中考数学二轮培优训练 专题06 二次函数与等腰三角形有关问题（专项训练）（2份，原卷版+解析版）

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1．（2022•榆阳区一模）如图，已知抛物线y＝mx2+4x+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．直线y＝x﹣3经过B，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的顶点为M，在该抛物线的对称轴l上是否存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）y＝x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
令y＝0，则x＝3，
∴B（3，0），
将C（0，﹣3），B（3，0）代入y＝mx2+4x+n中，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴M（2，1），对称轴为直线x＝2，
设P（2，t），
∴MP＝|t﹣1|，MC＝2，CP＝，
①当MP＝MC时，|t﹣1|＝2，
∴t＝2+1或t＝﹣2+1，
∴P（2，2+1）或（2，﹣2+1）；
②当MP＝CP时，|t﹣1|＝，
解得t＝﹣，
∴P（2，﹣）；
③当MC＝CP时，2＝，
解得t＝1（舍）或t＝﹣7，
∴P（2，7）；
综上所述：P点坐标为（2，2+1）或（2，﹣2+1）或（2，﹣）或（2，7）．
2．（2022•岚山区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一个动点，且点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，将直线BC沿y轴向下平移5个单位，交x轴于点M，交y轴于点N．过点P作x轴的垂线，交直线MN于点D，是否存在一点P，使△BMD是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的m的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8与x轴交于A（﹣3，0），B（8，0）两点，
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8；
（3）易证线BC的解析式为y＝﹣x+8，向下平移5个单位得到y＝﹣x+3，
当y＝0时，x＝3，
∴M（3，0），
当x＝0时，y＝3，
∴N（0，3），
由题意得PD⊥MB，
∵MB＝8﹣3＝5，D（m，﹣m+3），
∴MD2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，BD2＝（8﹣m）2+（﹣m+3）2，
若△BMD是等腰三角形，可分三种情况：
①当MB＝MD时，
∴（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝25，
解得m1＝3+，m2＝3﹣，
②当MB＝BD时，
∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝25，
解得，m1＝3（舍去），m2＝8（舍去），
③当MD+BD时，
∴（8﹣m）2+（﹣m+3）2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2，
解得，m＝5.5．
综上所述，m的值为3+或3﹣或5.5时，△BMD是等腰三角形．
3．（2022•兴宁区校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A、B，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）对于直线y＝﹣x+3，
令y＝0，即﹣x+3＝0，
解得：x＝3，
令x＝0，得y＝3，
∴B（3，0），C（0，3），
∵A为x轴负半轴上一点，且OA＝OB，
∴A（﹣1，0）．
将点A、B的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c中，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（3）存在．如图2，
∵点P在x轴上，
∴设P（m，0）．
∵C（0，3），D（1，0），
∴由勾股定理，得：CD2＝OC2+OD2＝32+12＝10，PD2＝（m﹣1）2，CP2＝OP2+OC2＝m2+32＝m2+9，
分为三种情况讨论：
①当CD＝PD时，CD2＝PD2，
即10＝（m﹣1）2，
解得m1＝1+，m2＝1﹣，
此时点P的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）；
②当CD＝CP时，CD2＝CP2，即10＝m2+9，
解得m1＝﹣1，m2＝1（不符合题意，舍去），
此时点P的坐标为（﹣1，0）；
③当PC＝PD时，PC2＝PD2，
即m2+9＝（m﹣1）2，
解得m＝﹣4，
此时点P的坐标为（﹣4，0）．
综上所述，在x轴上存在点P，使得△PDC为等腰三角形，满足条件的点P的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）或（﹣1，0）或（﹣4，0）．
4．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠BOF＝∠BDF；
（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．
【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，
把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入
得：，解得，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）证明：∵正方形OBDC，
∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，
∵BF＝BF，
∴△BOF≌△BDF，
∴∠BOF＝∠BDF；
（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，
∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，
∴E（2，3），
①如图，
当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，
∴∠FDM为钝角，
∵△MDF为等腰三角形，
∴DF＝DM，
∴∠M＝∠DFM，
∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，
∵BM∥OC，
∴∠M＝∠MOC，
由（2）得∠BOF＝∠BDF，
∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，
∴∠M＝30°，
在Rt△BOM中，
BM＝，
∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；
②如图，
当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，
∵△MDF为等腰三角形，
∴MF＝DM，
∴∠BDF＝∠MFD，
∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，
由（2）得∠BOF＝∠BDF，
∴∠BMO＝2∠BOM，
∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，
∴∠BOM＝30°，
在Rt△BOM中，
BM＝，
∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，
综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．
5．（2022•山西）综合与探究
如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．
（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；
（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，
令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），
设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：
8k+4＝0，
解得k＝﹣，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；
（2）过C作CG⊥PD于G，如图：
设P（m，﹣m2+m+4），
∴PD＝﹣m2+m+4，
∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，
∴四边形CODG是矩形，
∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，
∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，
∵CP＝CE，CG⊥PD，
∴GE＝PG＝﹣m2+m，
∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，
∴△CGE∽△BOC，
∴＝，即＝，
解得m＝0（舍去）或m＝4，
∴P（4，6）；
6．（2021•攀枝花）如图，开口向上的抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且AC⊥BC，其中x1，x2是方程x2+3x﹣4＝0的两个根．
（1）求点C的坐标，并求出抛物线的表达式；
（2）垂直于线段BC的直线l交x轴于点D，交线段BC于点E，连接CD，求△CDE的面积的最大值及此时点D的坐标；
（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PDE是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由x2+3x﹣4＝0得x1＝﹣4，x2＝1，
∴A（﹣4，0），B（1，0），
∴OA＝4，OB＝1，
∵AC⊥BC，
∴∠ACO＝90°﹣∠BCO＝∠OBC，
∵∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴＝，即＝，
∴OC＝2，
∴C（0，﹣2），
设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），
将C（0，﹣2）代入得﹣2＝﹣4a，
∴a＝，
∴抛物线解析式为y＝（x+4）（x﹣1）＝x2+x﹣2；
（2）如图：
由A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2）得：AB＝5，BC＝，AC＝2，
∵DE⊥BC，AC⊥BC，
∴DE∥AC，
∴△ABC∽△DBE，
∴＝＝，
设D（t，0），则BD＝1﹣t，
∴＝＝，
∴DE＝（1﹣t），BE＝（1﹣t），
∴S△BDE＝DE•BE＝（1﹣t）2，
而S△BDC＝BD•OC＝（1﹣t）×2＝1﹣t，
∴S△CDE＝S△BDC﹣S△BDE＝1﹣t﹣（1﹣t）2＝﹣t2﹣t+＝﹣（t+）2+，
∵﹣＜0，
∴t＝﹣时，S△CDE最大为，
此时D（﹣，0）；
（3）存在，
由y＝x2+x﹣2知抛物线对称轴为直线x＝﹣，
而D（﹣，0），
∴D在对称轴上，
由（2）得DE＝×[1﹣（﹣）]＝，
当DE＝DP时，如图：
∴DP＝，
∴P（﹣，）或（﹣，﹣），
当DE＝PE时，过E作EH⊥x轴于H，如图：
∵∠HDE＝∠EDB，∠DHE＝∠BED＝90°，
∴△DHE∽△DEB，
∴＝＝，即＝＝，
∴HE＝1，DH＝2，
∴E（，﹣1），
∵E在DP的垂直平分线上，
∴P（﹣，﹣2），
当PD＝PE时，如图：
设P（﹣，m），
则m2＝（﹣﹣）2+（m+1）2，
解得m＝﹣，
∴P（﹣，﹣），
综上所述，P的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）或（﹣，﹣2）或（﹣，﹣）．
7．（2021•宿迁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（4，0）是抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点，且二次项系数a＝，
∴根据抛物线的两点式知，y＝．
（2）设PH与x轴的交点为Q1，P（a，），
则H（a，），PH＝，
若FP＝FH，则∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ1＝∠BCO，
∴tan∠APQ1＝tan∠BCO＝2，
∴AQ1＝2PQ1，
即a+1＝2（），
解得a＝3（﹣1舍去），此时PH＝．
若PF＝PH，过点F作FM⊥y轴于点M，
∴∠PFH＝∠PHF，
∵∠CFA＝∠PFH，∠Q1HB＝∠PHF，
∴∠CFA＝∠Q1HB，
又∵∠ACF＝∠BQ1H＝90°，
∴△ACF∽△BQ1H，
∴CF＝AC＝，
在Rt△CMF中，MF＝1，CM＝，
F（1，），
∴AF：，
将上式和抛物线解析式联立并解得x＝（﹣1舍去），
此时 PH＝．
若HF＝HP，过点C作CE∥AB交AP于点E（见上图），
∵∠CAF+∠CFA＝90°，
∠PAQ+∠HPF＝90°，
∠CFA＝∠HFP＝∠HPF，
∴∠CAF＝∠PAQ1，
即 AP平分∠CAB，
∴CE＝CA＝，
∴E（，2），
∴AE：，
联立抛物线解析式，解得x＝5﹣（﹣1舍去）．
此时 PH＝．
∴当FP＝FH时，PH＝；
当PF＝PH时，PH＝；
当HF＝HP时，PH＝；
8．（2020•济南）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标；
（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，故点C（0，3）；
（2）当m＝1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a），
由点A、C、D的坐标得，AC＝＝，同理可得：AD＝，CD＝，
①当CD＝AD时，即＝，解得a＝1；
②当AC＝AD时，同理可得a＝（舍去负值）；
故点D的坐标为（1，1）或（1，）；
9．（2020•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．
（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；
（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；
【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），
∴2＝a（0+6）（0﹣2），
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+6）（x﹣2）＝﹣（x+2）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2；
针对于抛物线的解析式为y＝﹣（x+6）（x﹣2），
令y＝0，则﹣（x+6）（x﹣2）＝0，
∴x＝2或x＝﹣6，
∴A（﹣6，0）；
（2）如图1，由（1）知，抛物线的对称轴为x＝﹣2，
∴E（﹣2，0），
∵C（0，2），
∴OC＝OE＝2，
∴CE＝OC＝2，∠CED＝45°，
∵△CME是等腰三角形，
∴①当ME＝MC时，
∴∠ECM＝∠CED＝45°，
∴∠CME＝90°，
∴M（﹣2，2），
②当CE＝CM时，
∴MM1＝CM＝2，
∴EM1＝4，
∴M1（﹣2，4），
③当EM＝CE时，
∴EM2＝EM3＝2，
∴M2（﹣2，﹣2），M3（﹣2，2），
即满足条件的点M的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，4）或（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）；
10．（2020•枣庄）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）存在，理由：
点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），则AC＝5，
①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，连接AQ，
则CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，
解得：m＝±（舍去负值），
故点Q（，）；
②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，
在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或0（舍去0），
故点Q（1，3）；
③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：m＝（舍去）；
综上，点Q的坐标为（1，3）或（，）．
11．（2019•本溪）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣5）＝﹣x2+x+；
（32）由（2）确定的点F的坐标得：
CP2＝（2﹣m）2，CF2＝（）2+4，PF2＝（）2+m2，
①当CP＝CF时，即：（2﹣m）2＝（）2+4，解得：m＝0或（0舍去），
②当CP＝PF时，同理可得：m＝，
③当CF＝PF时，同理可得：m＝±2（舍去2），
故点P（2，）或（2，﹣2）或（2，）或（2，）