专题22 电容器带电粒子在电场中的运动-2025高考物理模型与方法热点题型归类训练

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc13427" 题型一 电容器及平行板电容器的动态分析 PAGEREF _Tc13427 \h 1
\l "_Tc15014" 类型1 两极板间电势差不变 PAGEREF _Tc15014 \h 1
\l "_Tc24250" 类型2 两极板带电荷量不变 PAGEREF _Tc24250 \h 7
\l "_Tc23072" 类型3 电容器的综合分析 PAGEREF _Tc23072 \h 11
\l "_Tc19959" 题型二 实验：观察电容器的充、放电现象 PAGEREF _Tc19959 \h 17
\l "_Tc10633" 题型三 带电粒子(带电体)在电场中的直线运动 PAGEREF _Tc10633 \h 24
\l "_Tc30208" 类型1 带电粒子在电场中的直线运动 PAGEREF _Tc30208 \h 24
\l "_Tc9670" 类型2 带电体在静电力和重力作用下的直线运动 PAGEREF _Tc9670 \h 29
\l "_Tc32488" 类型3 带电粒子在交变电场中的直线运动 PAGEREF _Tc32488 \h 33
\l "_Tc597" 题型四 带电粒子在电场中的偏转 PAGEREF _Tc597 \h 37
\l "_Tc13060" 类型1 带电粒子在匀强电场中的偏转 PAGEREF _Tc13060 \h 38
\l "_Tc31170" 类型2 带电粒子在组合电场中的偏转 PAGEREF _Tc31170 \h 43
\l "_Tc15893" 类型3 带电粒子在重力场和电场复合场中的偏转 PAGEREF _Tc15893 \h 49
\l "_Tc32424" 类型4 类型带电粒子在交变电场中的偏转 PAGEREF _Tc32424 \h 59
\l "_Tc20155" 题型五 带电粒子在重力场和电场中的圆周运动 PAGEREF _Tc20155 \h 68
\l "_Tc14798" 题型六 电场中的力、电综合问题 PAGEREF _Tc14798 \h 78
题型一 电容器及平行板电容器的动态分析
1．两类典型问题
(1)电容器始终与恒压电源相连，电容器两极板间的电势差U保持不变．
(2)电容器充电后与电源断开，电容器两极板所带的电荷量Q保持不变．
2．动态分析思路
(1)U不变
①根据C＝eq \f(Q,U)＝eq \f(εrS,4πkd)先分析电容的变化，再分析Q的变化．
②根据E＝eq \f(U,d)分析场强的变化．
③根据UAB＝E·d分析某点电势变化．
(2)Q不变
①根据C＝eq \f(Q,U)＝eq \f(εrS,4πkd)先分析电容的变化，再分析U的变化．
②根据E＝eq \f(U,d)＝eq \f(4kπQ,εrS)分析场强变化．
类型1 两极板间电势差不变
【例1】(多选) 如图所示，是一个由电池、电阻R、开关S与平行板电容器组成的串联电路，开关S闭合。一带电液滴悬浮在两板间P点不动，下列说法正确的是( )
A．若将A板向右平移一小段位移，电容器的电容C减小
B．若断开S，将B板向下平移一小段位移，带电液滴的电势能减小
C．在S仍闭合的情况下，增大两极板距离的过程中，电阻R中有从b到a的
电流
D．若断开S，减小两极板距离，则带电液滴向下运动
【例2】为了方便在医院输液的病人及时监控药液是否即将滴完，有人发明了一种利用电容器原理实现的输液报警装置，实物图和电路原理如图所示。闭合开关，当药液液面降低时，夹在输液管两侧的电容器C的两极板之间介质由液体改变为气体，蜂鸣器B就会因通过特定方向的电流而发出声音，电路中电表均为理想电表。根据以上说明，下列选项分析正确的是（ ）
A．液面下降后，电容器两端电压变大
B．液面下降后，电容器所带电量减少
C．液面下降时蜂鸣器电流由a流向b
D．输液管较粗时，电容器容值会变大
【例3】．2018年8月23～25日，第九届上海国际超级电容器产业展览会成功举行，作为中国最大超级电容器展，众多行业龙头踊跃参与。如图所示，平行板电容器与电动势为E的直流电源（内阻不计）连接，一带电油滴位于电容器中的P点且恰好处于平衡状态，在其他条件不变的情况下，现将平行板电容器的两极板非常缓慢地错开一些，那么在错开的过程中（ ）
A．电容器的电容C增大
B．电容器所带的电荷量Q增大
C．电流计中的电流从N流向M
D．油滴将向下加速运动
【例4】．如图所示，在平行板电容器两板间有一个带电微粒。开关S闭合时，该微粒恰好能保持静止。若使该带电微粒向上运动，下列说法正确的是（ ）
A．保持S闭合，极板N上移B．保持S闭合，极板M上移
C．充电后将S断开，极板N上移D．充电后将S断开，极板M上移
【例5】美国物理学家密立根通过研究平行板间悬浮不动的带电油滴，比较准确地测定了电子的电荷量。如图所示，平行板电容器两极板M、N相距d，两极板分别与电压为U的恒压电源两极连接，极板N接地。现有一质量为m的带电油滴静止于极板间P点，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）

A．油滴带正电，电荷量为
B．将M板向下缓慢移动一小段距离，电源将给电容器充电
C．将M板向下缓慢移动一小段距离，油滴将向下运动
D．将M板向右移动少许，油滴在P点的电势能增大
【例6】如图平行板电容器与电动势为E的直流电源连接，下极板接地，闭合开关K，稳定时一带电的油滴静止于两极板间的P点，则：
（1）油滴带正电还是负电？
（2）若保持开关K闭合，减小两板间的距离，两极板间电势差如何变化？所带的电荷量如何变化？电流计中电流是什么方向？油滴的状态如何？如果是减小两板正对面积呢？
（3）若断开开关K，减小两极板间的距离，则两极板间电势差如何变化？静电计指针张角如何变化？油滴的状态如何？如果是减小两板正对面积呢？
类型2 两极板带电荷量不变
【例1】如图所示，一平行板电容器充电后与电源断开，负极板接地，两板间的P点固定一个带正电的检验电荷。用C表示电容器的电容，E表示两板间的电场强度的大小，表示P点的电势，W表示正电荷在P点的电势能。若正极板保持不动，将负极板缓慢向右平移一小段距离，上述各物理量与负极板移动距离x（）的关系图像中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【例2】．如图所示，带电的平行板电容器与静电计连接，下极板接地，静电计外壳接地，已知电容器上极板带正电，稳定时一带电的油滴恰好静止于两极板间的点，则下列说法正确的是（ ）
A．保持下极板不动，将上极板稍微下移一点距离，静电计的张角变大
B．保持上极板不动，将下极板稍微下移一点距离，液滴将向下运动
C．保持下极板不动，将上极板稍微向右移一点距离，点电势将升高
D．保持下极板不动，将上极板稍微向右移一点距离，带电油滴仍静止不动
【例3】．某同学设计了一个电容式风力传感器，如图所示。将电容器与静电计组成回路，P点为极板间的一点。可动电极在风力作用下向右移动，风力越大，移动距离越大（可动电极不会到达P点）。若极板上电荷量保持不变，则下列说法正确的是（ ）
A．风力越大，电容器电容越小B．风力越大，静电计指针张角越小
C．风力越大，极板间电场强度越大D．风力越大，P点的电势仍保持不变
类型3 电容器的综合分析
【例1】如图所示，电源电动势E，内电阻恒为r，R是定值电阻，热敏电阻RT的阻值随温度降低而增大，C是平行板电容器．静电计上金属球与平行板电容器上板相连，外壳接地．闭合开关S，带电液滴刚好静止在C内．在温度降低的过程中，分别用ΔI、ΔU1和ΔU2表示电流表、电压表1和电压表2示数变化量的绝对值．关于该电路工作状态的变化，下列说法正确的是( )
A.eq \f(ΔU1,ΔI)一定不变，eq \f(ΔU2,ΔI)一定变大
B.eq \f(ΔU1,ΔI)和eq \f(ΔU2,ΔI)一定不变
C．带电液滴一定向下加速运动且它的电势能不断减少
D．静电计的指针偏角增大
【例2】．手机内电容式传感器的工作电路如图所示，M极板固定，N极板可以按图中标识前后左右运动，下列说法正确的是（ ）
A．N极板向左运动一段距离后，电容器的电容减小
B．N极板向前运动一段距离后，电容器间的电场强度减小
C．N极板向后运动一段距离后，电容器的电荷量增加
D．N极板向后运动的过程中，流过电流表的电流方向由b向a
【例3】．如图所示，M、N是两块水平放置的平行金属板，为定值电阻，和为可变电阻，开关S闭合。质量为m的带正电荷的微粒从P点以水平速度射入金属板间，沿曲线打在N板上的O点。若经下列调整后，微粒仍从P点以水平速度射入，则关于微粒打在N板上的位置说法正确的是（ ）
A．断开开关S，M极板稍微上移，粒子依然打在O点
B．断开开关S，N极板稍微下移，粒子打在O点右侧
C．保持开关S闭合，减小，粒子依然打在O点
D．保持开关S闭合，增大，粒子打在O点右侧
【例4】如图所示，间距为d的两平行金属板通过理想二极管与电动势为的电源（内阻不计）相连，A板接地，在两板之间的C点固定一个带电荷量为的点电荷，C点与B板之间的距离为，下列说法正确的是（ ）
A．图中电容器无法充电
B．点电荷的电势能为
C．把两板错开放置，B板的电势不变
D．把A板向下移动，点电荷受到的电场力减小
【例5】如图所示，一水平放置的平行板电容器的下极板接地。一带电油滴静止于P点。现将一与极板相同的不带电的金属板插入图中虚线位置，则下列说法正确的是（ ）

A．油滴带负电B．M、N两极板间的电压保持不变
C．P点的电势减小D．油滴在P点的电势能减小
【例6】．如图所示，间距为d的水平正对平行板A、B通过二极管与电动势为的电源相连，A板接地，在两板之间的C点固定一个带电量为的点电荷，C点与B板之间的距离为，下列说法正确的是（ ）
A．图中二极管的连接方式不能使电容器充电
B．固定在C点的点电荷电势能为
C．把B板水平向右移动一些，B板的电势降低
D．把A板向下移动一些，C点的点电荷受到的电场力减小
题型二 实验：观察电容器的充、放电现象
1．实验原理
(1)电容器的充电过程
如图所示，当开关S接1时，电容器接通电源，在静电力的作用下自由电子从正极板经过电源向负极板移动，正极板因失去电子而带正电，负极板因获得电子而带负电．正、负极板带等量的正、负电荷．电荷在移动的过程中形成电流．
在充电开始时电流比较大(填“大”或“小”)，以后随着极板上电荷的增多，电流逐渐减小(填“增大”或“减小”)，当电容器两极板间电压等于电源电压时电荷停止定向移动，电流I＝0 .
(2)电容器的放电过程
如图所示，当开关S接2时，相当于将电容器的两极板直接用导线连接起来，电容器正、负极板上电荷发生中和．在电子移动过程中，形成电流．
放电开始电流较大(填“大”或“小”)，随着两极板上的电荷量逐渐减小，电路中的电流逐渐减小(填“增大”或“减小”)，两极板间的电压也逐渐减小到零．
2．实验步骤
(1)按图连接好电路．
(2)把单刀双掷开关S打在上面，使触点1和触点2连通，观察电容器的充电现象，并将结果记录在表格中．
(3)将单刀双掷开关S打在下面，使触点3和触点2连通，观察电容器的放电现象，并将结果记录在表格中．
(4)记录好实验结果，关闭电源．
3．注意事项
(1)电流表要选用小量程的灵敏电流计．
(2)要选择大容量的电容器．
(3)实验要在干燥的环境中进行．
【例1】．工业生产中经常会用到需要避光储存的绝缘液体原料，为了方便测量其深度，某同学设计了如下装置。在储存液体原料的桶的外侧底部，放置一个与桶底形状相同、面积为S的金属板，桶内有一面积为S的轻质金属箔板，漂浮在液体表面上。圆桶由绝缘材料制成，桶壁厚度可忽略不计，使用时需要进行如下操作：
(1)将开关接“1”接线柱，电容器充满电后，将开关接“2”接线柱，电流传感器记录下电流随时间的变化关系如图。可知电容器充满电后的电荷量 C。
(2)再将开关接“1”接线柱，电容器充满电后，将开关接“3”接线柱，电压传感器的示数为。可根据的大小得出液体的深度；改变深度，电压传感器示数随之改变。根据所学知识判断电压传感器示数和液体的深度成 关系（填“线性”、“非线性”）。
(3)由于工作过程中电荷量会有一定的损失，将导致深度的测量结果 （填“偏大”、“偏小”、“不受影响”）。
【例2】．电容储能已经在电动汽车，风光发电、脉冲电源等方面得到广泛应用。某物理兴趣小组设计图甲所示电路，探究不同电压下电容器的充放电过程。器材如下：
电容器C（额定电压10V，电容标识不清）；
电源（电动势12V，内阻不计）；
电阻箱R1（阻值0~99999.9Ω）；
滑动变阻器（最大阻值20Ω，额定电流2A）；
电压表V（量程15V，内阻很大）
发光二极管D1和D2，开关S1和S2，电流传感器，计算机，导线若干。
(1)电容器充电过程，若要提高电容两端电压，应将滑片向 （选填“左”，“右”）移动。
(2)某次实验中，完成充电后电压表读数如图乙所示，电容器两端的电压为 。
(3)继续调节滑动变阻器滑片位置，电压表示数为8.0V时，开关S2掷向1，得到电容器充电过程的I-t图像，如图丙所示。借鉴“用油膜法估测油酸分子的大小”实验中估算油膜面积的方法，根据图像可估算出充电结束后，电容器存储的电荷量为 C（结果保留2位有效数字），电容器的电容为 F。
(4)电容器充电后，将开关S2掷向2，发光二极管 （选填“D1”，“D2”）发光。
【例3】．电流传感器不仅可以和电流表一样测电流，而且还具有反应快、能捕捉到瞬间电流变化等优点。某学习小组用传感器观察电容器的充放电现象并测量该电容器的电容。实验操作如下：
①小组成员按照图甲所示的电路进行实物连接；
②先将开关S拨至1端，电源向电容器充电，电压传感器记录这一过程中电压随时间变化的图线，如图乙所示；
③然后将开关S拨至2端，电容器放电，电流传感器记录这一过程中电流随时间变化的图线，如图丙所示。
则：
(1)电容器放电时，流过电阻R的电流方向为 ；（选填“a→b”或“b→a”）；
(2)已知图线与t轴所围成的面积表示电荷量，若图丙中图线与t轴所围的小格数约为60个，则该电容器充电完毕后所带的电荷量约为 C，电容大小约为 F。（结果均保留两位有效数字）
【例4】．图甲所示电路为“用传感器观察电容器的放电过程”实验电路图。开关未闭合时，电源的电压。实验操作时，单刀双掷开关先跟2相接。某时刻开关改接1，一段时间后，把开关再改接2。实验中使用了电流传感器来采集电流随时间的变化情况。开关再改接2后得到的图像如图乙所示。
(1)开关改接1后流经电阻上的电流方向为 （填“自上而下”或“自下而上”）。
(2)已知电容器的电容为，则图乙中图线与坐标轴所围“面积”为 。
(3)电容器充电后就储存了能量，某同学研究电容器储存的能量与电容器的电容、电荷量及电容器两极板间电压之间的关系。他从等效的思想出发，认为电容器储存的能量等于把电荷从一个极板搬运到另一个极板过程中克服电场力所做的功。为此他还做出电容器两极板间的电压随电荷量变化的图像如图所示。按照他的想法，下列说法正确的是（ ）
A．图线的斜率越大，电容越小
B．对同一电容器，电容器储存的能量与电荷量成正比
C．对同一电容器，电容器储存的能量与电容器两极板间电压的平方成正比
【例5】．电容器是一种重要的电学元件，有着广泛的应用。某学习兴趣小组用图甲所示电路探究电容器两极板间的电势差与所带电荷量的关系。实验操作如下：
①开关接1给电容器A充电，记录电压表示数，A带电荷量记为；
②开关接2，使另一个相同的但不带电的电容器B跟A并联，稳定后断开，记录电压表示数，A带电荷量记为，闭合，使B放电，断开。
③重复操作②，记录电压表示数，A带电荷量记为。
(1)在操作②中，开关闭合前电容器A带电荷量 （填“大于”、“等于”或“小于”）电容器B带电荷量。结合表格数据进一步分析可知电容器的电势差与其所带电荷量成 （填“正比”或“反比”）关系。
(2)该小组用图乙所示电路进一步探究电容器A的充放电规律。
①开关接1，电源给电容器A充电，观察到电流计G的指针偏转情况为 ；
A．逐渐偏转到某一刻度后迅速回到0 B．逐渐偏转到某一刻度后保持不变
C．迅速偏转到某一刻度后逐渐减小到0 D．迅速偏转到某一刻度后保持不变
②图丙为电容器A放电时的图像。已知电容器放电之前的电压为3V，该电容器A的实测电容值为 F（结果保留2位有效数字）。
题型三 带电粒子(带电体)在电场中的直线运动
类型1 带电粒子在电场中的直线运动
1．做直线运动的条件
(1)粒子所受合外力F合＝0，粒子静止或做匀速直线运动．
(2)粒子所受合外力F合≠0且与初速度共线，带电粒子将做加速直线运动或减速直线运动．
2．用动力学观点分析
a＝eq \f(qE,m)，E＝eq \f(U,d)，v2－v02＝2ad.
3．用功能观点分析
匀强电场中：W＝Eqd＝qU＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mv02
非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1
【例1】如图，在P板附近有电荷（不计重力）由静止开始向Q板运动，则以下解释正确的是（ ）
A．到达Q板的速率与板间距离和加速电压两个因素有关
B．电压一定时，两板间距离越大，加速的时间越短，加速度越小
C．电压一定时，两板间距离越大，加速的时间越长，加速度越大
D．若加速电压与电量均变为原来的2倍，则到达Q板的速率变为原来的2倍
【例2】某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。在这种疗法中，为了能让质子进入癌细胞，首先要实现质子的高速运动，该过程需要一种被称作“粒子加速器”的装置来实现。质子先被加速到较高的速度，然后轰击肿瘤并杀死癌细胞。如图所示，来自质子源的质子（初速度为零），经加速电压为的加速器加速后，形成细柱形的质子流。已知细柱形的质子流横截面积为，质子的质量为，其电量为，这束质子流内单位体积的质子数为，那么其等效电流是（ ）
A．B．
C．D．
【例3】如图所示，某直线加速器由沿轴线分布的一系列金属圆管（漂移管）组成，相邻漂移管分别接在高频脉冲电源的两极。质子从K点沿轴线进入加速器并依次向右穿过各漂移管，在漂移管内做匀速直线运动，在漂移管间被电场加速、加速电压视为不变。设质子进入漂移管B时速度为，进入漂移管E时速度为，电源频率为，漂移管间缝隙很小。质子在每个管内运动时间视为电源周期的，质子的荷质比取。则（ ）
A．漂移管需要用绝缘材料制成
B．各漂移管的长度应相等
C．漂移管B的长度为0.6m
D．相邻漂移管间的加速电压
【例4】(多选) 一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)以速度v0逆着电场线方向射入有左边界的匀强电场，场强为E(如图所示)，则( )
A．粒子射入的最大深度为eq \f(mv02,qE)
B．粒子射入的最大深度为eq \f(mv02,2qE)
C．粒子在电场中运动的最长时间为eq \f(mv0,qE)
D．粒子在电场中运动的最长时间为eq \f(2mv0,qE)
【例5】．如图所示，O点左侧水平面粗糙，右侧水平面光滑。过O点的竖直虚线右侧有一水平向左、足够大的匀强电场，场强大小为E。一质量为m、电荷量为的绝缘物块，从O点以初速度水平向右进入电场。求：
（1）物块向右运动离O点的最远距离L；
（2）物块在整个运动过程中受到静电力的冲量I的大小和方向；
（3）物块在整个运动过程中产生的内能Q。
类型2 带电体在静电力和重力作用下的直线运动
【例1】水平放置的两平行金属板间，有一个带正电的小球，从某点无初速度自由下落。经过t时间，在两板间施加竖直向上的匀强电场。再经过t时间，小球又回到出发点。已知小球质量为m，重力加速度为g。小球未与下极板发生碰撞。不计空气阻力。从施加电场开始到小球又回到出发点的过程中（ ）
A．小球所受电场力与重力的大小之比为3:1
B．小球加速运动时间与减速运动时间之比为3:1
C．小球的动量变化量大小为4mgt，方向竖直向上
D．小球电势能的减少量与动能的增加量之比为4:3
【例2】如图所示，平行板电容器的两极板连接一电压恒定的电源，板间距离为d，一带电粒子P静止在电容器内部。若固定该带电粒子，将电容器极板间距离增加h，然后释放该带电粒子。重力加速度为g，则粒子的加速度大小为（ ）
A．B．C．D．
【例3】．1909年密立根通过油滴实验测得电子的电荷量，因此获得1923年诺贝尔物理学奖，实验装置如图。两块水平放置相距为d的金属板A、B分别与电源正、负两极相接，从A板上小孔进入两板间的油滴因摩擦带上一定的电荷量。两金属板间未加电压时，通过显微镜观察到某带电油滴P以速度大小竖直向下匀速运动；当油滴P经过板间M点（图中未标出）时金属板加上电压U，经过一段时间，发现油滴P恰以速度大小竖直向上匀速经过M点。已知油滴运动时所受空气阻力大小为，其中k为比例系数，v为油滴运动速率，r为油滴的半径，不计空气浮力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．油滴P两次经过M点时速度、大小相等
B．油滴P所带电荷量的值为
C．油滴P先后两次经过M点经历的时间为
D．从金属板加上电压到油滴向上匀速运动的过程中，油滴P的加速度先增大后减小
【例4】．如图所示，平行板电容器上极板MN与下极板PQ水平放置，一带电液滴从下极板P点射入，恰好沿直线从上极板N点射出。下列说法正确的是（ ）
A．该电容器上极板一定带负电
B．液滴从P点到N点的过程中速度增加
C．液滴从P点到N点的过程中电势能减少
D．液滴从P点以原速度射入后可能做匀减速直线运动
【例5】．如图所示，质量相等的两个带电液滴1和2从水平方向的匀强电场中O点自由释放后，分别抵达B、C两点，若AB=BC，则它们带电荷量之比q1∶q2等于（ ）
A．1∶B．∶1C．2∶1D．1∶2
类型3 带电粒子在交变电场中的直线运动
1．常见的交变电场
常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等．
2．常见的题目类型
(1)粒子做单向直线运动．
(2)粒子做往返运动．
3．解题技巧
(1)按周期性分段研究．
(2)将eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(φ－t图像,U－t图像,E－t图像))eq \(――→,\s\up7(转换))a－t图像eq \(――→,\s\up7(转化))v－t图像．
【例1】某电场的电场强度E随时间t变化规律的图像如图所示。当t=0时，在该电场中由静止释放一个带电粒子，设带电粒子只受静电力作用，则下列说法中正确的是（ ）
A．带电粒子将始终向同一个方向运动
B．0～2s内静电力对带电粒子的冲量为0
C．2s末带电粒子回到原出发点
【例2】如图甲所示，两板距离足够宽，板间原来固定一电子，使之处于静止状态，电子重力不计。两极板间加上如图乙所示的交变电压，在 t时刻释放电子，以下说法正确的是（ ）
A．如果t=，电子一直向A板运动
B．如果t=，电子时而B板运动，时而向A板运动，最后向B板靠近
C．如果t=，电子时而向B板运动，时而向A板运动，最后向A板靠近
D．如果t=，电子时而向B板运动，时而向A板运动，最后向A板靠近
【例3】微波器件的核心之一是反射式速调管，它利用电子团在电场中的振荡来产生微波，其振荡原理可简化为静电场模型。已知静电场的方向平行于x轴，其电势随x的分布如图所示。一质量为、电荷量为的带负电粒子从点由静止释放，仅在电场力作用下沿x轴做往复运动，求：
（1）在区域内电场强度的大小和方向；
（2）该粒子运动过中的最大速度；
（3）该粒子运动的周期。
题型四 带电粒子在电场中的偏转
1.带电粒子在匀强电场中偏转的两个分运动
(1)沿初速度方向做匀速直线运动，t＝eq \f(l,v0)(如图)．
(2)沿静电力方向做匀加速直线运动
①加速度：a＝eq \f(F,m)＝eq \f(qE,m)＝eq \f(qU,md)
②离开电场时的偏移量：y＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(qUl2,2mdv02)
③离开电场时的偏转角：tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(qUl,mdv02)
2．两个重要结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的．
证明：在加速电场中有qU0＝eq \f(1,2)mv02
在偏转电场偏移量y＝eq \f(1,2)at2＝eq \f(1,2)·eq \f(qU1,md)·(eq \f(l,v0))2
偏转角θ，tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(qU1l,mdv02)
得：y＝eq \f(U1l2,4U0d)，tan θ＝eq \f(U1l,2U0d)
y、θ均与m、q无关．
(2)粒子经电场偏转后射出，速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为偏转极板长度的一半．
3．功能关系
当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mv02，其中Uy＝eq \f(U,d)y，指初、末位置间的电势差．
类型1 带电粒子在匀强电场中的偏转
【例1】长为L的平行金属板水平放置，两极板带等量的异种电荷，板间形成匀强电场，一个带电量为、质量为m的带电粒子，以初速度紧贴上极板垂直于电场线方向进入该电场，刚好从下极板边缘射出，射出时速度恰与下极板成30°角，如图所示，不计粒子重力，求：
（1）求粒子从下极板边缘射出时竖直方向的速度的大小；
（2）求粒子在匀强电场中运动时的加速度大小；
（3）求匀强电场的场强大小和方向。
【例2】．如图，空间内存在一水平向右的匀强电场，一质量为m、电荷量为的带电粒子，从A点垂直电场方向射入电场，初速度大小为v，经过电场偏转到达B点时速度大小为2v，已知A、B两点之间沿电场方向的距离为d，不计带电粒子的重力，该匀强电场的电场强度大小为（ ）
A．B．C．D．
【例3】．静止在O点的原子核发生衰变的同时，空间中加入如图所示的匀强电场。之后衰变产物A、B两粒子的运动轨迹OA、OB如图虚线所示，不计重力和两粒子间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．A、B两粒子均带负电B．衰变后瞬间A、B粒子动量大小之比为
C．B粒子为D．衰变后瞬间A、B粒子速度大小之比为
【例4】．一带正电微粒从静止开始经电压U1加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为U2。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为45°，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为2L和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是（ ）
A．L:d=2:1
B．U1:U1=2:1
C．微粒穿过图中电容器区域的速度偏转角度的正切值为
D．仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变
【例5】．在与纸面平行的匀强电场中，建立如图甲所示的直角坐标系，a、b、c、d是该坐标系中的4个点，已知、、；现有一电子仅受静电力作用，以某一初速度从点沿Od方向射入，则图乙中abcd区域内，能大致反映电子运动轨迹的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
类型2 带电粒子在组合电场中的偏转
【例1】如图所示，电子从灯丝K发出（初速度不计），在KA间经加速电压加速后，从A板中心小孔射出，进入由M、N两个水平极板构成的偏转电场，M、N两板间的距离为d，电压为，板长为L，电子进入偏转电场时的速度与电场方向垂直，射出时没有与极板相碰。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力及它们之间的相互作用力。求：
（1）电子穿过A板小孔时的速度大小v；
（2）电子从偏转电场射出时垂直极板方向偏移的距离y；
（3）电子从偏转电场射出时的速度方向。
【例2】如图所示，氕、氘、氚的原子核自初速度为零经同一电场加速后，又经同一匀强电场偏转，最后打在荧光屏上，下列说法不正确的是（ ）
A．经过加速电场的过程中，电场力对氚核做的功最多
B．经过偏转电场的过程中，电场力对三种原子核做的功一样多
C．三种原子核打在屏上的动能一样大
D．三种原子核都打在屏的同一位置上
【例3】．某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。如图所示，来自质子源的质子初速度为零，经加速电压U加速后，沿图中四分之一圆弧虚线通过辐向电场，再从P点竖直向上进入存在水平向右的匀强电场的圆形区域，最终轰击处在圆上Q点的肿瘤细胞。已知四分之一圆弧虚线处的场强大小为E0，方向沿半径指向圆心O，圆O′与OP相切于P点，OP = R0，圆形区域的半径为R，Q点位于OP上方处，质子质量为m、电量为e。不计质子间相互作用，则下列说法正确的是（ ）
A．在辐向电场中做匀速圆周运动，速度大小
B．在加速电场中做匀加速直线运动，电压
C．在匀强电场中做匀变速曲线运动，场强
D．若肿瘤细胞位于圆上S处（OP上方为R），只需将电压调整为就能击中
【例4】．如图所示，加速电场的两极板P、Q竖直放置，间距为d，电压为U1，偏转电场的两极板M、N水平放置，两极板长度及间距均为L，电压为U2，P、Q极板分别有小孔A、B，AB连线与偏转电场中心线BC共线。质量为m、电荷量为q的正离子从小孔A（初速度视为0）进入加速电场，经过偏转电场，可到达探测器（探测器可上下移动）。整个装置处于真空环境，两电场均为匀强电场，且不计离子重力。下列说法正确的是（ ）
A．离子在加速电场中运动时间为
B．到达探测器的离子在M、N板间运动时间为
C．离子到达探测器的最大动能为
D．为保证离子不打在M、N极板上，U1与U2应满足的关系为U2>2U1
【例5】．如图所示，在示波管中，质量为m，电荷量为-q的带电粒子从灯丝K射出（初速度不计），经加速电场U1（未知）加速，从AB板的中心S沿中心线KO射出时的速度大小为v，再经平行板电容器的偏转电场U2偏转后，又做一段匀速直线运动最后打到荧光屏上，显示出亮点C，已知平行板电容器的两极板间的距离为d，板长为l，偏转电场的右端到荧光屏的距离为L，不计带电粒子的重力。
（1）求加速电场的电压U1；
（2）求带电粒子从偏转电场射出时的侧移量y和荧光屏上OC间的距离；
（3）带电粒子从偏转电场射出时的侧移量y和偏转电压U2的比叫作示波器的灵敏度D，如何通过改变平行板电容器的l或d来提高示波器的灵敏度D。
类型3 带电粒子在重力场和电场复合场中的偏转
【例1】在空间中水平面的下方存在竖直向下的匀强电场，质量为的带电小球由上方的A点以一定初速度水平抛出，从点进入电场，到达点时速度方向恰好水平，A、B、C三点在同一直线上，且，已知当地重力加速度为，下列说法正确的是（ ）
A．小球带正电
B．在小球从点运动到点的过程中，小球受到的电场力大小为
C．小球从点运动到点的时间与从点运动到点的时间之比为
D．在小球从点运动到点的过程中，其重力势能的减少量与电势能的增加量之比为
【例2】．如图所示，在一斜面顶端，将A、B两个带电小球先后分别以相同速度v0沿同一方向水平抛出，两球都落在斜面上，已知A球质量为2m，带电量为+q，B球质量为m，带电量也为+q，整个装置处于竖直向下的匀强电场中，场强，重力加速度g取10m/s2。A、B两球在空中运动的时间分别为tA、tB，加速度分别为aA、aB，位移分别为sA、sB，落在斜面上的重力功率分别为PA、PB，不计空气阻力，则（ ）
A．tA=2tBB．3aA=2aBC．sA=2sBD．PA=3PB
【例2】如图所示，两水平面(虚线)之间区域存在与水平方向成45°斜向右上方的匀强电场，自该区域上方A点将质量均为m、带电荷量分别为q和2q带正电粒子M、N，同时以相反的初速度v0沿水平方向射出。两粒子进入电场时速度方向与上边界均成45°角，并从该区域的下边界离开。已知M在电场中做直线运动，N离开电场时速度方向恰好竖直。(重力加速度大小为g，不计空气阻力和粒子间相互作用)求：
(1)A点距电场上边界的高度；
(2)该电场强度的大小；
(3)M与N两粒子离开电场时位置间的距离。
【例3】空间存在水平向左的匀强电场，一质量为m，带电量为q的小球由M点以速度竖直向上抛出，运动到最高点P时速度大小恰好也为，一段时间后落回到与抛出点等高的N点（图中未画出），空气阻力不计，重力加速度为g，小球从M到N的过程中，以下说法正确的是（ ）
A．小球在电场中运动的加速度大小为2g
B．运动过程中速度的最小值为
C．M、N两点间的距离为
D．从M到N小球电势能减少
【例4】如图所示，O、A、B为同一竖直平面内的三个点，OB沿竖直方向，OA垂直于AB，∠AOB=60°，将一质量为m的小球沿某一方向以一定的初动能自O点抛出，小球在运动过程中通过A点时的动能是初动能的2倍。使此小球带电，电荷量为q（q>0），同时加一匀强电场，场强方向与三角形OAB所在平面平行，从O点以同样的初动能沿某一方向抛出此带电小球，该小球通过A点时的动能是初动能的3倍；将该小球从O点以同样的初动能沿另一方向抛出，通过B点的动能也是初动能的3倍。已知重力加速度大小为g，则所加电场的场强大小为（ ）
A．B．C．D．
【例5】如图所示，其空中有一足够大的水平向右的匀强电场，质量均为m、带电量分别为和的两小球同时从O点以速度斜向右上方射入匀强电场中，方向与水平方向成角，A、B（图中未画出）两点分别为两小球运动轨迹的最高点，带正电的小球经过A点的速度大小仍然为，若仅把带正电的小球射入速度变为，其运动轨迹的最高点记为C。不考虑两球间的库仑力。下列说法错误的是（ ）
A．两小球同时到A、B两点
B．与之比为
C．两小球到达A、B两点过程中电势能变化量之比为
D．带正电的小球经过C点的速度大小
【例6】．如图所示，在竖直平面xOy内存在大小、方向未知的匀强电场。一质量为m的小球从y轴上P点以水平速度v进入第一象限，速度方向沿x轴正方向，经过x轴上Q点时的速度大小也为v，方向与x轴夹角为37°。已知sin37°=0.6，cs37°=0.8，重力加速度大小为g。不计空气阻力，小球从P点运动到Q点的过程中（ ）
A．速度的最小值为
B．所受电场力的最小值为
C．动能与电势能之和一直减小
D．水平位移与竖直位移的大小之比为2:1
类型4 类型带电粒子在交变电场中的偏转
1．带电粒子在交变电场中的运动，通常只讨论电压的大小不变、方向做周期性变化(如方波)的情形．
当粒子垂直于交变电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的分运动具有周期性．
2．研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确地判断粒子的运动情况．根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等．
3．注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子运动时间上的周期性和空间上的对称性，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件．
4．对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动．
【例1】如图（a）所示，两水平平行正对的金属板M、N间距为d，加有如图（b）所示的交变电压。一质量为m、电荷量为q的带正电的微粒，时刻微粒在两板正中间的P点以速度v0平行金属板运动，3t0时间内粒子未到达极板。则在0~3t0时间内，下列说法正确的是（ ）
A．时间内，微粒偏向N板运动
B．时，重力对微粒做功的瞬时功率为
C．0~2t0时间内，电场力对微粒做的功为
D．0~3t0时间内，微粒动能增量为
【例2】(多选)如图甲所示，两水平金属板间距为d，板间电场强度的变化规律如图乙所示.t＝0时刻，质量为m的带电微粒以初速度v0沿中线射入两板间，0～eq \f(T,3)时间内微粒匀速运动，T时刻微粒恰好经金属板边缘飞出.微粒运动过程中未与金属板接触.重力加速度的大小为g.关于微粒在0～T时间内运动的描述，正确的是( )
A.末速度大小为eq \r(2)v0
B.末速度沿水平方向
C.重力势能减少了eq \f(1,2)mgd
D.克服静电力做功为mgd
【例3】如图甲所示，两平行金属板A、B的板长和板间距均为d，两板之间的电压随时间周期性变化规律如图乙所示。一不计重力的带电粒子束先后以速度从O点沿板间中线射入极板之间，若时刻进入电场的带电粒子在时刻刚好沿A板右边缘射出电场，则（ ）

A．时刻进入电场的粒子离开电场时速度大小为
B．时刻进入电场的粒子离开电场时速度大小为
C．时刻进入电场的粒子在两板间运动过程中的最大速度为
D．时刻进入电场的粒子在两板间运动过程中离A板的最小距离为0
【例4】．如图甲所示，两平行金属板A、B的板长和板间距均为d，两板之间的电压随时间周期性变化规律如图乙所示。一不计重力的带电粒子以速度v0从O点沿板间中线射入极板之间，若t=0时刻进入电场的带电粒子在t=T时刻刚好沿A板右边缘射出电场，则（ ）
A．t =0 时刻进入电场的粒子离开电场时速度大小为
B．时刻进入电场的粒子离开电场时速度大小为v0
C．时刻进入电场的粒子在两板间运动过程中的最大速度为
D．时刻进入电场的粒子在两板间运动过程中离A板的最小距离为
【例5】．如图甲所示，真空中水平放置两块长度为d的平行金属板P、Q，两板间加上如图乙所示最大值为U0的周期性变化的电压，在两板中线左侧有一粒子源A，自t=0时刻开始连续释放初速度大小为v0，方向平行于金属板的相同带电粒子，t=0时刻释放的粒子恰好从Q板右侧边缘离开电场，已知电场变化周期，不计粒子重力及相互间的作用力，则错误的是（ ）
A．在t=0时刻进入的粒子离开电场时速度大小为v0
B．在时刻进入的粒子刚好从P板右侧边缘离开电场
C．在时刻进入的粒子在中线下方离开电场
D．任意时刻进入的粒子离开板间时速度大小均为v0
【例6】．如图甲所示，电子枪连续不断均匀地发出电子（设电子的初速度为零），经加速电压为U1的加速电场加速后由小孔穿出，沿两个距离为d的水平金属板A、B间的中线射入偏转电场，A、B两板间加如图乙所示的周期性变化的电压UAB，电压变化周期为T，正半周UAB为U0，负半周UAB为-3U0。已知电子质量为m、电荷量为-e，A、B极板长为，所有电子都能离开偏转电场，不计电子的重力及电子间的相互作用力。求：
（1）电子经过偏转电场的时间t；
（2）从t=0时刻射入偏转电场的电子在进、出偏转电场过程中电势能的变化量ΔEp；
（3）在足够长的时间内从中线下方离开偏转电场的电子数占电子总数的比例η。
题型五 带电粒子在重力场和电场中的圆周运动
1．等效重力场
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就会变得复杂一些．此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”．
2.
3．举例
【例1】如图所示，一个光滑斜面与一个光滑的竖直圆轨道在A点相切，B点为圆轨道的最低点，C点为圆轨道的最高点，整个空间存在水平向左的匀强电场。一质量，电荷量为的带电小球从斜面上静止释放，小球始终能沿轨道运动。已知电场强度，，圆轨道半径，g取，，若小球恰好能完成圆周运动，释放点沿斜面到A的距离为（ ）
A．1.2mB．2.2mC．2.0mD．2.1m
【例2】．如图所示，在电场强度为E的匀强电场中，电场线与水平方向的夹角为，有一质量为m的带电小球，用长为L的细线悬挂于O点，当小球静止时，细线恰好呈水平状态。若用外力F使小球绕O点做半径为L的匀速圆周运动，在沿圆弧（图中虚线）从A点运动到O点正下方的B点的过程中（重力加速度为g），小球电荷量保持不变，下列说法正确的是（ ）

A．小球带负电，电量值为B．小球带正电，电量值为
C．电势能增加D．外力F做负功
【例3】．如图所示，将一质量为m、带电荷量为+q（q>0）的小球放置于一半径为R、固定在竖直平面中的光滑绝缘圆环轨道最低点，圆环处于水平向左的匀强电场中，电场强度大小。现给小球一水平向左的初速度，小球恰能在圆环内做完整的圆周运动，则小球的初速度大小为（ ）
A．B．C．D．
【例4】如图所示，半径为R的双层光滑管道位于竖直平面内，质量为m、带电量为＋q的小球位于管道最低点A，B是最高点，空间存在水平向左、场强大小的匀强电场，现在A点给小球一水平初速度v0，小球恰好能够做完整的圆周运动，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．v0的大小为
B．经过B点时小球受到管道外壁的压力大小为
C．经过A点时小球受到管道外壁的支持力大小为
D．若在A点给小球的水平初速度增大一倍，小球经过B点的速度也增大一倍
【例5】如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为O，半径为，内壁光滑，A、B两点分别是圆轨道的最低点和最高点。该区间存在方向水平向右的场强为E的匀强电场，一质量、带负电荷的小球在轨道内侧做完整的圆周运动（电荷量不变），经过C点时速度最大，O、C连线与竖直方向的夹角，重力加速度为g（g取）。
（1）求小球所受的电场力大小；
（2）求小球在A点的速度为多大时，小球经过D点时对圆轨道的压力最小。

【例6】科技馆中有一光滑绝缘轨道如题图所示，轨道由半径为R=8m的竖直光滑绝缘圆轨道和光滑水平轨道构成，A点所在的半径与竖直直径BC成37°角。空间存在一个水平向右、大小为的匀强电场，质量为m=0.08kg，电荷量为的小球在C点获得一个水平向右的初速度，并恰好能通过A点，已知sin37°=0.6，cs37°=0.8，重力加速度g=10m/s2，结果可保留根号，求：
（1）小球在A点的速度大小；
（2）小球在C点的速度大小；
（3）小球从A点落到地面上经过的时间；
（4）小球落地点距离C点的距离。
【例7】．如图，倾角为的斜面末端连接一段水平轨道后与竖直的光滑半圆轨道平滑连接，圆轨道圆心为O，半径为，A、B为竖直直径的上、下两端点。整个轨道绝缘，小球带电量保持不变，空间存在水平向右的匀强电场。现有一质量为、带电荷量为的小球（可视为质点），以大小为的初速度从B点水平进入半圆轨道，从圆轨道的最高点A飞出后恰好以垂直斜面的速度落在斜面上C点。已知电场强度大小为，重力加速度g取，，。求：
（1）小球在A点的速度大小；
（2）小球在半圆轨道上速度最大时对轨道的压力；
（3）小球落在C点的速度大小。
题型六 电场中的力、电综合问题
1．带电粒子在电场中的运动
(1)分析方法：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，轨迹是直线还是曲线)，然后选用恰当的规律解题。
(2)受力特点：在讨论带电粒子或其他带电体的静止与运动问题时，重力是否要考虑，关键看重力与其他力相比较是否能忽略。一般来说，除明显暗示外，带电小球、液滴的重力不能忽略，电子、质子等带电粒子的重力可以忽略，一般可根据微粒的运动状态判断是否考虑重力作用。
2．处理带电粒子(带电体)运动的方法
(1)结合牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定律解题。
(2)用包括电势能和内能在内的能量守恒定律处理思路
①利用初、末状态的能量相等(即E1＝E2)列方程。
②利用某些能量的减少等于另一些能量的增加列方程。
(3)常用的两个结论
①若带电粒子只在电场力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变。
②若带电粒子只在重力和电场力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变。
【例1】真空中存在空间范围足够大的，水平向右的匀强电场。在电场中，若将一个质量为，带正电的小球由空中静止释放，运动中小球的速度与竖直方向夹角为53°。如图所示，若在此电场中，放置一个竖直面内的光滑固定轨道（电场没有画出），水平，长度为，是半径为的四分之一的圆弧，与相切于点。现将该小球由点静止释放，求从点开始运动的整个过程中（取重力加速度大小为，，）。
（1）小球受到的电场力大小及方向；
（2）从点开始运动到轨迹最高点过程中小球电势能的变化量；
（3）小球从c点离开轨道后速度最小时距c点的距离。
【例2】如图所示，水平粗糙的长直轨道上P点左侧存在电场强度为E的匀强电场，材料相同的两个小滑块M、N静止在轨道上，其中N不带电静止于P点，质量为、带电荷量为＋q的滑块M位于P点左侧与P相距处。现由静止释放滑块M，一段时间后滑块M运动到P点，在P点与滑块N发生弹性碰撞，碰撞后滑块M以碰撞前速度大小的二分之一反向弹回，同时滑块M所带的电荷量消失，又经过同样长一段时间后其速度减为0，此刻立即使其重新带上＋Q的电荷量，滑块M再次开始运动，并恰好能与N再次发生碰撞。求：
（1）滑块N的质量；
（2）滑块M从开始运动到第一次速度减为0所用的时间；
（3）电荷量Q与q的比值。
【例3】．如图，光滑绝缘足够长的水平面位于匀强电场中，电场方向水平向右，大小为。两小滑块A和B静置于水平面上，其位置连线与电场方向平行。两小滑块质量均为，A带电荷量为（），B不带电。初始时，A和B的距离为，现释放小滑块A，A在电场力作用下沿直线加速运动，与B发生弹性碰撞。若每次A和B发生碰撞均为对心正碰，碰撞时没有电荷转移，碰撞的时间极短。已知，，，，
求：（1）发生第一次碰撞前A获得的速度大小第一次碰撞后A和获得的速度大小和；
（2）从开始释放A到与B发生第二次碰撞前，小滑块A运动的距离；
（3）试在图中画出A从开始释放到与发生第三次碰撞前的图像（不要求写过程）。
【例4】．如图甲所示，“L”型绝缘不带电木板B静止在水平地面上，电荷量的滑块A静止在木板左端，木板上表面P点左侧粗糙，右侧光滑且固定连接一轻质弹簧，弹簧左端与P点对齐，滑块和木板粗糙面间的动摩擦因数μ1＝0.5，木板和地面间的动摩擦因数μ2＝0.2。t＝0时，在空间加一水平向右的电场，场强大小E随时间t变化的图像如图乙，t＝4s时滑块到达P点并开始压缩弹簧，弹簧最大压缩量x＝0.05m。已知木板、滑块的质量m均为1kg。滑块可视为质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧形变在弹性限度内，重力加速度g取10m/s2，求：
（1）t＝2s时，滑块受到的电场力大小；
（2）t＝2.5s时，滑块受到的摩擦力大小；
（3）t＝4s时，木板的速度大小；
（4）弹簧弹性势能的最大值。
【例5】．如图所示，水平虚线下方空间存在竖直向上的匀强电场。两个带正电的小球A、B用长度为L的轻质绝缘细杆相连，小球A的质量为m、电荷量为q，小球B的质量也为m、电荷量为2q，小球A到虚线的初始高度为L。已知细杆始终保持竖直，重力加速度为g，匀强电场的电场强度大小为，两小球均可视为质点，不计空气阻力和两小球之间的库仑力。现将整个装置由静止释放，求：
（1）小球A由静止释放后，向下运动的最大距离；
（2）小球B每次在电场区域运动的过程中，细杆对小球B的冲量。
【例6】．如图所示，在绝缘的光滑水平面（足够长）上M点左侧的区域有水平向右的匀强电场。小滑块A、B的质量均为m，其中B不带电，A的带电量为，O点到M点的距离为L，N点到O点的距离为（）．现将小滑块A在N点由静止释放，其向右运动至O点与静止的小滑块B发生弹性碰撞，设A、B均可视为质点，整个过程中，A的电荷量始终不变，B始终不带电，已知电场强度，重力加速度大小为g。求：
（1）A与B发生第一次碰撞前瞬间，A的速率；
（2）k的取值满足什么条件时，能使A与B发生第二次碰撞?
（3）k的取值满足（2）问的条件下，求A和B两次碰撞间隔的时间。
【例7】．如图所示，曲面轨道与水平轨道平滑连接，轨道足够长且光滑，水平轨道bc间存在水平向右的匀强电场，，c点处静置一质量的绝缘物块B。将质量、电荷量的带正电的物块A从曲面轨道上的a点由静止释放，A到达c点时与B发生弹性碰撞，碰后0.4s内A运动的v-t图像如图乙所示（向右为正）。A、B均可视为质点，不考虑A、B的碰撞时间且A的电荷量始终保持不变，重力加速度g取求：
（1）a点与水平轨道的高度差；
（2）A与B每次碰撞时的位置距c点的距离。
电荷量
…
电压表示数/V
3.15
1.60
0.78
0.39
…