陕西省西安市西咸新区秦汉中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份陕西省西安市西咸新区秦汉中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题纸上等内容，欢迎下载使用。
说明：
1．本卷共24道题，满分120分，考试时长120分钟；
2．请将答案正确填写在答题纸上。
第一部分(选择题 共 24分)
一． 选择题(共8小题，每小题3分，共24分)
1. 下列函数中， 是二次函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的识别，一般地，形如（其中a、b、c为常数且）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、，未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意；
B、，未知数最高次不是2，不是二次函数，不符合题意；
C、，二次函数，符合题意；
D、，未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意；
故选C．
2. 在中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数求出，利用勾股定理求出，再根据公式求出答案．
【详解】解：∵在中，，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形函数的应用，勾股定理，熟记角的三角函数值的计算公式是解题的关键．
3. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可得出答案．
【详解】由抛物线向右平移2个单位，得：；再向上平移2个单位，得：，所以A、C、D错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，熟练掌握平移方法是解题的关键．
4. 已知0≤x≤，那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是（ ）
A. ﹣10.5B. 2C. ﹣2.5D. ﹣6
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x﹣2）2+2．
∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大．
又∵0≤x≤，
∴当x=时，y取最大值，y最大=﹣2（﹣2）2+2=﹣2.5．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的最值．
5. 若点都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】解：∵，点A，B同象限，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
又∵都在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质，熟记概念是关键．
6. 如图，在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象，逐项判断 符号，即可求解．
【详解】解：A、由二次函数图象，可得 ，一次函数图象，可得 ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；
B、由二次函数图象，可得 ，一次函数图象，可得 ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；
C、由二次函数图象，可得 ，一次函数图象，可得 ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；
D、由二次函数图象，可得 ，，一次函数图象，可得 ，，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，根据函数图象，得到 符号是解题的关键．
7. 若图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分面积为2的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．
【详解】A．阴影面积，故A选项不符合题意；
B．阴影面积，故B选项符合题意；
C．阴影面积，故C选项不符合题意；
D．阴影面积，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积．
8. 如图，抛物线的对称轴是直线． 且过点，有下列结论：①；②；③；④；⑤；其中所有正确的结论是（ ）
A. ①②④B. ②③④C. ①③④D. ①③⑤
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题．
【详解】解：由抛物线的开口向下可得：，
根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：同号，所以，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：，
∴，故①正确；
直线是抛物线的对称轴，所以，可得，
∵，
∴，
∴，
即，故②错误；
∵抛物线的对称轴是直线．且过点，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
当时，，即，
整理得：，故③正确；
∵，
∴，
即，故④错误；
∵时，函数值最大，
∴
∴，所以⑤正确；
故选：D．
二． 填空题(共5小题)
9. 已知函数是反比例函数，则______．
【答案】．
【解析】
【分析】根据反比例函数定义，得到相关参数取值即可．
【详解】解：∵是反比例函数，
∴
解得：
的值为．
故答案为：．
【点睛】本意主要考查反比例函数定义，掌握反比例函数解析式中相关参数的取值是解题关键．
10. 如果三点，和在抛物线的图象上，那，，之间的大小关系是______ ．
【答案】##
【解析】
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴是直线，
当时，随增大而减小，关于称轴是直线的对称点是，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
11. 如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是___________．

【答案】
【解析】
【分析】根据坡比，由（米）、（米），由勾股定理即可解答．
【详解】解：∵坡比，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度，掌握坡度的定义是解答本题的关键．
12. 抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是______．
【答案】（3，5）
【解析】
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为（1，2），
∵将抛物线y=（x-1）2+2再向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，5）．
故答案为：（3，5）．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
13. 我们把函数的图象记为，若直线与图象有且只有三个公共点，则的取值是_______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质；画出分段函数的图象，结合图象找到直线与该图象有三个交点的两端情况：直线经过点(0,-3)时；直线y=x+b与部分只有一个交点时．
【详解】解：根据函数解析式分别画出函数图象，如图所示：
当直线经过点(0,-3)时，此时函数与直线y=x+b恰有三个交点，
∴b=-3，
当直线y=x+b与部分只有一个交点时，
∴，
∴；
∴或时两图象有三个交点；
故答案为或-3．
二． 解答题(共11 小题，共81分)
14. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；
（1）利用特殊锐角的三角函数值及二次根式的运算法则计算即可；
（2）利用特殊锐角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
15. 已知函数是关于x的二次函数．
（1）求m的值；
（2）当m为何值时，该函数图象的开口向下？
（3）当m为何值时，该函数有最小值？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题．
（1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题．
（2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下；
（3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值．
【小问1详解】
解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，，
解得：；
【小问2详解】
解：∵函数图象的开口向下，
，
，
∴当时，该函数图象的开口向下；
【小问3详解】
解：∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值，
，
∵或1，
∴当时，该函数有最小值．
16. 如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】见解析
【解析】
【分析】作的平分线交于点，再作线段的垂直平分线交于，则点即可求解．
【详解】如图所示：点即为所求．
【点睛】本题考查的是作图一复杂作图，熟知角平分线和线段的垂直平分线的作法是解答此题的关键．
17. 已知二次函数的图象经过，．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）求该函数图象的顶点坐标；
（3）画出该函数图象；
（4）结合图象，直接写出当时，y的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）图见解析 （4）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、顶点式、画二次函数图象、数形结合求解范围问题；
（1）把点、的坐标代入得到关于、的方程组，然后解方程组即可；
（2）根据即可求解；
（3）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标和顶点坐标，然后利用描点法画出二次函数的图象；
（4）由于当，；，，由于时，有最小值，从而可确定当时，的取值范围．
【小问1详解】
解：把，分别代入得，
解得，
此二次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：，
故该函数图象的顶点坐标为：；
【小问3详解】
解：当时，，则抛物线与轴的交点坐标为，
当时，，解得，，则抛物线与轴的交点坐标为，，
，
抛物线的顶点坐标为，
如图，
【小问4详解】
解：当时，；时，，
而时，有最小值，
所以当时，的取值范围为．
18. 如图， 在中，，点D在边上，若，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点D作于E，先解得到，则可设，利用勾股定理求出，进而求出，再解得到，进而求出，最后解，得到，即．
【详解】解：如图所示，过点D作于E，
∴，
∵在中，，
∴，
∴可设，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，即．
19. 已知抛物线L：过点和，与x轴的交点为A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）抛物线与L关于原点对称，求出的表达式；
（3）点P在抛物线上，，的是A，B的对称点，若与的面积相等，求点P的坐标．
【答案】（1）；
（2）；
（3）点P的坐标为或或或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据对称性即可求出的表达式，；
（3）在中求出点A，B，C的坐标，得到的面积，再利用对称性求出，的坐标，设，根据面积关系列出方程，解之即可．
【小问1详解】
解：∵过点和，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：∵，与关于原点对称，
∴；
【小问3详解】
解：设，
在中，令，则，
即，
令，则，
解得：或，
即，，
则，，
则，
∴，
解得：或或或，
所以点P的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的图形变换，求二次函数表达式，三角形的面积，解一元二次方程，解题的关键是求出函数表达式，得到相应点的坐标，根据图形变换得到对应点的坐标．
20. 某景区、两个景点位于湖泊两侧，游客从景点到景点必须经过处才能到达．观测得景点在景点的北偏东30°，从景点出发向正北方向步行到达处，测得景点在的北偏东75°方向，当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点到景点的笔直的跨湖大桥，求跨湖大桥的长度．（结果保留根号）

【答案】．
【解析】
【分析】过点作于点，根据三角函数分别求出、，再根据等腰三角形的性质求出，即可求解．
【详解】如图，过点作于点，由题意可得，，，
在中，，，
，，
，
，
，
，
答：跨湖大桥的长度为米．
【点睛】此题主要考查三角函数的实际应用，解题的关键是熟知正弦与余弦的定义，结合等腰三角形的性质进行求解．
21. 已知，当时，函数的最小值为，求的值．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数最值，求得对称轴，然后分三种情况讨论即可求得．
【详解】解：∵二次函数，
∴对称轴为直线，
当时，取得最小值为，
①当时，即时，
时，最小值是，
，
或舍去，
②当时，
当时，最小值取，
，
或 舍去，
综上所述，或．
22. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，且．

（1）求直线的表达式；
（2）求该二次函数的解析式，并写出函数值随的增大而减小时的取值范围；
（3）点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标为．当的面积取最大值时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，
（1）先求出点、点的坐标，再用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）先求出点的坐标，再根据待定系数法即可求出二次函数的解析式，将二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到函数值随的增大而减小时的取值范围；
（3）过点作轴交于点，点的横坐标为，，则，，从而表示出，根据二次函数的性质即可得到答案．
熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
【小问1详解】
解：令，则，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
将，代入，
，解得，
，
，，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
函数值随的增大而减小时的取值范围为；
【小问3详解】
解：过点作轴交于点，

点的横坐标为，
，则，
，
由（1）得，，
，
，
当时，的面积有最大值，此时．
23. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，顶点为D，其中，．直线经过B，C两点．

（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上找一点M，使最小，直接写出点M的坐标；
（3）连接，求的面积．
【答案】（1），
（2）
（3）3
【解析】
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、最短路径问题、三角形的面积．
（1）根据抛物线与x轴交于，与y轴交于C点，可以求得该抛物线的解析式，然后即可求得点B的坐标，再根据点B和点C的坐标，即可求得直线的解析式；
（2）根据两点之间线段最短和二次函数图象具有对称性，可以找到点M所在的位置，然后求出点M的坐标即可；
（3）根据点D和点M的坐标，可以求得的长，再根据三角形的面积公式，即可求得的面积．
【小问1详解】
将点，代入，
得
解这个方程组，得
抛物线的解析式为.
当时，，
解得，
∴点B的坐标为，
∵直线经过B，C两点，
∴，
解得，
∴直线解析式为；
【小问2详解】
∵点A和点B关于对称轴对称，
∴当点M是直线和对称轴的交点时，取得最小值，

∵抛物线，
∴点D的坐标为，对称轴为直线，
将代入直线，得：，
∴点M的坐标为；
【小问3详解】
∵点，点，
∴，
∵点，
∴，
∴．
24. 我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为倒数的点为“倒数点”.
（1）若点是“倒数点”，则_______；
（2）若一次函数图象上有两个“倒数点、，若的面积为，求的值；
（3）如图，已知顶点为的二次函数与轴交于、两点，且，交轴于点，过、两点的直线交轴于点，满足；
①求的值；
②若点是倒数点，且当时，的最小值为，求二次函数的解析式.
【答案】（1）4 （2）或
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）根据新定义解方程即可求解；
（2）根据倒数点的定义可知倒数点在上，联立得出，根据的面积为，设一次函数与轴的交点为，则，则，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解；
（3）①由题可知，，根据，，证明，得出，代入得；
②依题意，，由①知，又的最小值为0，则，解得，，，即可求解．
【小问1详解】
解：∵是“倒数点”
∴且
解得；，
故答案为：4．
【小问2详解】
联立，得.
，，
的面积为，设一次函数与轴的交点为，则
则
解得：或
【小问3详解】
①由题可知，，
直线的解析式为，
，，
，
，
其中，，代入得；
②设，其中，由①知，
当时，的最小值为0，
，结合三式及，
可得：，，，
故解析式为（或）
x
…
…
y
…
…