上海市市西初级中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题（解析版）-A4

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（满分150分，时间100分钟）
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 在中，点、分别在线段、上，下列比例式中不能判断的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握两组对边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．
【详解】解：A. ∵，，
∴，
∴，
∴，故A不符合题意；
B.∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，故B不符合题意；
C.∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，故C不符合题意；
D. 不等得到，故D符合题意；
故选D．
2. 如图，梯形中，，，交于，下列等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形判定和性质、三角形的面积公式，关键在于求出，推出相似比逐一判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，，，
正确选项为C，
故答案为：C
3. 已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：A.
，
∵是线段，
，
，
故A选项正确；
B.若满足此时
，
，
，故B选项错误；
C.已知线段m，且 所以 当分子分母同时加上一个正数，分数变大，即 故C选项错误；
D.若满足
此时，故D选项错误.
故选: A.
4. 已知线段、、，求作线段，下列作图中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查成比例线段的相关知识，熟练掌握平行线分线段成比例的定理是解题的关键．
【详解】解：A.由作图可得，则，不符合题意；
B.作图错误，不符合题意；
C.由作图可得，则，符合题意；
D.由作图可得，则，不符合题意；
故选：C．
5. 下列语句叙述正确的是（ ）
A. 有一个角是的等腰三角形都相似B. 有一个角是的直角三角形都相似
C. 有一个角是的锐角三角形都相似D. 有一个角是的钝角三角形都相似
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理进行判断．可以通过举反例来证明．
本题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握举反例的解题方法，注意掌握有两角对应相等的三角形相似定理的应用．
【详解】A、有一个角是的等腰三角形不一定相似，如、、的等腰三角形和、、的等腰三角形不相似，故本选项错误；
B、有一个角是的直角三角形都相似，正确；
C、有一个角是的锐角三角形不一定相似，如 、、的锐角三角形和、、的锐角三角形不相似，故本选项错误；
D、有一个角是的钝角三角形不一定相似，如 、、的钝角三角形和、、的钝角三角形不相似，故本选项错误；
故选：B．
6. 如图，，，则下列式子中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答．
【详解】
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 已知线段，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查比例线段，先统一单位然后求比值即可．
【详解】解：，
∴，
故答案为：．
8. 线段是线段、的比例中项，且，，则长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例中项概念，根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积，列出方程是解决问题的关键．
【详解】解：∵线段是线段、的比例中项，
∴，
∴，
故答案为：．
9. 某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某同学的身高是1.5米，影长是1米，且旗杆的影长为8米，则旗杆的高度是 _________________ 米.
【答案】12．
【解析】
【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．
【详解】解：设旗杆高度为x，则
，
解得x=12．
故答案为12．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解题关键．
10. 如图，，，，当________时，．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行线截线段对应成比例，根据平行线截线段对应成比例求解即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，即，
解得：，
∴，
故答案为：．
11. 如图，，，，则________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算．
详解】解：∵，
∴，即，
解得：，
∴，
故答案为：10．
12. 中，点、在、上，，，若，则________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据题意得到，根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质定理得到答案．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
13. ，，，为重心，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点； 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为. 也考查了直角三角形斜边上的中线性质．根据直角三角形斜边上的中线性质求出CD，根据重心的性质求出的长即可.
【详解】解：如图， ∵为的重心，

∴CD是的中线，，
，
，
，
故答案为：.
14. 如图，已知，，，，则________．
【答案】45
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先得到，然后根据对应边成比例解题即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：45．
15. 如图，已知的中线、交于点，是中点，是中点，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查三角形的中位线，全等三角形的判定和性质，连接并延长交于点F，利用DE是中位线，求出，再用是中位线，，即可求得答案．
【详解】解：连接并延长交于点F，
∵、是的中线，
∴DE是中位线，
∴，，，，
∴，，
∵P、Q是BD、CE的中点，
∴，
∴，
∴，是中点，
∴，
∵是中位线,
∴，
∴.
故答案为：.
16. 线段，为的黄金分割点，且，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段与较短线段的比等于整个线段与较长线段的比，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，再求出的长即可．
【详解】解：如图，
线段，为的黄金分割点且，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17. 如图，中，上一点，，，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】题考查了相似三角形的判定与性质，由已知条件中，为公共角，可证，得，据此可求的长．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
解得：或（舍去）
故答案为：
18. 如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，，，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定及性质可得BC，，继而可证，根据等腰三角形三线合一性质可得CF＝BF＝＝1，，∠AFC＝∠FAE＝90°，继而在Rt△AFC中，根据勾股定理可得AF，继而在Rt△AEF中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，
∵
∴，
∵，，
∴
又，
∴，
∵AB＝AC
又点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．
∴AF⊥BC，AF⊥AD，CF＝BF＝＝1，，
即∠AFC＝∠FAE＝90°，
在Rt△AFC中，由勾股定理，得：
，
∴在Rt△AEF中，由勾股定理，得：
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是求出综合利用所学知识求得BC，AF的长度．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. 先化简，再求值： ，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的加减法法则先化简题目中的式子，然后将代入化简后的式子即可解答本题．解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
【详解】解：原式
，
当时，
原式
．
20. 如图，中，，，，．求长．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，先证，则可得，则可得，即可求出的长．熟练掌握考查了相似三角形的判定和性质时解题的关键．
【详解】解：中，，，
，
，，
，
，
，
，
．
21. 如图，已知平行四边形中，为的中点，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．首先延长交CD的延长线于点H，由四边形是平行四边形，易证得，，又由E为AD的中点，，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【详解】延长交CD的延长线于点H，
∵四边形平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
同理可得，
∴，
∵E为AD的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22. 如图，在△ABC中，点P、D分别在边BC、AC上，PA⊥AB，垂足为点A，DP⊥BC，垂足为点P，．
（1）求证：∠APD＝∠C；
（2）如果AB＝3，DC＝2，求AP的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明Rt△ABP∽Rt△PCD，可得∠B=∠C，∠APB=∠CDP，由外角性质可得结论；
（2）通过证明△APC∽△ADP，可得 ，即可求解．
【详解】证明：（1）∵PA⊥AB，DP⊥BC，
∴∠BAP＝∠DPC＝90°，
∵
∴，
∴Rt△ABP∽Rt△PCD，
∴∠B＝∠C，∠APB＝∠CDP，
∵∠DPB＝∠C+∠CDP＝∠APB+∠APD，
∴∠APD＝∠C；
（2）∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC＝3，且CD＝2，
∴AD＝1，
∵∠APD＝∠C，∠CAP＝∠PAD，
∴△APC∽△ADP，
∴,
∴AP2＝1×3＝3
∴AP＝．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,熟练掌握和应用是解题的关键.
23. 如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，AF⊥CD，垂足为点F．
（1）如果AB=AD，求证：EF∥BD
（2）如果EF∥BD，求证：AB=AD．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定方法得出△ABE≌△ADF（AAS），进而求出答案；
（2）利用平行线分线段成比例定理结合相似三角形的判定与性质得出△ABE∽△ADF，进而求出答案．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE=∠ADF，BC=AD，AB=CD，
∵AB=AD，
∴BC=AD=AB=CD，
∵AEBC，AFCD，
∴∠AEB=∠AFD=90º，
∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE=DF，
∴，
∴，
∴EF∥BD．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE=∠ADF，
∵AEBC，AFCD，
∴∠AEB=∠AFD=90º，
∴△ABE∽△ADF，
∴，
∵EF∥BD，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∴，
∴，
∴，即，
∴AB=AD．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用比例关系进行推导．
24. 如图，函数的图像经过点、，点的坐标为．过点作轴，（点位于点的下方），过点作轴，与函数的图像交于点，过点作于点，连接、．
（1）求的面积；
（2）延长交于点，当时，求的长；
（3）连接，取中点，以线段为较长直角边作，使与相似，求出点坐标．
【答案】（1）1 （2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，相似三角形的性质，中点坐标公式，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
（1）先求出反比例函数的解析式，然后求出点D的坐标，即可求出三角形的面积；
（2）根据反比例函数的解析式求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AD的解析式，即可求出点F的坐标，进而求解；
（3）先求出点Q的坐标，过点Q作交x轴于点N，交y轴于点M，可得点P在上且点P为或的中点，利用中点坐标解题即可．
【小问1详解】
解：的图象经过点
，
轴， ，
∴点的坐标为，
轴，点在函数图象上
∴点的坐标为，
∴
，
【小问2详解】
，
，
，
点的纵坐标
由反比例函数 ，
点的横坐标，
设直线AD的解析式为y=mx+n，代入和得：
，解得，
∴，
当时，，
∴；
【小问3详解】
过点Q作交x轴于点N，交y轴于点M，
∵Q是的中点，
∴点Q坐标为，且，
∴，
即，
∴点M的坐标为，点N的坐标为，
线段为较长直角边作，使与相似，
∴，
∴点P在上且点P为或的中点，
∴点的坐标为或．
25. 如图，在中，．，．点E为射线上一动点（不与点C重合），联结，交边于点F，的平分线交于点G．

（1）当时，求的值；
（2）设，，当时，求y与x之间的函数关系式；
（3）当时，联结，若为直角三角形，求的长．
【答案】（1）
（2）
（3）BG＝
【解析】
【分析】（1）过点C作于H，根据等高的两个三角形面积之比等于底的比，求出即可；
（2）延长交射线于点K，根据相似三角形对应边成比例求出y与x之间的函数关系式；
（3）分、两种情况进行解答，①当时，则，由，知,进而；②当时，则，，进而可证得，，所以，进一步证得，所以，过点G作于N，由等腰三角形性质求得，由，得，进一步求得．
【小问1详解】
过点C作于H，

∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【小问2详解】
延长交射线于点K，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
由题意，得：，
①当时，
∵
∴，
∵，
∴,即
∴．
②当时，则，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
过点G作于N，

∴，
∵，
∴
∴
∴．