江西省抚州市金溪县第一中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（原卷版）-A4

这是一份江西省抚州市金溪县第一中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（原卷版）-A4，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列是关于x一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在中，对角线，相交于点，只需添加一个条件，即可证明是矩形，这个条件可以是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，菱形的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为（ ）．
A. 2B. C. 6D.
4. 如图，在矩形中，O是对角线的交点，于点E，若，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
5. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若， ，则菱形的面积为（ ）

A 12B. 18C. 6D. 2
6. 已知一元二次方程和它的两个实数根为，下列说法：
①若a，c异号，则方程一定有实数根；
②若，则方程一定有两异实根；
③若，则方程一定有两实数根；
④若，由根与系数的关系可得
其中正确的结论是：（ ）
A. ①③B. ①②③C. ②③④D. ②③
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
7. 若关于x的一元二次方程的一个根是1，则c的值是______．
8. 学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为米，则可列方程为 _____．
9. 已知一元二次方程的一个根为，则另一个根的值为________．
10. 若α 、β是方程的两个实数根，则的值为____________．
11. 如图，点分别在直线和上，点是轴上两点，已知四边形是正方形，则值为______．
12. 如图，点在正方形的对角线上，，若点在正方形的边上，且，则的度数为______ ．

三、（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）
13. 解下列方程：
（1）；
（2）．
14. 已知关于x 一元二次方程的两个实数根是， ．若 ，求k的值．
15. 如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，已知点D的坐标为，求点E的坐标．
16. 图，已知正方形ABCD和等边三角形CDE．请你只用无刻度的直尺作图：
（1）在图1中作∠E的角平分线：
（2）在图2中作∠ADE的角平分线．
17. 如图，四边形、均为正方形，其中正方形面积为，若图中阴影部分面积为，求正方形面积．
四、（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）
18. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在D′处．
（1）求证：AF＝CF
（2）求AF的长度．
19. 已知关于x 的方程有两个实数根，．
（1）若，是矩形两条对角线的长，求a 的值；
（2）当时，，是菱形的两条对角线的长，求菱形的周长．
20. 某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为元时，每星期卖出个．如果调整销售单价，每涨价元，每星期少卖出个，现网店决定提价销售，设销售单价为元，每星期销售量为个．
（1）请直接写出（个）与（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是元？
五、（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）
21. 已知关于的方程．
（1）圆圆说：该方程一定为一元二次方程．圆圆的结论正确吗？请说明理由．
（2）当时；
①若该方程有实数解，求的取值范围；
②若该方程的两个实数解分别为和，满足，求的值．
22. 定义：我们把关于x 的一元二次方程与（，）称为一 对“友好方程 ”．如 的“友好方程 ”是 ．
（1）写出一元二次方程的“友好方程 ” ；
（2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程 ”的两根 ， ．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程 ” 的两根，之间存在的一种特殊关系为 ；
（3）已知关于x 的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于x 的方程的两根．
六、（本大题共 12 分）
23. 如图，已知一次函数的图象分别交轴、轴于、两点，点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒2个单位长度向点匀速运动，过点Q作轴，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为秒，连接、．
（1）点A的坐标为____，点B的坐标为_____， ____；
（2）四边形能成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；若不能，则说明理由．
（3）若点，点N在x轴上，直线上是否存在点M ，使以M 、N 、B 、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．