陕西省西安市第二十三中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份陕西省西安市第二十三中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共15页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图中几何体的左视图为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据左视图是从左面看到图形，可得左视图中间有一条虚线，即可解答．熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，题中几何体左视图为 ，
故选：C．
2. 中午12点，身高为的小冰的影长为，同学小雪此时在同一地点的影长为，那么小雪的身高为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行投影，相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度．设小雪的身高为，根据在同一时刻物高与影长的比相等得到，然后根据比例性质求x即可．通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
【详解】设小雪的身高为，根据题意得
，
解得．
所以小雪的身高为．
故选A．
3. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；根据此定义即可进行解答．
【详解】解：A、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、，是一元二次方程，符合题意；
C、，含有4个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、，未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，再去进行判断．
4. 正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ）
A. 对角线互相垂直B. 对角线相等C. 对角相等D. 邻边相等
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形和菱形的性质即可解决问题．
【详解】解：正方形具有而菱形不一定有的性质是：对角线相等．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，解决本题的关键是掌握正方形和菱形的性质．
5. 在中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数求出，利用勾股定理求出，再根据公式求出答案．
【详解】解：∵在中，，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形函数的应用，勾股定理，熟记角的三角函数值的计算公式是解题的关键．
6. 大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义得到，代入值即可求出．
【详解】解：∵P为的黄金分割点，的长度为，
∴，
故选：C．
7. 阳光中学坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少，据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为，则下列方程正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为，前年的近视学生人数是为，则今年的为，列出方程即可求解．
【详解】解：设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为，前年的近视学生人数是为，则今年的为，
依题意得，，
即，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
8. 下列关于反比例函数的结论中正确的是（ ）
A. 图象过点B. 当时，
C. 在每个象限内，随的增大而减小D. 当时，
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象与性质，对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，C错误，故不符合要求；
当时，，D错误，故不符合要求；
当时，，A错误，故不符合要求；
当时，，B正确，故符合要求；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
9. 已知，那么________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据已知条件可求出，然后再把的值代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案是：．
【点睛】本题考查了比例的性质，得出是解题的关键
10. 在实数，，0，，中，无理数有__________个．
【答案】2
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数的定义，根据无限不循环小数是无理数求解即可．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽得到的数；以及像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），等有这样规律的数．
【详解】解：，，
∴无理数有，，共2个．
故答案为：2．
11. 如图，若反比例函数的图像经过点A，轴于B，且的面积为3，则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，结合图像的分布计算即可．
【详解】设，
则，，
∵的面积为3，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据三角形面积确定反比例函数比例系数k，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
12. 如图，与位似，点为位似中心，面积为1，面积为9，则值为_______．

【答案】##
【解析】
【分析】根据位似图形的概念得到，进而得到，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵与位似，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
13. 菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，
菱形的边长为2，，
中，
PQ+QC最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、负整指数幂的性质计算即可
【详解】解：
【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到绝对值、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、负整指数幂，熟练掌握相关性质是解题的关键
15. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，利用因式分解法解一元二次方程即可；解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴或，
解得，
16. 解关于x的不等式组．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴该不等式组的解集是．
17. 如图，在中，，，在边上求作一点P，使得．（要求：不写做法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】作线段的垂直平分线交于点P即可．
【详解】解：作线段的垂直平分线交于点P，
则点P即为所求．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．
18. 如图， ，是上一点，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】两直线平行内错角相等，，再加上已知条件即可证得两个三角形相似．
【详解】证明：∵，
∴．
又∵，
∴．
【点睛】此题考查了两个三角形相似，解题的关键是熟记三角形相似的判定定理．
19. 不透明的口袋里装有白、红、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，红球有1个，黄球有1个．
（1）任意摸一个球，摸到白球的概率为 _________．
（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格法，求两次摸到都是白球的概率．
【答案】（1）
（2）两次摸到都是白球的概率为
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都是摸到白球的情况，再利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
任意摸一个球，摸到白球的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
画树状图得：
∴共有12种等可能的结果，两次都是摸到白球的有2种情况，
∴两次都是摸到白球的概率为：．
【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，概率=所求情况数与总情况数之比．
20. 某水果批发商场经销一种高档水果．如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价0.5元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【答案】5元
【解析】
【分析】设每千克应涨价x元，根据每千克涨价0.5元，日销售量将减少10千克，每天盈利6000元，列出方程，求解即可．
【详解】解：设每千克应涨价x元，由题意列方程得：
（10+x）（500-）=6000，
解得x1=5，x2=10．
要使顾客得到实惠，应取x=5．
答：每千克应涨价5元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
21. 已知一次函数与反比例函数的图像交于、．
（1）求反比例函数的表达式和的值；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）的面积为
【答案】（1），；
（2）或；
（3）8．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）观察函数图像，结合两个图像的交点坐标即可求解；
（3）设直线交y轴于C，则，根据求解即可．
【小问1详解】
解：反比例函数的图像经过点，
，即反比例函数的表达式为；
点反比例函数图像上，
；
【小问2详解】
解：，，
不等式的解集为或；
【小问3详解】
解：把，，的坐标代入，
则，解得，
一次函数的解析式为，
如图，设直线交轴于，则，
，
故答案为：8．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数表达式，一次函数图像上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答即可．
22. 如图，某中学一幢教学楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌，米，王老师用测倾器在点测得点的仰角为，再向教学楼前进9米到达点，测得点的仰角为，若测倾器的高度米，不考虑其它因素，求教学楼的高度．（结果保留根号）
【答案】教学楼DF的高度为.
【解析】
【分析】延长AB交CF于E，先证明四边形AMFE是矩形，求出EF=AM=3，再设DE=x米，利用Rt△BCE得到AE=x+12，再根据Rt△ADE得到，即可得到x的值，由此根据DF=DE+EF求出结果.
【详解】如图，延长AB交CF于E，
由题意知：∠DAE=30，∠CBE=45，AB=9米，四边形ABNM是矩形，
∵四边形ABNM是矩形，
∴AB∥MN,
∵CF⊥MN,
∴∠AEC=∠MFC=90，
∵∠AMF=∠MFC=∠AEF=90，
∴四边形AMFE是矩形，
∴EF=AM=3，
设DE=x米，
在Rt△BCE中, ∠CBE=45，∴BE=CE=x+3，
∵AB=9，
∴AE=x+12，
在Rt△ADE中，∠DAE=30，∴,
∴，
解得： ，
∴DF=DE+EF=(米).
【点睛】此题考查利用三角函数解决实际问题，解题中注意线段之间的关系，设未知数很主要，通常是设所求的量，利用图中所给的直角三角形，表示出两条边的长度，根据度数即可列得三角函数关系式，由此解决问题.
23. 如图，将纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．
（1）将纸片按图方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段________，________；________．
（2）纸片还可以按图的方式折叠成一个叠合矩形，若，求的长．
（3）如图，四边形纸片满足，，，，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出的长．
【答案】（1），；
（2）；
（3），．
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质可得出结论；
（2）利用勾股定理求得，证明，据此即可求解；
（3）分别作边的中点E、F，将四边形沿直线折叠，使点A与B重合，点D落在处，将沿折叠，点C落在点处．则四边形是正方形．利用勾股定理和相似三角形的判定和性质即可求解．
【小问1详解】
解：将纸片按图的方式折叠成一个叠合矩形，
则操作形成的折痕分别是线段，；
由折叠知，，
．
故答案为：，；；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∵中，
∴，，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由折叠的性质知，，，
∴；
【小问3详解】
解：如图，分别作边的中点E、F，将四边形沿直线折叠，使点A与B重合，点D落在处，将沿折叠，点C落在点处．则四边形是正方形．
连接．
由翻折的性质可知：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
当时，则四边形是正方形．
∴，，，，
∴，
∵，且，
∴，
∴，，
∴，．