠DCF＝45°，
∴CG＝＝24（cm），
∴DC＝CG+DG＝24+32＝56（cm），
∵CE：CD＝1：4，
∴CE＝CD＝14（cm），
∴DE＝CE+CD＝70（cm），
∴滑竿DE的长度约为70cm；
（2）过点A作AH⊥CD，交CD的延长线于点H，
∵DE＝BC＝AB＝70cm，
∴AC＝AB+BC＝140（cm），
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，
∴AH＝AC•sin45°＝140×＝70≈99.0（cm），
∴拉杆端点A到水平滑杆ED的距离约为99.0cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
28．（2022•夏邑县模拟）如图（1）是一种迷你型可收缩式乐谱支架，图（2）是其侧面示意图，其中AB＝BC＝CD＝24cm，DB⊥BA，Q是CD的中点，P是眼睛所在的位置，PM⊥BA于点M，AM＝12cm，当PQ⊥CD时，P为最佳视力点．
（1）若∠ABC＝α，则∠DCB＝ 2α ；
（2）当∠ABC＝37°且PM＝53cm时，请通过计算说明点P是不是最佳视力点．（参考数据：sin37°＝cs53°≈，cs37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan53°≈）
【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可求出答案；
（2）通过作平行线，由（1）可求出∠C，再根据锐角三角函数的定义求出∠PQF即可．
【解答】解：（1）∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵BD⊥AB，即∠ABC+∠CBD＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣∠ABC
＝90°﹣α，
∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠CDB
＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）
＝2α，
故答案为：2α；
（2）如图，过点Q作EF∥AB，交PM、BD分别于F、E，则EF⊥BD，EF⊥PM，
∵∠ABC＝37°，
∴∠CBD＝∠CDB＝90°﹣37°＝53°，
∴∠DQE＝∠CQF＝90°﹣53°＝37°，
在Rt△DEQ中，DQ＝CD＝12，∠EDQ＝53°，
∴EQ＝DQ•sinD
≈12×
＝9.6，
DE＝DQ•csD
≈12×
＝7.2，
∴QF＝24+12﹣9.6＝26.4，
过点C作CH⊥BD于H，则BH＝DH，
∵Q是CD的中点，QD∥CH，
∴DE＝EH，
∴BE＝3DE＝21.6＝FM，
∴PF＝53﹣21.6＝31.4，
∴tan∠PQF＝＝≈1.19≠，
∴∠PQF≠53°，
∴∠PQC＝∠PQF+∠CQF≠90°，
即PQ与CD不垂直，
∴不是最佳视力点．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
29．（2022春•沙坪坝区校级月考）点C处有一灯塔，CD与直线L垂直，一轮船从点B出发驶到点A，（A、B、D三点都在直线L上），测量得到CD为30千米，∠CAD＝30°，∠CBD＝45°．
（1）求AB的长（结果保留根号）；
（2）轮船从B点出发时，另一快艇同时从C点出发给轮船提供物资，一个小时后刚好在M点与轮船相遇，已知快艇行驶了50千米，问轮船相遇后能否在1.3小时之内到达点A．（参考数据：≈1.73，≈1.41）
【分析】（1）解直角三角形求出BD，AD的长，可得结论；
（2）求出DM，可得BM＝10千米，再求出船相遇后到达点A的时间即可．
【解答】解：（1）在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，CD＝30千米，∠CBD＝45°，
∴DB＝DC＝30千米，
在Rt△CDA中，∠A＝30°，
∴AD＝CD＝30千米，
∴AB＝（30﹣30）千米；
（2）在Rt△CDM中，DM＝＝＝40，
∴BM＝40﹣30＝10千米，
∴船相遇后到达点A的时间＝≈1.19小时，
1.19＜1.3，
∴轮船相遇后能在1.3小时之内到达点A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共3小题）
30．（2022•汇川区模拟）如图，某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡AD与地平线的夹角为20°，地下停车场层高CD＝3米，如果在停车场的入口处设置一块限高牌，则限高牌上的限高数值比较恰当的是（参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94）（ ）
A．3.2米B．3米C．2.75米D．2.6米
【分析】首先过C作CE⊥AD，垂足为E，可求得∠DCE的度数，然后在Rt△CDE中，由三角函数的性质即可得CE＝CD•cs20°，继而求得答案．
【解答】解：过C作CE⊥AD，垂足为E，
∴∠DCE+∠CDE＝90°，
∵∠BAD+∠ADB＝90°，
∴∠DCE＝∠BAD＝20°，
在Rt△CDE中，CE＝CD•cs20°＝3×0.94≈2.82（米），
故限高牌上的限高数值比较恰当的是2.75米．
故选：C．
【点评】此题考查了坡度坡角问题，解题的关键是根据题意构造直角三角形，并能借助于解直角三角形的知识求解．
31．（2022•南岗区校级开学）如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝1：2，河堤高BC＝5m，则坡面AB的长为（ ）
A．5mB．10mC．15mD．20m
【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：∵BC＝5m，坡AB的坡比i＝1：2，
∴AC＝2×5＝10（m），
∴AB＝＝＝5（m），
故选：A．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
32．（2021秋•德保县期末）如图，一个小球由坡底沿着坡度为1：2的坡面前进了10米，此时小球在竖直方向上上升了（ ）
A．4米B．米C．5米D．米
【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．
【解答】解：∵AB的坡度为1：2，
∴＝．
∴设BC＝x米，AC＝2x米，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝100米．
即100＝x2+4x2，
解得：x＝2，
∴BC＝2米．
故选：B．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角，正确掌握勾股定理以及坡角的定义是解题关键．
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
33．（2022•五华区校级模拟）近日，有很多人收到防疫部门的电话或短信提示是“时空伴随者”，那什么是时空伴随者呢？时空交集与时空伴随是相同概念，是公安和电信部门的专业术语．如图（1）是指本人的电话号码和确诊患者号码在同一时空网格内（范围是800×800）共同停留超过10分钟，且最近14天任一方号码累计停留时长超过30小时以上，查出的号码为“时空伴随号码”，本人的绿色健康码就会变为带有警告性质的黄色码并被系统标记为“时空伴随者”．如图（2），某工人在点B处，用测倾仪测得移动电话基站顶端（点D）的仰角为α，测得移动电话基站的高度CD为50米，测倾仪高BE为1米，若此时在A处一位确诊患者出现在某移动电话基站800×800的范围内，患者、移动电话基站、工人正好共线，患者与工人分别位于该移动电话基站两侧，且与这个工人共同停留超过10分钟，则这个工人（ ）收到“时空伴随者”电话或短信提示．
（参考数据：sinα＝，csα＝，tanα＝）
A．会B．不会C．可能会D．无法确定
【分析】过点E作EF⊥CD于点F，由题意可得DF＝49米，在Rt△DEF中，利用三角函数求出EF的值，即可得BC的值，再将BC与400作比较，可得出结论．
【解答】解：过点E作EF⊥CD于点F，
由题意得，BE＝CF＝1米，EF＝BC，
∴DF＝CD﹣CF＝50﹣1＝49（米），
在Rt△DEF中，tanα＝＝，
解得EF＝168，
∴BC＝168米，
∵168＜400，
∴这个工人会收到“时空伴随者”电话或短信提示．
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
34．（2021秋•崇左期末）如图，为了测量某建筑物AB的高度，小颖采用了如下的方法：先从建筑物底端B点出发，沿斜坡BC行走26米至坡顶C处，在C点测得该建筑物顶端A的仰角为60°，斜坡BC的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，求建筑物AB的高度（参考数据：≈1.732，结果精确到0.1）．
【分析】过C作CE⊥BD于点E，作CF⊥AB于点F，则四边形BECF是矩形，得BF＝CE，CF＝BE，由坡度的定义和勾股定理得BF＝CE＝10米，CF＝BE＝24米，再由锐角三角函数定义得AF＝24米，即可解决问题．
【解答】解：如图，过C作CE⊥BD于点E，作CF⊥AB于点F，
则四边形BECF是矩形，
∴BF＝CE，CF＝BE，
∵斜坡BC的坡度i＝＝1：2.4＝，
∴设CE＝5x米，则BE＝12x米，
在Rt△BCE中，BC＝26米，
由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝262，
解得：x＝2，
∴CE＝10米，BE＝24米，
∴BF＝CE＝10米，CF＝BE＝24米，
在Rt△ACF中，∠ACF＝60°，tan∠ACF＝＝tan60°＝，
∴AF＝CF＝24米，
∴AB＝AF+BF＝24+10≈51.6（米），
答：建筑物AB的高度约为51.6米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
35．（2021秋•全州县期末）如图，楼房AB后有一假山CD，CD的坡度为i＝1：2，测得B与C的距离为24米，山坡坡面上E点处有一休息亭，与山脚C的距离CE＝8米，小丽从楼房房顶A处测得E的俯角为45°．
（1）求点E到水平地面的距离；
（2）求楼房AB的高．
【分析】（1）过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于F，根据已知可设EF＝a米，则CF＝2a米，再在Rt△CEF中，利用勾股定理可得CE＝a米，从而求出a的值，进而求出EF，CF的长，即可解答；
（2）延长FE交AG于点H，根据题意可得：∠HAE＝45°，AH＝BF＝24+16＝40米，AB＝FH，然后在Rt△AHE中，利用锐角三角函数的定义求出HE的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于F，
∵CD的坡度i＝EF：CF＝1：2，
∴设EF＝a米，则CF＝2a米，
在Rt△CEF中，根据勾股定理得：
CE＝＝＝a（米），
∵CE＝8米，
∴a＝8，
∴a＝8，
∴EF＝8米，CF＝2a＝16（米），
∴点E到水平地面的距离为8米；
（2）如图：延长FE交AG于点H，
由题意得：
∠HAE＝45°，AH＝BF＝BC+CF＝24+16＝40（米），AB＝FH，
在Rt△AHE中，HE＝AH•tan45°＝40×1＝40（米），
∴AB＝HF＝HE+EF＝40+8＝48（米），
∴楼房AB的高为48米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
一十一．解直角三角形的应用-方向角问题（共3小题）
36．（2022•深圳模拟）如图，点A到点C的距离为200米，要测量河对岸B点到河岸AD的距离．小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（ ）
A．100米B．200米C．米D．100米
【分析】过点B作BE⊥AD，垂足为E，根据题意可得∠BAD＝30°，∠BCD＝60°，再利用三角形的外角可得∠ABC＝30°，从而可得AC＝BC＝200米，然后在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：过点B作BE⊥AD，垂足为E，
由题意得：
∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∠BCD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAD＝30°，
∴∠ABC＝∠BAD＝30°，
∴AC＝BC＝200米，
在Rt△BCE中，BE＝BC•sin60°＝200×＝100（米），
∴B点到河岸AD的距离为100米，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
37．（2021秋•碧江区 期末）一艘渔船以每小时40km的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向；继续航行1h到达B处，测得灯塔C在北偏东30°方向．已知灯塔C的四周30km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？
【分析】过C作CD⊥AB于点D，根据方向角的定义及余角的性质求出∠BCA＝30°，∠ACD＝60°，证∠ACB＝30°＝∠BAC，根据等角对等边得出BC＝AB＝40海里，然后解Rt△BCD，求出CD即可．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
如图所示：
根据题意可知∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠DBC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠DBC＝∠ACB+∠BAC，
∴∠BAC＝30°＝∠ACB，
∴BC＝AB＝40×1＝40（km），
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠DBC＝60°，sin∠DBC＝，
∴CD＝40×sin60°＝40×＝20（km）＞30km，
∴这艘船继续向东航行安全．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的判定和锐角三角函数定义是解题的关键．
38．（2022•锦州二模）某海港南北方向上有两个海岸观测站A，B，距离为10海里．从港口出发的一艘轮船正沿北偏东30°方向匀速航行，某一时刻在观测站A，B两处分别测得此轮船正好航行到南偏东30°和北偏东75°方向上的C处．经过0.5时轮船航行到D处，此时在观测站A处测得轮船在北偏东75°方向上，求轮船航行的速度（结果精确到0.1海里/时，参考数据：≈1.414，＝1.732）
【分析】根据三角形内角和得到∠ACB＝180°﹣75°﹣30°＝75°，求得∠ABC＝∠ACB，根据等腰三角形的性质得到AC＝AB＝10海里，根据平行线的性质得到∠ACF＝30°，求得∠ACD＝60．平角的性质得到∠DAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°，即可求得∠DAE＝45°，解直角三角形求得CE＝5海里，AE＝DE＝5海里，即可求得CD＝5+5≈13.66（海里），进一步求得轮船航行的速度．
【解答】解：作AE⊥CD于E，
∵∠ACB＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AC＝AB＝10海里，
∵向北的方向线是平行的，
∴∠ACF＝∠CAB＝30°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠CAE＝30°，
∴CE＝AC＝5海里，AE＝AC＝5海里，
∵∠DAC＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴∠DAE＝75°﹣30°＝45°，
∴DE＝AE＝5海里，
∴CD＝5+5≈13.66（海里），
轮船航行的速度为：13.66÷＝27.3（海里/时），
答：轮船航行的速度是27.3海里/时，
【点评】本题考查了解直角三角形应用，等腰三角形的性质和判定的应用，关键是求出AC＝AB，题目比较好，难度适中．