江西省南昌市第二十八中学高新实验学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江西省南昌市第二十八中学高新实验学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）
1. 下列方程为一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
【详解】当时，方程不是一元二次方程，所以A不符合题意；
因为不是整式方程，所以B不符合题意；
因为符合一元二次方程的定义，所以C符合题意；
因为不是一元方程，所以D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的判断，掌握定义是解题的关键．即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程．
2. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范同是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数中，当a>0时开口向下，当时开口向下 ，据此解答即可．
【详解】解： ∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∴，
故答案为：D．
3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
4. 某商品原价为289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平均增长率问题，设平均每次降价的百分率为，由原价为289元，经连续两次降价后售价为256元，列一元二次方程即可得到答案，读懂题意，掌握平均增长率问题的解法是解决问题的关键．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为，由题意可得，
故选：B．
5. 二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标是（﹣1，3），与x轴的交点是（2，0），则另一个交点为（ ）
A. （0，﹣3）B. （﹣3，0）C. （﹣4，0）D. （﹣2，0）
【答案】C
【解析】
【分析】根据顶点坐标可得抛物线的对称轴，再由抛物线的轴对称性即可求得答案.
【详解】∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标是(﹣1，3)，
∴抛物线的对称轴为x=-1，
∵抛物线与x轴的一个交点是(2，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点是(-4，0)，
故选C.
【点睛】本题考查了二次函数图象的轴对称性，熟练掌握抛物线与x轴的交点关于抛物线的对称轴对称是解题的关键.
6. 抛物线y=x2﹣2x﹣1上有点P（﹣1，y1）和Q（m，y2），若y1＞y2，则m的取值范围为（ ）
A. m＞﹣1B. m＜﹣1C. ﹣1＜m＜3D. ﹣1≤m＜3
【答案】C
【解析】
【分析】求出二次函数的对称轴，再比较P、Q两点的位置，即可得出正确答案．
【详解】：∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵函数对称轴为x=-=1，
∴当y1＞y2时，
①Q（m，y2）在对称轴右侧时，1≤m＜3；
②Q（m，y2）在对称轴右侧时，-1＜m＜1，
综上，m的取值范围为是-1＜m＜3，
故选C．
【点睛】考查了二次函数图象上点的坐标特征，要熟悉二次函数的性质及二次函数的图象．
二、填空题 （本大题共6小题，每小题3分，共计18分）
7. 当________时，是二次函数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义可得，，再求解即可．
【详解】解：由题意，得，，
解得，
即当时，二次函数，
故答案为：．
8. 将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则函数关系式是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：∵二次函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，
∴所得图象的函数表达式为，
故答案为：．
9. 已知a，b是关于x的方程的两根，则的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据一元二次方程的解得到，则，所以原式可化简为，然后利用根与系数的关系求解．
【详解】解：∵a是关于x的方程的根，
∴，
∴，即，
∴，
∵a与b是关于x的方程的两根，
∴，
∴原式．
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
10. 若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互为倒数，则k＝____．
【答案】-1
【解析】
【详解】x1x2= k2=1,k=.k=1时，
舍去.所以k=-1.
11. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
则当时，x的取值范围是_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据表格数据可知：利用二次函数的对称性判断出对称轴，在对称轴的左边y随着x的增大而减小，在对称轴的右边y随着x的增大而增大，进一步得出时，，然后写出时，x的取值范围即可．
【详解】解：由表格可知，和时的函数值相同，
∴对称轴为直线，
∵当时的函数值小于时的函数值，
∴二次函数开口向上，
∴在对称轴由此y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小，
∵时，，
∴时，，
∴当时，x的取值范围是，
故答案为：．
12. 二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为．其中正确的有__________（填序号）．

【答案】①③⑥
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是根据二次函数图象，确定字母系数的符号和相关式子；根据二次函数图象的性质，逐项判断即可．
【详解】解：由所给函数图象可知，
抛物线开口向下，，
因为抛物线的对称轴为直线，
所以，即，
∵抛物线与y轴交点在正半轴，
∴
所以．
故①正确．
因为抛物线与x轴有两个不同的交点，
所以．
故②错误．
由函数图象可知，
当时，函数值小于零，
则．
又因为抛物线的对称轴为直线，
所以，
即，
所以，
即．
故③正确．
因为抛物线与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
则．
又因为，
所以．
故④错误．
当点在抛物线对称轴的右侧时，
因为抛物线开口向下，
所以在对称轴右侧的部分，y随x的增大而减小，
即时，．
故⑤错误．
方程的根可看成函数的图象与直线的交点的横坐标，
因为抛物线经过点，
所以函数的图象与直线的一个交点的横坐标为．
又因为抛物线的对称轴为直线，
所以函数的图象与直线的另一个交点的横坐标为5，
所以关于x的一元二次方程的两根分别为．
故⑥正确．
故答案为：①③⑥．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共计30分）
13. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、因式分解法、配方法、直接开平方法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用因式分解法计算即可；
（2）利用因式分解法计算即可．
【小问1详解】
解：，
，
或，
，；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
或，
，．
14. 已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值．
【答案】，，
【解析】
【分析】由题意设出抛物线为，把代入即可求出；本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】解：由题意设抛物线为；
把代入，得：
解得：
∴
∴，，
15. 如图，利用函数的图象，解决下列问题：

（1）当随x的增大而减小时，x的取值范围是_______；
（2）当时，的取值范围是_______；
（3）当时，x的取值范围是_______．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握数形结合的数学思想是解题关键．
（1）根据图象求出对称轴即可求解；
（2）求出当时，的最大值和最小值即可求解；
（3）求出时的的值，即可求解．
【小问1详解】
解：由图象可得：
函数的对称轴为：直线
∵抛物线开口向上，
∴当时，随x的增大而减小；
故答案为：；
【小问2详解】
解：当时，；
当时，；
当时，；
∴当时，；
故答案为：；
【小问3详解】
解：由图象可知，当时，；
再由对称性可知，当时，；
∴当时，或．
故答案为：或．
16. 如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒．
（1）无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）．
（2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键．
（1）根据图形即可求解；
（2）求解方程即可．
【小问1详解】
由图示可知：无盖方盒盒底的长为，宽为
故答案：，
小问2详解】
由题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）
∴剪去的正方形边长为
17. 已知是方程的两个实数根，求：
（1）和的值，
（2）的值．
【答案】（1），
（2）8
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟悉此关系是解题的关键．
（1）由一元二次方程根与系数的关系即可求解；
（2）利用完全平方公式变形及根与系数的关系，整体代入即可求解．
【小问1详解】
解：∵是方程的两个实数根，
∴，；
【小问2详解】
解：
．
1
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共计24分）
18. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．

（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；
（2）不能，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）同（1）方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
【小问1详解】
解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
【小问2详解】
解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．
19. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
【答案】（1）见解析；（2）a=，x1=﹣
【解析】
【分析】（1）根据根的判别式即可求解；
（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根．
【详解】解：（1）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4>0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0
得1+a+a﹣2=0，
解得a=；
∴方程为x2+x﹣=0，
即2x2+x﹣3=0，
设另一根为x1，则1×x1==﹣，
∴另一根x1=﹣．
【点睛】此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系．
20. 如图，已知抛物线过点与，与轴交于点．点在抛物线上，且与点关于对称轴对称．
（1）求该抛物线的函数关系式和对称轴；
（2）求的面积．
【答案】（1）函数表达式为，抛物线的对称轴为
（2）
【解析】
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的对称轴，熟练掌握待定系数法和二次函数对称轴的求解是解答本题的关键．
（1）将，代入，即可求得二次函数的解析式，再利用即可求出对称轴；
（2）由抛物线的轴对称性，先求出点的坐标，再求得三角形的底边和高，即可求出面积．
【小问1详解】
抛物线过点，，
将，代入，得，
解得，
则该抛物线的函数表达式为，
，
即抛物线的对称轴为；
【小问2详解】
点与点关于对称轴对称，点，
点的坐标为，
，且轴．
．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共计18分）
21. 伴随经济发展和生活水平的日益提高，水果超市如雨后春笋般兴起．万松园一水果超市从外地购进一批水果，其进货成本是每吨0.4万元，根据预测，此批水果一段时间内的销量y（吨）（纵坐标）与每吨的销售价x万元（横坐标）之间的函数关系如图所示．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系．
（2）如果销售利润为W万元，当每吨销售价是多少万元时，销售利润最大？最大利润是多少？
（3）若超市共花费4万元购进此批水果，按照第（2）问的售价销售一半水果后用时8天，因水果开始变质及为售卖其他新品种水果决定在后4天内将此水果全部售完，请问超市是盈利还是亏损？金额多少？
【答案】（1）
（2）每吨销售价为1.5万元时，销售利润最大，最大利润是1.21万元
（3）盈利了，金额10.25万元
【解析】
【分析】（1）由图可知，销售量与每吨销售价之间成一次函数，并经过点和点，使用待定系数法列出方程组求解．
（2）由（1）知销售量，而每吨的利润为，所以，进而使用配方法求出最值；
（3）把已知中的“一段时间内”理解为每天，先计算花费4万元购进此批水果的数量，先求出前8天的盈利，再求出后4天每天需要销售的水果数，代入（1）问中的函数求出售价，再计算利润，最后相加可得结论．
此题主要考查了二次函数的应用以及利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从坐标系中提取信息的能力，是一道综合性较强的代数应用题，有一定的能力要求．
【小问1详解】
解：设销售量与每吨销售价的函数关系式为：
把点和点分别代入
由题意得：，
解得：，
则与的函数关系式为：；
【小问2详解】
解：
，
当时，，
每吨销售价为1.5万元时，销售利润最大，最大利润1.21万元；
【小问3详解】
解：依题意，（吨），
由题意可知：5吨售8天，
∵按照第（2）问的售价销售一半水果后用时8天
获利：，
在后4天内售完5吨，则每天售出：（吨），
，
，
获利：，
则（万元），
答：超市是盈利了，金额10.25万元．
22. 如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：
（1）①______，______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
（2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系．
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
【答案】（1）①3，6；②；
（2）①8，②
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据，
（1）①由抛物线的顶点坐标为可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点A的坐标；
（2）①根据第一问可知最大高度为8米；
②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值．
【小问1详解】
解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为，
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为，
当时，，
解得：或（舍去），
∴，
当时，，
故答案为：3，6．
②联立得：，
解得：或 ，
∴点A的坐标是，
【小问2详解】
①由题干可知小球飞行最大高度为8米，
故答案为：8；
②，
则，
解得（负值舍去）．
六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共计12分）
23. 如图，抛物线y=ax2+2x﹣3a经过A（1，0）、B（b，0）、C（0，c）三点．
（1）求b，c的值；
（2）在抛物对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）b=﹣3；（2）P（﹣1，﹣2）；（3）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形．符合条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3），（﹣1+，3）或（﹣1﹣，3）．
【解析】
【分析】（1）先把A（1，0）代入抛物线y=ax2+2x﹣3a，求出a的值，然后再分别把B（b，0）、C（0，c）的值代入即可求出b，c的值；
（2）根据轴对称的性质找出点P的位置，然后求出直线BC的解析式和对称轴方程，二者联立可求出点P的坐标；
（3）分当点N在x轴下方时和当点N在x轴上方时两种情况求解即可.
【详解】解：（1）把A（1，0）代入抛物线y=ax2+2x﹣3a，
可得：a+2﹣3a=0
解得a=1．
∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3；
把B（b，0），C（0，c）代入y=x2+2x﹣3，
可得：b=1或b=﹣3，c=﹣3，
∵A（1，0），
∴b=﹣3；
（2）∵抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3，
∴其对称轴为直线x=﹣=﹣1，
连接BC，如图1所示，

∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y=﹣x﹣3，
当x=﹣1时，y=1﹣3=﹣2，
∴P（﹣1，﹣2）；
（3）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形．
如图2所示，

①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，C（0，﹣3），
∴N1（﹣2，﹣3）；
②当点N在x轴上方时，
如图2，过点N'作N'D⊥x轴于点D，
在△AN'D与△M'CO中，
∴△AN'D≌△M'CO（AAS），
∴N'D=OC=3，即N'点的纵坐标为 3．
∴3=x2+2x﹣3，
解得x=﹣1+或x=﹣1﹣，
∴N'（﹣1+，3），N“（﹣1﹣，3）．
综上所述，符合条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3），（﹣1+，3）或（﹣1﹣，3）．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质及分类讨论的数学思想.熟练掌握待定系数法和分论讨论的数学思想是解答本题的关键.
2
x
…
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
x
0
1
2
m
4
5
6
7
…
y
0
6
8
n
…