人教版数学九上期末考点训练专题02二次函数（14个考点）（2份，原卷版+解析版）

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一．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
二．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
三．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
四．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
五．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
六．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
七．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
八．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
九．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．
十．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
十一．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
十二．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
十三．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
十四．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
【专题过关】
一．二次函数的定义（共1小题）
1．（2021秋•密山市校级期末）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣2x+3B．y＝5x2+1
C．y＝（x﹣1）2﹣x2D．y＝x3+2x2﹣1
【分析】根据二次函数的定义，形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）判断即可．
【解答】解：A、y＝﹣2x+3，是一次函数，故A不符合题意；
B、y＝5x2+1，是二次函数，故B符合题意；
C、y＝（x﹣1）2﹣x2，是一次函数，故C不符合题意；
D、y＝x3+2x2﹣1，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
二．二次函数的图象（共1小题）
2．（2022•青县一模）如图，二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象所在坐标系的原点是（ ）
A．点O1B．点O2C．点O3D．点O4
【分析】由函数解析式可知函数的对称轴，即可求解．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0），
∴对称轴为直线x＝﹣＝1，
所以点O2是原点；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键．
三．二次函数的性质（共5小题）
3．（2022秋•安图县校级月考）二次函数y＝2（x+1）2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（1，0）D．（﹣1，0）
【分析】由抛物线的顶点坐标式可求得答案．
【解答】解：∵二次函数y＝2（x+1）2，
∴顶点坐标为（﹣1，0），
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
4．（2022•南岗区校级二模）抛物线y＝（x+3）2+4的对称轴是直线 x＝﹣3 ．
【分析】根据抛物线顶点式求解．
【解答】解：∵y＝（x+3）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣3，
故答案为：x＝﹣3．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
5．（2022•淮北一模）设二次函数y1、y2的图象的顶点坐标分别为（a，b）、（c、d），若a＝2c、b＝2d，且两图象开口方向相同，则称y1是y2的“同倍项二次函数”．
（1）写出二次函数y＝x2+x+1的一个“同倍项二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y1＝x2+nx和二次函数y2＝x2+3nx+1，若y1+y2是y1的“同倍项二次函数”，求n的值．
【分析】（1）先求出y＝x2+x+1的顶点坐标，然后根据同倍项二次函数的定义求出答案；
（2）先求出y1和y1+y2的解析式并求出顶点坐标，然后根据条件a＝2c，b＝2d，且开口方向相同求出n的值．
【解答】解：（1）∵y＝x2+x+1，
∴y＝（x+）2+，
∴二次函数y＝x2+x+1的顶点坐标为（﹣，），
∴二次函数y＝x2+x+1的一个“同倍项二次函数”的顶点坐标为（﹣1，），
∴同倍项二次函数的解析式为y＝（x+1）2+；
（2）y1＝x2+nx＝（x+）2﹣，
顶点坐标为（﹣，﹣），
y1+y2＝x2+nx+x2+3nx+1＝2x2+4nx+1＝2（x+n）2+1﹣2n2，
顶点坐标为（﹣n，1﹣2n2），
∵y1+y2是y1的“同倍项二次函数”，
∴1﹣2n2＝2×（﹣），
解得：n＝±．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握“同倍项二次函数”的定义，理解题意，按条件的要求求得答案即可．
6．（2022•鄞州区校级模拟）已知二次函数y＝（x+1）（x+a）（其中a是常数）的图象经过点A（4，5），B（m，n），
（1）求a的值；
（2）求该抛物线的对称轴；
（3）当n＜5时，求m的取值范围．
【分析】（1）把A（4，5）代入解析式即可求出a的值；
（2）根据解析式即可求出该抛物线的对称轴；
（3）由（2）知A（4，5）关于对称轴的对称点为（﹣2，5），所以当n＜5时，m的取值范围为﹣2＜m＜4．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝（x+1）（x+a）的图象经过点A（4，5），
∴5（4+a）＝5，
∴a＝﹣3；
（2）∵a＝﹣3，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
∴该抛物线的对称轴为x＝﹣＝1；
（3）由（2）知A（4，5）关于对称轴的对称点为（﹣2，5），
∴当n＜5时，m的取值范围为﹣2＜m＜4．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．（2022•宁海县模拟）如图，抛物线与抛物线相交于点T，点T的横坐标为1．过点T作x轴的平行线交抛物线C1于点A，交抛物线C2于点B．抛物线C1与C2分别与y轴交于点C，D．
（1）求抛物线C1的对称轴和点A的横坐标；
（2）求线段AB和CD的长；
（3）点P（﹣2，p）在抛物线C1上，点Q（5，q）在抛物线C2上，请比较p与q的大小关系并说明理由．
【分析】（1）根据对称轴公式直接求抛物线C1的对称轴，以及A，B关于对称轴x＝﹣1对称和点T的横坐标直接求出点A的横坐标；
（2）求出A，B和C，D的坐标即可求出AB和CD的长；
（3）根据图象和点P和Q的坐标直接可以判断．
【解答】解：（1）抛物线C1的对称轴为x＝﹣＝﹣1，
∵AB∥x轴，
∵点A与点T关于对称轴x＝﹣1对称，
∴点A的横坐标为﹣3；
（2）∵抛物线C2的对称轴为x＝﹣＝2，
∵AB∥x轴，
∴点B与点T关于对称轴x＝2对称，
∴点B的横坐标为3，
∴AB＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6；
∵点T是抛物线C1与抛物线C2的交点，
∴1+2+c＝1﹣4+d，
∴c＝d﹣6，
令x＝0，则C（0，c），D（0，d），
∴CD＝d﹣c＝d﹣（d﹣6）＝d﹣d+6＝6；
（3）根据A，T，B的横坐标以及函数图象可知，点P在AB下方，点Q在AB上方，
∴p＜q．
【点评】本题考查二次函数的性质，关键是判断点A与点T关于对称轴x＝﹣1对称，点B与点T关于对称轴x＝2对称．
四．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
8．（2022•铜仁市三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，有下列4个结论：①abc＞0；②a+c＞b；③4a+2b+c＞0；④a+b≥am2+bm（m是任意实数）．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由抛物线开口向下得到a＜0；由抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1得到b＞0；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，则abc＜0；观察图象得到当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0；当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0；根据二次函数的最值问题得到x＝1时，y有最大值a+b+c，则a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），变形得到a+b＞m（am+b）
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，所以②不正确；
当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，y有最大值a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥＞am2+bm，所以④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为一条抛物线，当a＜0，抛物线的开口向下，当x＝﹣时，函数值最大；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．
五．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题）
9．（2022•淄博）若二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用非负数的性质，利用配方法解决问题即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），
∴3＝a+2，
∴a＝1，
∴y＝x2+2，
∵Q（m，n）在y＝x2+2上，
∴n＝m2+2，
∴n2﹣4m2﹣4n+9＝（m2+2）2﹣4m2﹣4（m2+2）+9＝m4﹣4m2+5＝（m2﹣2）2+1，
∵（m2﹣2）≥0，
∴n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为1．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图像上的点的坐标特征，非负数的性质等知识，解题的关键是学会利用配方法解决问题．
10．（2022•鼓楼区校级模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c（c为常数）经过点（p，m），（q，m），（4，c），当1≤q﹣p＜6时，则m的取值范围为
（ ）
A．c﹣4≤m＜c+5B．
C．c＜m≤c+5D．c﹣3≤m＜c+24
【分析】根据题意求得抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝＝2，进而得到抛物线为y＝x2﹣4x+c，根据抛物线的对称性得出p+q＝4，即可得到p＝4﹣q，代入1≤q﹣p＜6得到2.5≤q＜5，根据图象上点的坐标特征即可求得﹣+c≤m＜5+c．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c（c为常数）经过点（0，c），（4，c），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝＝2，
∴b＝﹣4，
∴抛物线为y＝x2﹣4x+c，
∵抛物线y＝x2+bx+c（c为常数）经过点（p，m），（q，m），
∴＝2，
∴p+q＝4，
∴p＝4﹣q，
∵1≤q﹣4+q＜6，
∴2.5≤q＜5，
∵m＝q2﹣4q+c，
∴﹣+c≤m＜5+c，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的对称性是解题的关键．
六．二次函数图象与几何变换（共3小题）
11．（2022•南岗区校级二模）通过平移y＝﹣（x﹣1）2+3的图象，可得到y＝﹣x2的图象，下列平移方法正确的是（ ）
A．向左移动1个单位，向上移动3个单位
B．向右移动1个单位，向上移动3个单位
C．向左移动1个单位，向下移动3个单位
D．向右移动1个单位，向下移动3个单位
【分析】根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法．
【解答】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标是（0，0）．
抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3）．
则由二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象向左移动1个单位，向下移动3个单位，可得到y＝﹣x2的图象．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是根据顶点式得到新抛物线的顶点坐标．
12．（2022春•海曙区校级期中）将抛物线y＝x2﹣6x﹣3沿x轴对称，得到的新的抛物线解析式为 y＝﹣（x﹣3）2+12 ．
【分析】先把抛物线y＝x2+4x+3化为顶点式的形式，再根据轴对称的性质，即可得出变化后解析式．
【解答】解：∵y＝x2﹣6x﹣3＝（x﹣3）2﹣12，
∴抛物线y＝x2﹣6x﹣3的顶点坐标为（3，﹣12），
∵点（3，﹣12）关于x轴对称的点的坐标为（3，12），
∴将抛物线y＝x2﹣6x﹣3沿x轴对称，得到的新的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+12，
故答案为：y＝﹣（x﹣3）2+12．
【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，熟记平移规律“左加右减，上加下减”，是解题关键．也考查了配方法．
13．（2022•景县校级模拟）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴是直线x＝2，将抛物线在y轴左侧的部分沿x轴翻折，翻折后的部分和抛物线在y轴右侧的部分组成图形G．
（1）填空：b＝ 4 ；
（2）如图1，在图形G中，c＝0．
①当x取何值时，图形G中的函数值随x的增大而减少？
②当﹣4≤x≤3时，求图形G的最大值与最小值；
（3）如图2，若c＝2，直线y＝n﹣1与图形G恰有3个公共点，求n的取值范围；
（4）若|c|＝3，直线y＝﹣x+m与图形G恰有2个公共点，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）利用抛物线的对称轴即可求得b＝4；
（2）①观察图象即可得出结论；
②根据图象上点的坐标特征，即可得出当﹣4≤x≤3时，图形G的最大值与最小值；
（3）求得抛物线y＝﹣x2+4x+2的最高点，然后根据图象即可求得；
（4）求得直线y＝﹣x+m分别过点（0，3）、（0，﹣3）时的m的值，然后根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝4，
故答案为：4；
（2）①由图象可知，当x＜0或x＞2时，图形G中的函数值随x的增大而减少；
②∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴函数y＝﹣x2+4x的最大值为4，
当x＝﹣4时，y＝﹣（﹣4）2+4×（﹣4）＝﹣32，
当x＝3时，y＝﹣32+4×3＝3，
∴当﹣4≤x≤3时，图形G的最大值是32，最小值是0；
（3）若c＝2，则y＝﹣x2+4x+2＝﹣（x﹣2）2+6，
∴直线y＝n﹣1与图形G恰有3个公共点，则2≤n﹣1＜6，即3≤n＜7，
∴n的取值范围是3≤n＜7；
（4）把点（0，3）代入y＝﹣x+m得，m＝3，
把点（0，﹣3）代入y＝﹣x+m得，m＝﹣3，
∴若|c|＝3，直线y＝﹣x+m与图形G恰有2个公共点，m的取值范围是﹣3≤m≤3．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，二次函数的最值，数形结合是解题的关键．
七．二次函数的最值（共5小题）
14．（2022•包头）已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】由题意得b＝a+1，代入代数式a2+2b﹣6a+7可得（a﹣2）2+5，故此题的最小值是5．
【解答】解：∵b﹣a＝1，
∴b＝a+1，
∴a2+2b﹣6a+7
＝a2+2（a+1）﹣6a+7
＝a2+2a+2﹣6a+7
＝a2﹣4a+4+5
＝（a﹣2）2+5，
∴代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于5，
故选：A．
【点评】此题考查了代数式的变式与二次函数最值问题的解决能力，关键是能对以上知识准确理解并正确变形、计算．
15．（2022•姑苏区校级一模）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 4.5 ．
【分析】先求得直线AD的解析式，进而得到设直线EG的解析式为y＝﹣2x+b，则G（0，b），由此得出BF＝AE＝，即可得出EF＝6﹣b，利用S△FGH＝S△EFG+S△EFH＝EF•OG得出S△FGH＝＝（6﹣b）•b＝﹣（b﹣3）2+4.5，根据二次函数的性质即可求得△FGH的最大面积．
【解答】解：由题意可知A（0，2），
∴设直线AD为y＝kx+2，
把D（1，0）代入得，k+2＝0，解得k＝﹣2，
∴直线AD为y＝﹣2x+2，
∵EG∥AD，
∴设直线EG的解析式为y＝﹣2x+b，则G（0，b），
当y＝2时，x＝，
∴E（，2），
∴AE＝，
∴BF＝AE＝，
∴EF＝4﹣2×＝6﹣b，
∴S△FGH＝S△EFG+S△EFH＝EF•OG＝（6﹣b）•b＝﹣（b﹣3）2+4.5，
∵﹣＜0，
∴△FGH的最大面积为4.5，
故答案为：4.5．
【点评】本题考查了待定系数法求由此函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，二次函数的最值，利用S△FGH＝S△EFG+S△EFH得出S△FGH＝（6﹣b）•b＝﹣（b﹣3）2+4.5是解题的关键．
16．（2022•南岗区校级模拟）二次函数y＝x2+4x﹣7的最小值为 ﹣11 ．
【分析】将二次函数化为顶点式，再根据开口方向确定二次函数最小值．
【解答】解：∵y＝x2+4x﹣7＝（x+2）2﹣11，
∵a＝1，
∴当x＝1时，y有最小值为﹣11，
故答案为：﹣11．
【点评】本题考查了二次函数的最值，掌握将二次函数化为顶点式是解题的关键．
17．（2022•蜀山区校级三模）已知，点A（1，m）和点B（3，n）在二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象上，若点C（x0，y0）是该二次函数图象上任意一点，且满足y0≥m．
（1）用含a的代数式表示b为 b＝﹣2a ；
（2）mn的最大值为 ．
【分析】（1）根据题意得出抛物线的对称轴为直线x＝1，利用对称轴公式即可得到结论；
（2）用含a代数式表示mn，然后配方求解．
【解答】解：（1）∵点C（x0，y0）是二次函数图象上的任意一点，且满足y0≥m，
∴二次函数图像开口向上，即a＞0，顶点坐标为（1，m），
∴对称轴为x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
故答案为：b＝﹣2a；
（2）∵mn＝（a+b+1）（9a+3b+1）＝（﹣a+1）（3a+1）＝﹣3（a﹣）2+，
∵﹣3＜0，
∴mn的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键．
18．（2022春•涪陵区校级期中）已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．
（1）若DG＝2，求证四边形EFGH为正方形；
（2）若DG＝6，求△FCG的面积；
（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．
【分析】（1）由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，那么∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，而AH＝DG＝2，易证△AHE≌△DGH，从而有∠DHG＝∠HEA，等量代换可得∠AHE+∠DHG＝90°，易证四边形HEFG为正方形；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG＝∠MGE，同理有∠HEG＝∠FGE，利用等式性质有∠AEH＝∠MGF，再结合∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM＝HA＝2（即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2），进而可求三角形面积；
（3）先设DG＝x，由第（2）小题得，S△FCG＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，利用勾股定理可得HE2≤53，在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，进而可求x≤，从而可得当x＝时，△GCF的面积最小．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，
∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，
∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），
∴∠DHG＝∠HEA，
∵∠AHE+∠HEA＝90°，
∴∠AHE+∠DHG＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴四边形HEFG为正方形；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG＝∠FGE，
∴∠AEH＝∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，
∴△AHE≌△MFG，
∴FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，
因此S△FCG＝＝＝1；
（3）设DG＝x，则由第（2）小题得，S△FCG＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，
∴HE2≤53，
∴x2+16≤53，
∴x≤，
∴S△FCG的最小值为，此时DG＝，
∴当DG＝时，△FCG的面积最小为（7﹣）．
【点评】本题考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是作辅助线：过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，构造全等三角形和内错角．
八．待定系数法求二次函数解析式（共2小题）
19．（2022•蜀山区校级三模）如图，直线y＝﹣x+1与x轴交于点A，直线m是过点A、B（﹣3，0）的抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴，直线y＝﹣x+1与直线m交于点C，已知点D（n，5）在直线y＝﹣x+1上，作线段CD关于直线m对称的线段CE，若抛物线与折线DCE有两个交点，则a的取值范围为（ ）
A．a≥1B．0＜a≤1
C．﹣＜a＜0或0＜a＜1D．a≥1或a＜﹣
【分析】根据题意求得C、D、E的坐标，由对称轴为x＝﹣1，得出b＝2a，由抛物线y＝ax2+bx+c过点A（1，0）得出c＝3a，即可得出抛物线为y＝ax2+2ax﹣3a，然后分两种情况：（i）若a＞0，抛物线开口向上且经过D（﹣4，5），求得a＝1，由对称性可知：当a≥1时，抛物线与折线DCE有两个交点；ii）若a＜0，抛物线开口向下且经过C（﹣1，2），求得a＝﹣；由对称性可知：当a＜﹣时，抛物线与折线DCE有两个交点；据此即可得出结论．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+1与x轴交于点A，点D（n，5）在直线y＝﹣x+1上，
∴A（1，0），D（﹣4，5），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，
∴y＝1+1＝2，
∴C（﹣1，2），
∵C、E关于直线x＝﹣1对称，
∴E（2，5），
∵＝﹣1，
∴b＝2a，
把A（1，0）代入抛物线y＝ax2+bx+c得c＝﹣3a，
∴抛物线的解析式为：y＝ax2+2ax﹣3a
（i）若a＞0，抛物线开口向上且经过D（﹣4，5），把（﹣4，5）代入y＝ax2+2ax﹣3a求出：a＝1；
由对称性可知：当a≥1时，抛物线与折线DCE有两个交点；
（ii）若a＜0，抛物线开口向下且经过C（﹣1，2），把C（﹣1，2）代入y＝ax2+2ax﹣3a求出：a＝﹣；
由对称性可知：当a＜﹣时，抛物线与折线DCE有两个交点；
综上所述：当a≥1或a＜﹣时，抛物线与折线DCE有两个交点；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
20．（2022•金水区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点P（m，y1）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，点Q（m，y2）在一次函数y＝﹣x+1的图象上．
（1）若二次函数图象经过点（0，1），（2，1）．①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；②当m＞1时，请直接写出y1与y2的大小关系；
（2）若只有当m≥0时，满足y1•y2≤0，请求出此时二次函数的解析式．
【分析】（1）①用待定系数法求二次函数的解析式，配成顶点式求出图象的顶点坐标；
②根据二次函数的图象上点的坐标特征表示y1＝（m﹣1）2，y2＝﹣m+1，比较大小看差的结果；
（2）根据二次函数的图象上点的坐标特征表示y1，y2，①当0≤m≤1时，﹣m+1≥0，②当1＜m时，﹣m+1＜0，分两种情况讨论得出函数所经过的点的坐标，从而求出解析式．
【解答】解：（1）①把（0，1），（2，1）代入y＝x2+bx+c，
得c＝1，4+2b+1＝1，
解得b＝﹣2，
∴二次函数的解析式y＝x2﹣2x+1
＝（x﹣1）2，
∴顶点坐标（1，0）；
②∵点P（m，y1）在二次函数y＝x2﹣2x+1上，
∴y1＝（m﹣1）2，
∵点Q（m，y2）在一次函数y＝﹣x+1的图象上，
∴y2＝﹣m+1，
∵y1﹣y2＝（m﹣1）2﹣（﹣m+1）
＝m（m﹣1），
∵m＞1，
∴m﹣1＞0，
∴m（m﹣1）＞0，
∴y1＞y2；
（2）∵点P（m，y1）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，
∴y1＝m2+bm+c，
∵点Q（m，y2）在一次函数y＝﹣x+1的图象上，
∴y2＝﹣m+1，
∴y1•y2＝（m2+bm+c）•（﹣m+1），
∵m≥0时，满足y1•y2≤0，
①当0≤m≤1时，﹣m+1≥0，
∴m2+bm+c≤0，
②当1＜m时，﹣m+1＜0，
∴m2+bm+c＞0，
∴y＝x2+bx+c的图象过（0，0），（1，0），
∴，
∴b＝﹣1，
∴二次函数的解析式：y＝x2﹣x．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象上点的坐标特征、二次函数的性质、用待定系数法求二次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征，掌握这几个知识点的综合应用，其中分情况讨论是解题关键．
九．二次函数的三种形式（共1小题）
21．（2022•山西二模）用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣4B．y＝（x﹣1）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2﹣5D．y＝（x﹣2）2﹣6
【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣2）2﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
一十．抛物线与x轴的交点（共4小题）
22．（2022•兴庆区校级一模）已知抛物线y＝x2+2x+k与x轴没有交点，则一次函数y＝kx﹣k的大致图形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】二次函数y＝x2+2x+k的图象与x轴没有交点，则一元二次方程y＝x2+2x+k＝0的判别式小于0，从而求得k的取值范围．然后根据符号来确定该一次函数所经过的象限．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x+k的图象与x轴没有交点，
∴Δ＝22﹣4×1×k＜0，
解得k＞1，
∴一次函数y＝x2+2x+k的图象第一、三、四象限．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了一次函数的性质．
23．（2022•兴庆区校级三模）若抛物线y＝x2+bx+c对称轴为直线x＝2，且与x轴有交点，则c的最大值为（ ）
A．0B．3C．4D．8
【分析】利用抛物线的对称轴，进而得到b的值，再利用抛物线与x轴有交点则Δ＞0，列出不等式即可求解．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c对称轴为直线x＝2，
∴x＝﹣＝2．
∴b＝﹣4，
∴抛物线的表达式可写成y＝x2﹣4x+c．
∵抛物线与x轴有交点，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4c≥0，
解得：c≤4，
∴c的最大值为4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线上的点的坐标的特征，不等式的解法，利用抛物线的对称轴是解题的关键．
24．（2022•顺德区校级三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上有一点D满足CD＝4AC，连接AD交y轴于点C．
（1）直接写出点C的坐标（请用含a的代数式表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值．
【分析】（1）过D点作DF⊥x轴于F，如图，先解方程ax2﹣2ax﹣3a＝0得A（﹣1，0），B（3，0），再根据平行线分线段成比例定理得到OF＝4OA＝4，则计算x＝4时y＝5a，所以DF＝﹣5a，接着利用平行线分线段成比例定理得到
OC＝﹣a，从而得到C点坐标
（2）过E点作EQ∥y轴交AD于Q点，如图，先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝ax+a，设E（t，at2﹣2at﹣3a），则Q（t，at+a），所以EQ＝at2﹣3at﹣4a，利用三角形面积公式得到△ACE的面积＝at2﹣at﹣2a，接着根据二次函数的性质得到△ACE的面积有最大值为﹣a，所以﹣a＝，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：（1）过D点作DF⊥x轴于F，如图，
当y＝0时，ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵OC∥DF，
∴＝＝＝，
∴OF＝4OA＝4，
当x＝4时，y＝ax2﹣2ax﹣3a＝16a﹣8a﹣3a＝5a，
∴DF＝﹣5a，
∵OC∥DF，
∴＝，即＝，
解得OC＝﹣a，
∴C点坐标为（0，a）；
（2）过E点作EQ∥y轴交AD于Q点，如图，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣1，0），C（0，a）分别代入得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝ax+a，
设E（t，at2﹣2at﹣3a），则Q（t，at+a），
∴EQ＝at2﹣2at﹣3a﹣（at+a）＝at2﹣3at﹣4a，
∴△ACE的面积＝△EAQ的面积﹣△ECQ的面积＝×EQ×1＝at2﹣at﹣2a，
∵△ACE的面积＝（t﹣）2﹣a，
∴当t＝时，△ACE的面积有最大值为﹣a，
∴﹣a＝，
解得a＝﹣．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数的性质．
25．（2022•碑林区模拟）已知抛物线L：y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）把抛物线L关于y轴对称，得到抛物线L'，在抛物线L'上是否存在点P，使得S△ABP＝S△BCP？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令y＝0，x＝0，分别求出x，y的值；
（2）先根据对称的性质求抛物线L'解析式，根据S△ABP＝S△BCP，得出BP∥AC，进而求出直线AC的解析式，直线BP的解析式，再求直线BP与抛物线L'交点得横坐标．
【解答】解：（1）令y＝0，得﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
令x＝0，得y＝3，
∴A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）；
（2）答：存在；
∵抛物线L关于y轴对称，得到抛物线L'，
∴抛物线L'解析式：y＝﹣x2+2x+3，
∵S△ABP＝S△BCP，
∴BP∥AC，
设直线AC的解析式：y＝kx+b，
把A（﹣3，0）、C（0，3）代入y＝kx+b，
得b＝3，﹣3k+3＝0，
解得k＝1，
∴直线AC的解析式：y＝x+3，
∵BP∥AC，
∴设直线BP的解析式：y＝x+c，
把B（1，0）代入y＝x+c，
得1+c＝0，
解得c＝﹣1，
∴直线BP的解析式：y＝x﹣1，
把y＝x﹣1代入y＝﹣x2+2x+3，
得x﹣1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝，
∴在抛物线L'上存在点P，使得S△ABP＝S△BCP；点P的横坐标为或．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与x轴有交点、用待定系数法求函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，利用两直线平行一次函数比例系数相同解决问题是解题关键．
一十一．图象法求一元二次方程的近似根（共2小题）
26．（2022•北仑区校级三模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝2，则下列说法中正确的有（ ）
①abc＜0；
②＞0；
③16a+4b+c＞0；
④5a+c＞0；
⑤方程ax2+bx+c＝0（a≠0）其中一个解的取值范围为﹣2＜x＜﹣1．
A．1个B．3个C．4个D．5个
【分析】由抛物线开口方向、对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据抛物线与x轴的交点情况以及a的符号即可判断②；由16a+4b+c＝c即可判断③；由x＝5时，y＜0，即可判断④；由抛物线与x轴的交点即可判断⑤．
【解答】解：由图象开口向下，可知a＜0，
与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，
又﹣＝2，所以b＝﹣4a＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴b2﹣4ac＞0，
∵a＜0，
∴＞0，故②正确；
∵16a+4b+c＝16a﹣16a+c＝c＞0，
∴16a+4b+c＞0，故③正确；
当x＝5时，y＝25a+5b+c＜0，
∴25a﹣20a+c＜0，
∴5a+c＜0，故④错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝2，其中一个交点的横坐标在4＜x＜5，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）其中一个解的取值范围为﹣1＜x＜0，故⑤错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．
27．（2022•荆门模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，x与y的部分对应值如表：
当m＞3时，有下列5个结论：①b＜0；②ab＜﹣；③若t＞4，则m＜n；④抛物线y＝ax2+bx+c+1与x轴的交点横坐标分别为0和﹣2；⑤关于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2与3之间．其中一定正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】先利用抛物线的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点为（0，﹣1），x＝﹣2时，m＞3可判断a＞0，由对称轴方程得到b＝﹣2a＜0，则可对①进行判断；由于当x＝﹣2时，m＝8a﹣1＞3，则a＞，所以ab＝a•（﹣2a）＝﹣2a2，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性和增减性，则可对③进行判断；利用y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax经过点（0，0），（2，0），可对④进行判断；由于x＝2时，y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax﹣1＝4a﹣4a﹣1＝﹣1＜0，x＝3时，y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax﹣1＝9a﹣6a﹣1＝3a﹣1＞0，则可对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点为（0，﹣1），x＝﹣2时，函数值m＞3，
∴抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，所以①正确；
∵x＝0时，y＝﹣1，
∴c＝﹣1，
∵当x＝﹣2时，m＝4a﹣2b+c＝8a﹣1＞3，
∴a＞，
∵ab＝a•（﹣2a）＝﹣2a2，
∴ab＜﹣，所以②正确；
∵抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∵（﹣2，m）关于对称轴的对称点为（4，m），抛物线过点（t，n），t＞4，
∴m＜n，所以③正确；
∵y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2），
∴此抛物线经过点（0，0），（2，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c+1与x轴的交点横坐标分别为0和2，所以④错误；
∵x＝2时，y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax﹣1＝4a﹣4a﹣1＝﹣1＜0，
x＝3时，y＝ax2+bx+c+1＝ax2﹣2ax﹣1＝9a﹣6a﹣1＝3a﹣1，
∵a＞，
∴3a﹣1＞0
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2与3之间，所以⑤正确．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
一十二．根据实际问题列二次函数关系式（共2小题）
28．（2021秋•中山区期末）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x）B．y＝100﹣x2
C．y＝100（1+x）2D．y＝100（1﹣x）2
【分析】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．
【解答】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，
故选：D．
【点评】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
29．（2021秋•金寨县期末）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝a（1+x）2B．y＝a（1﹣x）2C．y＝（1﹣x）2+aD．y＝x2+a
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．
【解答】解：设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月投放垃圾桶a（1+x）2辆，
则y＝a（1+x）2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
一十三．二次函数的应用（共5小题）
30．（2022•杏花岭区校级模拟）太原某中学利用学校的体育场地设施和设备，充分调动全体师生的积极性，广泛开展各项体育活动，努力提高学生的身体素质，如图①是小杰在铅球比赛中的一次掷球，铅球出手以后的轨迹可近似看作是抛物线的一部分，已知铅球出手时离地面1.6米，铅球离抛掷点水平距离3米时达到最高，此时铅球离地面2.5米，如图②，以水平面为x轴，小杰所站位置的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，则他掷铅球的运动路线的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意设出抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+2.5，再把点B坐标代入解析式求出a即可．
【解答】解：根据题意，得B（0，1.6），C（3，2.5）
设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+2.5，
将B点代入解析式得：9a+2.5＝1.6，
解得a＝﹣，
∴小杰掷铅球的运动路线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+2.5＝﹣x2+x+．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
31．（2022•二道区校级模拟）如图，一个横截面为抛物线形的隧道部宽12米、高6米．车辆双向通行，若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2米的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于一米的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为 米．
【分析】首先建立适当的平面直角坐标系，根据图中数据求抛物线解析式再进行求解即可．
【解答】【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
根据题意得：A（﹣6，0），B（6，0），C（0，6），
设抛物线解析式为y＝ax2+6，
把B（6，0）代入j解析式，得36a+6＝0，
解得a＝﹣，
所以抛物线的解析式为y＝﹣x2+6，
当x＝4时，y＝﹣×42+6＝，
﹣1＝．
所以通过隧道车辆的高度限制应为米．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是建立适当的平面直角坐标系．
32．（2022•郧阳区模拟）“水都数学建模”兴趣小组对某超市一种热卖的商品做了市场调查，发现该商品的进价为每件30元，开始到3月底的一段时间，超市以每件40元售出，每天可以卖出120件．从4月1日开始，该商品每天比前一天涨价1元，销售量每天比前一天减少2件；从5月1日起到5月30日当天，该商品价格一直稳定在每件70元，销售量一直持续每天比前一天减少2件，设从4月1日起的第x天的销售量为y件，销售该商品的每天利润为w元．
（1）第x（1≤x≤30）天的销售价为每件 （40+x） 元，这段时间每天的销售量y（件）与x（天）的函数关系式为 y＝120﹣2x ；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于2000元？
【分析】（1）第x（1≤x≤30）天的销售价为每件（40+x）元，销售量y（件）与x（天）的函数关系式为y＝120﹣2x；
（2）根据每件利润乘以销售量为总利润可得：w＝（40+x﹣30）（120﹣2x）＝﹣2（x﹣25）2+2450，由二次函数性质可得从4月1日起，销售该商品第25天时，当天销售利润最大，最大利润2450元；
（3）当1≤x≤60时，y＝120﹣2x，分两种情况：①当1≤x≤30时，由﹣2（x﹣25）2+2450＝2000可得当10≤x≤30时，每天销售利润不低于2000元，共21天；②当31≤x≤60时，由（70﹣30）×（120﹣2x）≥2000可得当31≤x≤35时，每天销售利润不低于2000元，共5天；即得该商品在销售过程中，共有26天，每天销售利润不低于2000元．
【解答】解：（1）根据题意得：第x（1≤x≤30）天的销售价为每件（40+x）元，
这段时间每天的销售量y（件）与x（天）的函数关系式为y＝120﹣2x，
故答案为：（40+x），y＝120﹣2x；
（2）根据题意得：w＝（40+x﹣30）（120﹣2x）＝﹣2（x﹣25）2+2450，
∵﹣2＜0，
∴x＝25时，w取最大值2450，
答：从4月1日起，销售该商品第25天时，当天销售利润最大，最大利润2450元；
（3）∵从5月1日起到5月30日当天，销售量一直持续每天比前一天减少2件，
∴当1≤x≤60时，y＝120﹣2x，
①当1≤x≤30时，由﹣2（x﹣25）2+2450＝2000得：x1＝10，x2＝40，
∴当10≤x≤30时，每天销售利润不低于2000元，共21天；
②当31≤x≤60时，由（70﹣30）×（120﹣2x）≥2000得：x≤35，
∴当31≤x≤35时，每天销售利润不低于2000元，共5天；
综上所述，该商品在销售过程中，共有26天，每天销售利润不低于2000元．
【点评】本题考查一次函数，二次函数及一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和不等式．
33．（2022•集美区二模）今年某市疫情形势严峻，物资紧缺．为保障物资供应，相关部门加强蔬菜抢种和抢收力度，建议取消蔬菜采收后养地的传统做法，采用采收后立即播种的新种植方式．当季某种蔬菜的适宜生育温度为15℃﹣30℃，在平均温度20℃时，传统种植方式平均产量为2500千克/亩，采用新种植方式后，平均产量为a千克/亩．已知A公司在郊区承包该种蔬菜种植面积50亩，其中30亩采用新种植方式，这50亩共采收蔬菜110000千克．
（1）平均温度20℃时，求该种蔬菜采用新种植方式每亩的平均产量；
（2）采用新种植方式的蔬菜原计划在5月15日上市，为提前上市应对需求的激增，A公司启动大棚内智能化控温设备，缩短蔬菜生长周期．经调查，当平均温度超过20℃时，温度升高会导致蔬菜幼苗成活率下降，每升高1℃，平均每亩产量减少50千克；提前上市的天数y（天）与温度t（℃）满足y＝﹣t2+30t﹣360（20≤t≤30）．为了确保蔬菜所需的供应量，要求平均产量不低于1600千克/亩，判断这批蔬菜能否在5月1日上市？并说明理由．
【分析】（1）根据题意得：30a+（50﹣30）×2500＝110000，可解得平均温度20℃时，该种蔬菜采用新种植方式每亩的平均产量是2000千克；
（2）由要求平均产量不低于1600千克/亩，有2000﹣50（t﹣20）≥1600，得t≤28，而y＝﹣t2+30t﹣360＝﹣（t﹣25）2+15，可知当t＝25时，y取最大值15，又25＜28，故这批蔬菜可提前15天上市，即这批蔬菜能在5月1日上市．
【解答】解：（1）根据题意得：30a+（50﹣30）×2500＝110000，
解得a＝2000，
答：平均温度20℃时，该种蔬菜采用新种植方式每亩的平均产量是2000千克；
（2）∵每升高1℃，平均每亩产量减少50千克，要求平均产量不低于1600千克/亩，
∴2000﹣50（t﹣20）≥1600，
解得t≤28，
∵y＝﹣t2+30t﹣360＝﹣（t﹣25）2+15，
∴当t＝25时，y取最大值15，
而25＜28，
∴这批蔬菜可提前15天上市，即这批蔬菜能在5月1日上市．
【点评】本题考查一元一次方程，一元一次不等式和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出方程和不等式．
34．（2022•蜀山区校级三模）某商场销售一种季节性产品，以下是该产品在销售期（30天）内的部分信息：
①第x天（x为整数）的销量为（40+2x）千克；
②该产品前10天的售价都是50元千克，从第11天开始售价y（元千克）是第x天的一次函数，对应关系如表：
（1）当11≤x≤30时，求出y与x的关系式；
（2）当x为何值时日销售额w最大，最大为多少？
【分析】（1）用待定系数法可得y与x的关系式；
（2）分1≤x≤10和11≤x≤30，分别求出销售额w的最大值，再比较即可得答案．
【解答】解：（1）当11≤x≤30时，设y与x的关系式为y＝kx+b，
将（15，45），（20，40）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣x+60（11≤x≤30）；
（2）当1≤x≤10时，w＝50（40+2x）＝100x+2000，
∵100＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴x＝10时，w最大为100×10+2000＝3000（元），
当11≤x≤30时，w＝（﹣x+60）（40+2x）＝﹣2（x﹣20）2+3200，
∵﹣2＜0，
∴x＝20时，w取最大值3200，
∵3000＜3200，
∴x为20时日销售额w最大，最大为3200元．
【点评】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．
一十四．二次函数综合题（共7小题）
35．（2022•新河县一模）如图，已知抛物线经过点B（﹣1，0），A（4，0），与y轴交于点C（0，2），P为AC上的一个动点，则有以下结论：
①抛物线的对称轴为直线x＝；
②抛物线的最大值为；
③∠ACB＝90°；
④OP的最小值为．
则正确的结论为（ ）
A．①②④B．①②C．①②③D．①③④
【分析】用待定系数法求出函数的解析式即可对①②进行判断；利用勾股定理对③进行判断即可；求出直线AC的解析式，设P（t，﹣t+2），再利用两点间距离公式求出OP的最大值即可．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
将B（﹣1，0），A（4，0），C（0，2）代入，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+2，
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
故①正确；
当x＝时，抛物线有最大值，
故②不正确；
∵B（﹣1，0），A（4，0），C（0，2），
∴AB＝5，AC＝2，BC＝，
∵AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
故③正确；
设直线AC的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2，
设P（t，﹣t+2），
∴OP＝，
∴当t＝时，OP有最小值为，
故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数求函数的解析式是解题的关键．
36．（2022•开福区校级三模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）当a＝1，b＝c+1且c＜0时，求A，B两点的坐标（可用含c的式子表示）；
（2）若抛物线与y轴交于点C，当△ABC是直角三角形时，求ac的值；
（3）若抛物线与x轴只有一个公共点M（2，0），与y轴交于（0，2），直线l：y＝kx+2﹣2k与抛物线交于P、Q两点（P在Q的左侧），过点P且与y轴平行的直线与直线MQ相交于点N，判断点N的纵坐标是否为一个定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）由x2+（c+1）x+c＝0，可得A（﹣1，0），B（﹣c，0）；
（2）设A（x1，0），B（x2，0），则x1，x2是ax2+bx+c＝0的两个实数根，有x1•x2＝，而△ABC是直角三角形，有x12+c2+x22+c2＝（x1﹣x2）2，可得ac＝﹣1；
（3）由抛物线与x轴只有一个公共点M（2，0），与y轴交于（0，2）得y＝（x﹣2）2＝x2﹣2x+2，设直线l：y＝kx+2﹣2k与抛物线交于点P（xP，yP）、Q（xQ，yQ），则xP+xQ＝4+2k，xPxQ＝4k，设直线MQ的解析式为y＝mx+n，将M（2，0），Q（xQ，yQ）代入，得直线MQ的解析式为y＝x﹣，当x＝xP时，yN＝•xP﹣＝＝•＝（xQ﹣2）（xP﹣2）＝xPxQ﹣（xP+xQ）+2，即得yN＝×4k﹣（4+2k）+2＝﹣2．
【解答】解：（1）当a＝1，b＝c+1时，y＝x2+（c+1）x+c，
令y＝0得x2+（c+1）x+c＝0，
∴（x+c）（x+1）＝0，
∴x＝﹣c或x＝﹣1，
∵c＜0，点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），B（﹣c，0）；
（2）在y＝ax2+bx+c中，令x＝0得y＝c，
∴C（0，c），
设A（x1，0），B（x2，0），则x1，x2是ax2+bx+c＝0的两个实数根，有x1•x2＝，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，
即x12+c2+x22+c2＝（x1﹣x2）2，
整理变形得x1x2+c2＝0，
∴+c2＝0，
∵a≠0，
∴c（1+ac）＝0，
∴c＝0或ac＝﹣1，
当c＝0时，不能构成△ABC，故不符合题意，舍去，
∴ac＝﹣1；
（3）点N的纵坐标为一个定值，理由如下：
∵抛物线与x轴只有一个公共点M（2，0），与y轴交于（0，2），
∴抛物线顶点为（2，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2，把（0，2）代入得：
2＝4a，
解得a＝，
∴y＝（x﹣2）2＝x2﹣2x+2，
设直线l：y＝kx+2﹣2k与抛物线交于点P（xP，yP）、Q（xQ，yQ），
∴x2﹣2x+2＝kx+2﹣2k，
整理得：x2﹣（4+2k）x+4k＝0，
∴xP+xQ＝4+2k，xPxQ＝4k，
设直线MQ的解析式为y＝mx+n，将M（2，0），Q（xQ，yQ）代入，
得：，
解得：，
∴直线MQ的解析式为y＝x﹣，
当x＝xP时，
yN＝•xP﹣＝＝•＝（xQ﹣2）（xP﹣2）＝xPxQ﹣（xP+xQ）+2
∵xP+xQ＝4+2k，xPxQ＝4k，
∴yN＝×4k﹣（4+2k）+2＝﹣2，
故对于每个给定的实数k，点N的纵坐标均为定值﹣2．
【点评】本题考查二次函数综合应用，考查了待定系数法，一次函数与抛物线交点坐标，一元二次方程根与系数关系，直角三角形性质，二次函数最值运用等知识，涉及知识点多，综合性强，难度较大．
37．（2022•北碚区自主招生）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴正半轴交于点A，B，与y轴正半轴交于点C，且OC＝OB＝3OA，点D为抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线BC下方该抛物线上任意一点，点E为直线BC与该抛物线对称轴的交点，求△PBE面积的最大值；
（3）如图2，将该抛物线沿射线CB的方向平移2个单位后得到新抛物线y'，新抛物线y′的顶点为D'，过（2）问中使得△PBE面积为最大时的点P作平行于y轴的直线交新抛物线y'于点M．在新抛物线y′的对称轴上是否存在点N，使得以点P，D'，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出A、B点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设P（t，t2﹣4t+3），先求出直线PB的解析式为y＝（t﹣1）x+3﹣3t，则PB与对称轴的交点为（1，2﹣2t），可得S△PBE＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，△PBE面积的最大值为；
（3）求出平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣3，则D'（4，﹣3），设N（4，t），分两种情况讨论：①当PD'为平行四边形的对角线时，N（4，﹣7）；②当PN为平行四边形的对角线时，N（4，1）．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
∵OC＝OB＝3OA，
∴OB＝3，OA＝1，
∴A（1，0），B（3，0），
将A（1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣4x+3；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3，
∴E（2，1），
设P（t，t2﹣4t+3），直线PB的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝（t﹣1）x+3﹣3t，
∴PB与对称轴的交点为（1，2﹣2t），
∴S△PBE＝（2﹣2+2t）×（3﹣t）＝3t﹣t2＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，△PBE面积的最大值为；
（3）存在点N，使得以点P，D'，M，N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴抛物线沿x轴正方向平移2个单位，沿y轴负方向平移2个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣3＝x2﹣8x+13，
∴D'（4，﹣3），
由（2）知，P（，﹣），
∵PM∥y轴，
∴M（，），
设N（4，t），
∵PM∥ND'，
∴PM与ND'一定是平行四边形的一组对边，
①当PD'为平行四边形的对角线时，
∴﹣﹣3＝+t，
解得t＝﹣7，
∴N（4，﹣7）；
②当PN为平行四边形的对角线时，
∴t﹣＝﹣3+，
解得t＝1，
∴N（4，1）；
综上所述：N点坐标为（4，﹣7）或（4，1）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，函数图象平移的性质是解题的关键．
38．（2022•庐阳区校级三模）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为关联函数．例如：一次函数y＝x﹣1，它的关联函数为y＝．已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣．
（1）当第二象限点B（m，）在这个函数的关联函数的图象上时，求m的值；
（2）当﹣3≤x≤﹣1时求函数y＝﹣x2+4x﹣的关联函数的最大值和最小值．
【分析】（1）由题干定义可得二次函数的关联函数解析式，分别讨论m≥0与m＜0，将点B坐标代入对应解析式求解．
（2）由（1）可得二次函数在x＜0时的关联函数解析式，分别将x＝﹣1，x＝﹣3代入解析式求解．
【解答】解：（1）由题意得二次函数y＝﹣x2+4x﹣的关联函数为y＝，
当m≥0时，将（m，）代入y＝﹣x2+4x﹣得＝﹣m2+4m﹣，
解得m＝2+或m＝2﹣，
当m＜0时，将（m，）代入y＝x2﹣4x+得＝m2﹣4m+，
解得m＝2﹣或m＝2+（舍）．
（2）当x＜0时，y＝﹣x2+4x﹣的关联函数为y＝x2﹣4x+，
∵y＝x2﹣4x+＝（x﹣2）2﹣，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴x＜0时，y随x增大而减小，
将x＝﹣3代入y＝x2﹣4x+得y＝9+12+＝21.5，
将x＝﹣1代入x2﹣4x+得y＝1+4+＝5.5，
∴当﹣3≤x≤﹣1时求函数y＝﹣x2+4x﹣的关联函数的最大值和最小值分别为21.5，5.5．
【点评】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解题意，通过分类讨论求解．
39．（2022•龙华区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP，PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BCP的面积最大值；
（3）点M是抛物线的对称轴l上一动点．
①是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②请在平面内找到一点N，使得以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形，并直接写出N点的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点P作PG∥y轴交BC于G，设P（t，﹣t2+3t+8），则G（t，﹣t+8），可得S△CBP＝﹣2（t﹣4）2+32，即可求解；
（3）①设M（3，m），分别求出BE＝5，BM＝，EM＝|m﹣5|，分三种情况讨论：当BE＝BM时，M（3，0）；当BE＝EM时，M（3，5+5）或（3，﹣5+5）；当BM＝EM时，M（3，0）；
②设N（x，y），分三种情况讨论：当BE为菱形的对角线时，此时N（8，5）；当BM为菱形的对角线时，此时N（8，5）或（8，﹣5）；当BN为菱形的对角线时，此时N（﹣2，10）或（﹣2，0）．
【解答】解：（1）将A（﹣2，0），C（0，8）代入y＝ax2+3x+c，
∴，
解得﹣，
∴y＝﹣x2+3x+8；
（2）令y＝0，则﹣x2+3x+8＝0，
解得x＝﹣2或x＝8，
∴B（8，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+8，
过点P作PG∥y轴交BC于G，
设P（t，﹣t2+3t+8），则G（t，﹣t+8），
∴PG＝﹣t2+3t+8+t﹣8＝﹣t2+4t，
∴S△CBP＝8×（﹣t2+4t）＝﹣2t2+16t＝﹣2（t﹣4）2+32，
∴当t＝4时，△BCP的面积有最大值，最大值为32；
（3）①存在点M，使得△BEM为等腰三角形，理由如下：
∵y＝﹣x2+3x+8＝﹣（x﹣3）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴E（3，5），
设M（3，m），
∴BE＝5，BM＝，EM＝|m﹣5|，
当BE＝BM时，5＝，
解得m＝0，
∴M（3，0）；
当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，
解得m＝5+5或m＝﹣5+5，
∴M（3，5+5）或（3，﹣5+5）；
当BM＝EM时，＝|m﹣5|，
解得m＝0，
∴M（3，0）；
综上所述：M点坐标为（3，0）或（3，5+5）或（3，﹣5+5）；
②设N（x，y），M（3，m），
当BE为菱形的对角线时，BM＝EM，
∴，
解得，
∴N（8，5）；
当BM为菱形的对角线时，BE＝EM，
∴，
解得或，
∴N（8，5）或（8，﹣5）；
当BN为菱形的对角线时，BE＝BM，
∴，
解得或，
∴N（﹣2，10）或（﹣2，0）；
综上所述：N点坐标为（8，5）或（8，5）或（8，﹣5）或（﹣2，10）或（﹣2，0）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
40．（2022•五华区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（6，0）、C（0，3）三点，直线y＝x+经过点A与抛物线交于D点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点P是在直线AD上方二次函数图象（含A、D两点）上的一个动点，试探究点P的坐标是多少时，△PCD的面积最大，并求出最大面积；
（3）如图2，若H是线段CD上的一个动点，连接OH，交直线AD于点G，延长OH，交抛物线于点M，试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）求出D点坐标，可知CD∥x轴，则当M点是抛物线的顶点时，△CDP的面积最大；
（3）过点M作MK∥x轴交AD于点K，可得＝＝KM，当KM的值最大值时，的值也最大，设M（t，﹣t2+t+3），则K（﹣t2+5t+5，﹣t2+t+3），则KM＝﹣（t﹣2）2+9，当t＝2时，KM有最大值9．
【解答】解：将A（﹣1，0）、B（6，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+3；
（2）联立方程组，
解得或，
∴D（5，3），
∴CD∥x轴，
∴当P点为抛物线的顶点时，△PCD的面积最大，
∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣）2+，
∴P（，），此时S△PCD＝5×（﹣3）＝；
（3）存在最大值，理由如下：
过点M作MK∥x轴交AD于点K，
∴＝＝KM，
∴当KM的值最大时，的值也最大，
设M（t，﹣t2+t+3），则K（﹣t2+5t+5，﹣t2+t+3），
∴KM＝﹣t2+5t+5﹣t＝﹣t2+4t+5＝﹣（t﹣2）2+9，
∴当t＝2时，KM有最大值9，
∴的最大值为9．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，数形结合是解题的关键．
41．（2022•淄博）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；
（3）设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．
【分析】（1）利用顶点式求解，可得结论；
（2）如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J．设P（m，﹣m2+2m+3）．四边形DTBP的面积＝△PDT的面积+△PBT的面积＝×DT×PN+×TB×PM＝（PM+PN），推出四边形DTBP的面积最大时，PM+PN的值最大，求出四边形DTBP的面积的最大值，可得结论；
（3）四边形AFBG的面积不变．如图，设P（m，﹣m2+2m+3），求出直线AP，BP的解析式，可得点E，F的坐标，求出FG的长，可得结论．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点D（1，4），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J．设P（m，﹣m2+2m+3）．
点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，
∴4＝+t，
∴t＝，
∴直线DT的解析式为y＝x+，
令y＝0，得到x＝﹣2，
∴T（﹣2，0），
∴OT＝2，
∵B（3，0），
∴OB＝3，
∴BT＝5，
∵DT＝＝5，
∴TD＝TB，
∵PM⊥BT，PN⊥DT，
∴四边形DTBP的面积＝△PDT的面积+△PBT的面积＝×DT×PN+×TB×PM＝（PM+PN），
∴四边形DTBP的面积最大时，PM+PN的值最大，
∵D（1，4），B（3，0），
∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+6，
∴J（m，﹣2m+6），
∴PJ＝﹣m2+4m﹣3，
∵四边形DTBP的面积＝△DTB的面积+△BDP的面积
＝×5×4+×（﹣m2+4m﹣3）×2
＝﹣m2+4m+7
＝﹣（m﹣2）2+11
∵﹣1＜0，
∴m＝2时，四边形DTBP的面积最大，最大值为11，
∴PM+PN的最大值＝×11＝；
（3）四边形AFBG的面积不变．
理由：如图，设P（m，﹣m2+2m+3），
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴直线AP的解析式为y＝﹣（m﹣3）x﹣m+3，
∴E（1，﹣2m+6），
∵E，G关于x轴对称，
∴G（1，2m﹣6），
∴直线PB的解析式y＝﹣（m+1）x+3（m+1），
∴F（1，2m+2），
∴GF＝2m+2﹣（2m﹣6）＝8，
∴四边形AFBG的面积＝×AB×FG＝×4×8＝16．
∴四边形AFBG的面积是定值．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
x
﹣2
0
t
y
m
﹣1
n
第x天
15
20
售价y（元/千克）
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40